Модуль 1 Линейная алгебра

УДК 512.64(075) ББК 22.143я73 М 96

Рецензенты:

С.Е.Макаров, канд. физ.-мат. наук, доцент; В.Б.Николаев, канд. физ.-мат. наук, доцент.

Мышлявцева М.Д., Соколовский М.Н.

Основы линейной алгебры: учебное пособие. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2011. – 128 с.

ISBN 978-5-8149-

Учебное пособие написано на основе лекций, прочитанных авторами по высшей математике в течение многих лет для студентов Омского государственного технического университета. Пособие посвящено основам линейной алгебры. Изложение теоретического материала сопровождается решением задач. Приведены контрольные вопросы и задачи для самостоятельной работы.

Учебное пособие предназначено для студентов первого курса технических специальностей Омского государственного технического университета.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета.

Оглавление

Предисловие………………………………………………………….. 5

1.Матрицы……………………………………………………………….. 7

1.1. Определение матрицы. Виды матриц……………………………. 7

1.2.Действия над матрицами……………………………………………... 8

1.3.Элементарные преобразования матриц……………………………... 13

Контрольные вопросы и задачи…………………………………………….. 15

2.Определители………………………………………………………….. 17

2.1.Элементы теории перестановок……………………………………... 17

2.2. Определитель квадратной матрицы………………………………... 19

2.3.Миноры и алгебраические дополнения.……………………………... 20

2.4.Свойства определителей……………….……………………………... 20

2.5.Вычисление определителей.……………………………...................... 29

Контрольные вопросы и задачи…………………………………………….. 31

3.Обратная матрица…………………………………………………….. 32

3.3.Применение обратной матрицы для решения матричных уравне-

ний………………………………………………………………..…… 37

Контрольные вопросы и задачи……………………………………………. 38

4.Ранг матрицы………………………………………………………….. 39

4.1.Линейная зависимость и линейная независимость строк (столб-

цов)…………………………………………………..…………………. 39

4.2.Ранг матрицы………………………………………………………….. 41

5.Системы линейных уравнений…………………………………….. 48

5.1.Основные понятия. Теорема Кронекера-Капелли…..………………. 48

5.2.Крамеровские системы линейных уравнений……...……………….. 53

5.3.Метод Гаусса………………………………………………………….. 55

5.4. Системы линейных однородных уравнений…….………………….. 62 Контрольные вопросы и задачи……………………………………………... 71

6.Линейные пространства………………………………………….. 74

6.1.2.Линейная независимость векторов. Размерность и базис линей-

ного пространства…………………………………………………. 76

3

6.1.4.Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому………………………………………...…………. 81

6.1.5.Подпространство……………………………………...…………. 82

6.2.Евклидово пространство…………………………………………….. 86

6.2.1.Определение евклидова пространства……………………………. 86

6.2.2.Длина вектора в евклидовом пространстве. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца………….…….. 87

6.2.3.Вычисление скалярного произведения в n -мерном евклидовом пространстве………………………………………………………. 91

6.3.Линейные операторы…………………………………………………. 91

6.3.4.Связь между матрицами линейного оператора в разных бази-

сах……………………………………………………..…………… 101

6.3.5.Собственные значения и собственные векторы линейных опе-

6.3.7.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к ка-

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие написано на основе лекций, прочитанных авторами по высшей математике в течение многих лет для студентов технических специальностей Омского государственного технического университета. В данном пособии излагаются основы линейной алгебры. Линейная алгебра является, с одной стороны, самостоятельной областью математики, с другой стороны, основным инструментом, используемым другими математическими дисциплинами.

Главы 1 – 4 пособия содержат материал по теории матриц. Матрицы применяются практически в любой области математики, в частности, в теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистике, теории оптимизации и т.д. Понятие матрицы возникло в 17 веке как удобный аппарат при исследовании систем линейных алгебраических уравнений. В 1693 году Г. Лейбниц и позднее в 1750 году Г. Крамер при решении систем линейных уравнений пришли к понятию определителя, а сам термин «определитель» ввел в 1801 году К. Гаусс. Термин «матрица» ввел в 1850 году Дж. Сильвестр, он же впервые ввел понятие ранга матрицы. Термин «ранг матрицы» был введен в 1877 году Ф. Фробениусом.

Впятой главе рассматриваются системы линейных алгебраических уравнений. Теория линейных уравнений была исторически первым разделом линейной алгебры как науки. Системы линейных уравнений, число уравнений в которых равно числу неизвестных, решали еще в Древнем Вавилоне. В 1750 году Г. Крамер указал алгоритм решения таких систем, называемый методом Крамера. В 1849 году К. Гаусс предложил метод решения систем уравнений, позволяющий однозначно установить имеет система решение или нет, если имеет, найти ее решения.

Построение теории линейных уравнений завершилось с открытием в 1882 году Л. Кронекером критерия разрешимости системы линейных алгебраических уравнений, по которому можно определить, не решая саму систему, существование или отсутствие решения системы. В 1892 году этот критерий сформулировал, используя понятие ранга матрицы, А. Капелли. Этот критерий разрешимости системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера-

Капелли.

