Полная работа силы F при изменении скорости точки от v1 до v2, равна интегралу:
или
|
|
2 |
|
2 |
|
v2 |
|
||||
A dA m v dv |
|
A mv2 |
mv1 |
|
|
v1 |
|
2 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
Получили, что работа силы:
1) не зависит от формы пути перехода материальной точки из начального состояния со скоростью v1 к конечному состоянию со скоростью v2;
2)не зависит от способов, посредством которых было достигнуто данное изменение скорости;
3)не зависит от того, каковы были промежуточные состояния:
а) быстро или медленно изменялась скорость,
б) постоянная или переменная сила действовала на точку,
в) по прямолинейной или криволинейной траектории она перемещалась.
|
mv2 |
|
mv2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
Таким образом, величина |
2 |
|
2 |
есть |
|
|
|
изменение некоторой функции ЕК механического состояния, зависящего от скорости.
A |
mv2 |
|
mv2 |
EK2 EK1 |
2 |
1 |
|||
|
2 |
|
2 |
|
Кинетическая энергия определяется формулой:
E K |
mv2 |
|
2 |
||
|
Изменение кинетической энергии равно работе
силы:
ΔΕK A
Кинетическая энергия при поступательном движении прямо пропорционально зависит от массы тела и квадратично от скорости.
EK |
mv2 |
|
2 |
||
|
ЕК |
ЕК |
|
V
m
Кинетическая энергия при вращательном движении
Элементарная работа силы при вращательном |
|
|
|||||||||||||
движении |
|
записывается как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dA Mz |
d |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εz d |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ранее показано, что |
|
M |
z |
J ε |
z |
, где |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dA J |
dt |
d J ω dω |
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Jω2 |
Jω2 |
||
Интегрируя, получим |
|
|
A J ω dω |
2 2 |
21 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Как показано ранее, работа всех действующих на тело сил, равна изменению кинетической энергии этого тела: А = .
Поэтому выражение |
Ek J ω |
2 |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
представляет собой кинетическую энергию
вращательного движения твердого тела.
Графическая интерпретация |
|||
|
|
|
ЕК |
EK(вр) |
|
J ω2 |
J |
2 |
|
||
|
|
ЕК |
|
|
|
|
w |
Если тело одновременно движется поступательно и вращается вокруг оси, проходящей через центр масс
и сохраняющей неизменную ориентацию в пространстве, то кинетическая энергия такого движения равна сумме энергий поступательного и
вращательного движений:
EK m2v2 J ω2 2
Свойства кинетической энергии
Кинетическая энергия:
-однозначная, конечная, непрерывная, дифференцируемая функция механического состояния объекта;
-не может быть отрицательной;
-величина аддитивная: кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий отдельных тел.
Изменение кинетической энергии равно работе всех действующих на тело сил (консервативных и неконсервативных, внутренних и внешних).
Ek Алюбыхсил
Если работа сил положительна, то кинетическая энергия тела возрастает, если отрицательна – уменьшается.
Тело, обладающее кинетической энергией, способно передать её другим телам, т.е. совершить работу.
Вэтом смысле говорят об энергии, как о способности
тела совершать работу.