Модуль 1 Линейная алгебра

Доказательство. Расположим сомножители в порядке следования строк.

Правую часть (2.3) можно получить из левой за конечное число шагов, на каждом из которых в «текущей» записи произведения меняются местами два соседних множителя. При перестановке соседних множителей меняются местами два соседних элемента как в перестановке первых индексов, так и в перестановке вторых индексов; число инверсий в каждой из этих перестановок изменится на единицу (теорема 2.2), а суммарное число инверсий в двух перестановках изменится на 0 или 2 , т.е. на четное число. Поэтому начальное и ко-

имеют одинаковую четность. С учетом того, что inv 1,2,...,n 0 отсюда следует равенство (2.4).

Свойство 2. (равноправность строк и столбцов). Определитель транспо-

нированной матрицы равен определителю исходной.

Доказательство. Брать произведения элементов исходной матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца – то же самое, что делать это по отношению к транспонированной матрице. Так как номера строк для исходной матрицы – это номера столбцов для транспонированной, а номера столбцов исходной – номера строк транспонированной, каждое

понированной матриц с одним и тем же множителем ( 1)inv 1 , 2 , , n inv 1 , 2 , , n .

Замечание. Из свойств 1, 2 имеем, что если справедливо какое-то утверждение об определителях, касающееся строк соответствующих матриц, то верно и аналогичное утверждение, касающееся столбцов, и наоборот. Поэтому все дальнейшие свойства, устанавливаемые для строк, остаются справедливыми и для столбцов.

Свойство 3. (аддитивность определителя по строке) Если элементы какой-

либо строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слагаемым, во втором – вторым.

21

Доказательство. По определению определителя имеем:

Замечание. Свойство 3 обобщается на случай, когда элементы какой-либо строки представлены в виде суммы нескольких слагаемых (трех или более).

Свойство 4. (однородность определителя по строке) Если все элементы какой-либо строки определителя имеют общий множитель, то этот общий множитель можно вынести за знак определителя.

Доказательство аналогично доказательству свойства 1.

Свойства 3,4 называются линейностью определителя по строке.

Свойство 5. Если в матрице поменять местами две строки, то определитель изменит свой знак.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда меняются местами две соседние, i-ая и (i+1)-ая, строки. Пусть

22

( 1)inv 1 , , i , i 1 , , n и поэтому .

Пусть теперь меняются местами строки с номерами i и j, j>i+1, между которыми имеется k=j–i–1 других строк. Тогда i-ую строку можно переставить на место j-ой за k перемен местами соседних строк. При этом j-ая строка «поднимется» вверх на единицу и ее можно переставить на место i-ой с помощью k–1 перемен мест соседних строк. Таким образом, перемена мест i-ой и j-ой строки эквивалентна нечетному числу k+k–1=2k–1 перемен мест соседних строк. Очевидно, что при этом определитель меняет знак.

Свойство 6. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю.

Доказательство. Рассмотрим определитель с двумя одинаковыми строками и переменим местами эти строки. Тогда, с одной стороны, определитель не изменится (так как строки совпадают), с другой стороны – изменит знак (по свойству 5). Имеем: , 2 0 и 0 .

Свойство 7. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Доказательство следует из свойств 4, 6.

Свойство 8. Определитель матрицы не меняется, если ко всем элементам некоторой строки матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Доказательство. Используя свойства 3 и 7, получим

23

Замечание. Свойство 8 широко применяется при вычислении определите-

лей.

Лемма 2.1. Если в квадратной матрице А aij n n элемент aij заменить

на единицу, а все остальные элементы i-ой строки и j-го столбца – на нули, тогда определитель ij полученной матрицы совпадает с алгебраическим до-

первой позиции не образует инверсию ни с каким из чисел a2 ,a3 ,...an . Отсюда

и при i=j=1 формула (2.5) доказана. В случае произвольных i, j в определителе

переместим i-ую строку на место 1-ой, последовательно меняя ее местами с предыдущими (всего i–1 перестановок пар соседних строк), затем аналогично переместим j-ый столбец на место 1-го (j–1 перестановок пар соседних столбцов).

Свойство 9. (Разложение определителя по строке) Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки матрицы на их алгебраические дополнения:

Доказательство. Обозначим через e j строку длины n, в которой j-ый эле-

мент равен 1, а все остальные равны 0. Тогда i-ую строку определителя можно представить в виде линейной комбинации

получается заменой i-ой строки в на e j ,

25

ную на ( asj ).

Равенство (2.7) называется разложением определителя по элементам i-ой строки. Свойство 9 называют правилом своих дополнений.

Так как строки и столбцы равноправны, имеет место аналогичное разложение по столбцу:

Равенство (2.8) называется разложением определителя по элементам j-го столбца.

Свойство 9 позволяет вычисление определителя порядка n свести к вычислению n определителей порядка (n–1). Например, разложив определитель 3-го порядка по элементам первой строки

видим, что вычисление определителя 3-го порядка сводится к вычислению трех определителей 2–го порядка.

26

Замечание. Часто за определение определителя берут формулу (2.7) для первой строки. Тогда определение 2.4. становится свойством, которое необходимо доказывать.

Свойство 10. (ортогональность строк и алгебраических дополнений).