Вшестой главе излагаются элементы теории линейных пространств. Основные понятия теории линейных пространств такие, как линейная независимость системы векторов, базис и размерность линейного пространства, собственный вектор и собственное значение, спектр линейного оператора ввел в

1844 году Г. Грассман. Он установил закон изменения матрицы линейного оператора при замене базисов в соответствующих пространствах, сформулировал теорему о том, что линейный оператор конечномерного линейного пространства однозначно определяется своими значениями на его базисных векторах и доказал ее для ортонормированных базисов евклидового пространства. Однако его исследования опередили свое время и стали достоянием математики лишь в конце XIX – начале XX века. Г. Грассман, рассматривая конечномерные евклидовы пространства, создал основной аппарат исследований произвольных ли-

5

нейных пространств. Его идеи обобщили на бесконечномерные линейные пространства У. Клиффорд, Б. Пирс, Ч. Пирс, Д. Гильберт, Э. Шмидт, С. Банах и другие ученые. Аксиоматическое определение линейного пространства ввел в

1888 году Дж. Пеано. Теория операторов широко применяется к описанию конкретных физических процессов и является основным аппаратом исследований в квантовой механике.

Учебное пособие предназначено для студентов технических специальностей Омского государственного технического университета.

Авторы выражают свою признательность д.ф.-м.н., член-корр. РАН А.Ю. Веснину, к.ф.-м.н., доценту А.В. Горяге, к.ф.-м.н., доценту С.Е. Макарову, к.ф.-м.н., доценту В.Б. Николаеву, ст. преподавателю Н.М. Хаустовой за советы и замечания, способствовавшие улучшению рукописи, зав. методическим кабинетом Т.Г. Царицинской за помощь в техническом оформлении рукописи.

Авторы

R – множество всех действительных (вещественных) чисел. C – множество всех комплексных чисел.

1,n 1,2, ,n i N: 1 i n , n N,n 2 . i 1, n – каждое число i из 1, n .

n! 1 2 n, n N ; 0! 1.

– квантор всеобщности, – квантор существования.

R – для любого (для каждого) из R .

R – существует (найдется) из R .

– конец доказательства.

6

1.МАТРИЦЫ

1.1.Определение матрицы. Виды матриц

Определение 1.1. Числовой матрицей (или матрицей) размера m n

называется прямоугольная таблица из m·n чисел (действительных или комплексных), состоящая из m строк и из n столбцов, m,n N .

На пересечении i-ой строки и j-го столбца находится число, обозначаемое как aij и называемое элементом матрицы ( i 1, m, j 1, n ).

Определение 1.2. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах,

т.е. A B , если aij bij , i 1, m, j 1, n .

Определение 1.3. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей, обозначается буквой О (или Оmn , когда важно подчерк-

нуть размер рассматриваемой нулевой матрицы).

Определение 1.4. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов,

т.е. m = n, называется квадратной матрицей порядка n.

1 0

Пример 1.2. – квадратная матрица порядка 2.

2 5

Элементы матрицы aij , у которых номер столбца равен номеру строки

( i j ), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. В

k min m,n .

Определение 1.5. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

7

Определение 1.6. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой E или En , где n – ее порядок.

(нижнетреугольной), если все ее элементы снизу (сверху) от главной диагонали равны нулю.

Определение 1.8. Матрица размера 1 n называется строкой (или векторстрокой), матрица размера m 1 – столбцом (или вектор-столбцом). Число элементов строки будем называть ее длиной, а число элементов столбца – его вы-

сотой.

1

Пример 1.6. 2 1 0 4 – строка длины 4, 3 – столбец высоты 3.

5

1.2. Действия над матрицами

Определим основные действия над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц и транспонирование матрицы.

1.2.1. Сложение матриц. Умножение матрицы на число

Определение 1.9. Суммой двух матриц A aij и B bij одинакового размера m n называется матрица C cij того же размера m n с элементами

cij aij bij , i 1, m, j 1, n . Обозначение: C A B .

8

Таким образом, по определению A B A ( B) .

Теорема 1.1. (свойства линейных операций). Пусть A , B и C – матрицы одинакового размера, , – числа. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1.A B B A (коммутативность сложения);

2.A (B C) ( A B) C (ассоциативность сложения);

3.Существует нулевая матрица O такая, что A: A O A (существование нейтральной по сложению матрицы);

сел);

6.A B A B (дистрибутивность относительно сложения мат-

риц);

7.A A;

8. 1 A A .

Доказательство. Свойства 1 – 8 непосредственно следуют из определений и свойств действий с числами. Докажем, например, свойство 1. Пусть A aij

и B bij – матрицы размера m n . Так как aij bij bij aij , i 1, m, j 1, n , то

A B B A.

9

Заметим, что по свойству 2 сумму трех и более матриц можно записывать без скобок.

Определение 1.13. Пусть A1, A2 , , Ak – матрицы одинакового размера, i –

ковыми номерами, т.е.

Иначе говоря, произведением матрицы размера 1 n на матрицу размера n 1 является матрица размера 1 1 (матрица порядка 1). Эта операция является основополагающей для умножения матриц.

10