Сумма произведений элементов какой-либо строки матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю:

Здесь – исходный определитель, – результат замены в i-ой строки на k-ую. Алгебраические дополнения элементов i–й строки определителя совпадают с соответствующими алгебраическими дополнениями Ai1, Ai 2 , , Ain

элементов i-ой строки определителя (из определений 2.5 и 2.6 следует, что алгебраические дополнения элементов строки не зависят от значений самих

A и B – квадратные матрицы порядков k и n, соответственно, O – нулевая матрица размера k n , C – матрица размера n k . Справедливо равенство:

равен k–1. По предположению индукции j M1 j det B . Разлагая det D по первой строке, получаем

k

det B a1 j ( 1)1 j M1 j det B det A .

j 1

Свойство 11. Для любых квадратных матриц A , B одного порядка справедливо равенство: det(A B) det A det B .

Доказательство. Пусть A , B – квадратные матрицы порядка n. Рассмотрим вспомогательный определитель порядка 2n:

По лемме 2.2 имеем det A det B . По свойству 9 определитель не изменится, если к каждому из столбцов с номерами n 1,n 2,...,2n прибавить линейную комбинацию первых n столбцов.

Обозначим через определитель, который получается из следующим образом: к столбцу с номером n j прибавляется линейная комбинация первых

n столбцов с коэффициентами b1 j ,b2 j , ,bnj (из j-го столбца матрицы B ), j 1, n . Легко проверяется, что после таких преобразований все элементы bij в

первом нижнем углу заменятся на нули, а в правом верхнем углу элемент 0 в i-ой строке и (n+j)-ом столбце заменится на ai1b1 j ai 2b2 j ainbnj . Последняя сумма по определению 1.15 равна элементу i-ой строки и j-го столбца

(k+1) -ый, 2-ой и (k+2) -ой, …, n-ый и (2n)-ый столбцы. Применив n раз свойство 5 определителей (для столбцов), а затем лемму 2.2, получим

Из доказанных выше равенств имеем det A det B det AB .

Свойство 11 является одним из важных свойств определителей.

28

2.5. Вычисление определителей

Способ 1. Вычисление определителя с использованием определения 2.4.

Для вычисления определителя порядка n с использованием определения

2.4. требуется n!·(n–1) попарных умножений и (n!–1) сложений. В частности, при n = 100 число умножений равно 100! ·99 > 10153. При n = 3 число умноже-

ний равно n!·(n–1)=3! ·2 =12.

Способ 2. Вычисление определителя с использованием свойств определителя.

Рассмотрим использование свойств 8, 9. Как было отмечено выше, свойство 9 позволяет вычисление определителя порядка n свести к вычислению n определителей порядка (n–1). Пусть определитель разлагается по столбцу, в котором есть нули. Тогда нужно вычислить столько определителей (n–1)-го порядка, сколько отличных от нуля элементов в данном столбце. Чем больше нулей будет в данном столбце, тем меньшее количество определителей (n–1)-го порядка нужно вычислить. Для получения нулей в данном столбце используется свойство 8. Применяя свойство 8 (для строк), можно заменить нулями все элементы данного ненулевого столбца, кроме одного ненулевого элемента. Тогда задача сводится к вычислению одного определителя (n–1)-го порядка. Далее для полученного определителя (n–1)-го порядка процесс повторяется до получения определителя первого порядка. Покажем это на примере.

Шаг 2. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на a21 , к третьей

– первую, умноженную на a31 , и т.д., для чего нужно выполнить (n–1)2 умно-

Шаг 3. Разложим полученный определитель по первому столбцу. Вычисление свелось к одному определителю (n–1)-го порядка.

29

Далее переходим к шагу 1 для полученного определителя и т.д. Процесс продолжается до сведения к определителю первого порядка, для чего нужно выполнить n(n–1)+…+2·1= n(n2–1)/3 умножений и делений, (n–1)2+…+12= =n(n–1)(2n–1)/6 сложений. Полученный определитель первого порядка умножаем на (n–1) множителей, которые выносились за знак определителя (на шаге 1), для чего нужно выполнить (n–1) попарных умножений.

Итак, для вычисления определителя порядка n с использованием свойств 8,9 нужно выполнить n(n2–1)/3+(n–1) умножений и делений, n(n–1)(2n–1)/6 сложений. В частности, при n=100 нужно выполнить 333399 умножений и делений, 328350 сложений.

Очевидно, что из двух рассмотренных способов вычисления определителя рациональным является второй. При n ≥ 4 для вычисления определителя нужно использовать ЭВМ. При практических вычислениях возможны случаи, когда элемент a11 равен нулю или близок к нулю. Тогда в качестве ведущего элемента

строки рекомендуется брать наибольший элемент в строке.

Пример 2.13. Вычислите, используя свойства определителя, следующие

Для вычисления заданного определителя 3–го порядка потребовалось

(n(n2–1)/3+(n–1)=3(32–1)/3+(3–1)=10 умножений и делений, n(n–1)(2n–1)/6= =3(3–1)(2·3–1)/6=5 сложений). Заметим, что для вычисления определителя 3–го порядка по определению (2.2) потребовалось бы выполнить n!·(n–1)=3!·2=12 умножений и 5 сложений.

30