Модуль 2 Векторная алгебра

Определение 8.3. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется

нулевым. Обозначение: 0 .

Определение 8.4. Расстояние между началом и концом вектора называется

длиной вектора. Обозначение: AB или a .

Определение 8.5. Вектор, длина которого равна единице, называется

единичным вектором. Обозначение: e .

Определение 8.6. Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат

на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: a || b .

Коллинеарные векторы a и b могут быть направлены одинаково ( a b ) и

противоположно ( a b ). Нулевой вектор считаем коллинеарным любому вектору.

Определение 8.7. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением оси l, называется ортом оси l.

Определение 8.8. Векторы a и b называются равными ( a = b ), если 1) они коллинеарны ( a || b ), 2) одинаково направлены ( a b ), 3) имеют одинаковые

длины, т.е. a = b .

Из этого определения следует, что вектор можно перемещать в пространстве параллельно самому себе. Такие векторы называются свободными.

Определение 8.9. Векторы a , b , c в пространстве называются

компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных

плоскостях.

8.3. Линейные операции над векторами, их свойства.

Линейными операциями являются операции сложения векторов и умножения вектора на число.

8.3.1. Сложение векторов.

Определение 8.10. Пусть a и b - произвольные векторы. От конца вектора a

отложим вектор b . Вектор a b , соединяющий начало вектора a с концом вектора

128

130

направлением оси l (Рис.8.6, 8.9), прl AB A1B1 , если направление вектора

A1B1 противоположно направлению оси l (Рис.8.7, 8.10); прl AB = 0, если точки A1 ,

B1 совпадают ( AB 0 или AB l ).

8.4.2. Основные свойства проекции вектора на ось.

Пусть в пространстве заданы вектор a и ось l. Пусть φ – угол между вектором a и осью l. Очевидно, что 0 . На Рис. 8.11, 8.12 показан случай, когда вектор

Теорема 8.1. Проекция вектора a на ось l равна произведению модуля вектора a на косинус угла φ между вектором a и осью l, т.е. прl a a cos .

Доказательство. Рассмотрим три случая: 1) 0 2 . Тогда прl a a1 a cos .

2) 2 . Тогда прl a a1 a cos a cos .

3) 2 . Тогда прl a 0 a cos .

Следствие 8.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол –

прямой.

Следствие 8.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны.

Предложение 8.2. Пусть заданы векторы a , b и ось l. Линейные операции над

проекциями вектора на ось обладают следующими свойствами:

8.5. Базис и координаты вектора. Ориентация базиса.

8.5.1. Базис и координаты вектора на прямой.

Пусть даны прямая l и ненулевой вектор a , лежащий на ней (Рис. 8.13). По лемме о коллинеарных векторах любой вектор b , также лежащий на прямой l,

может быть представлен в виде b a , R и

такое представление единственно. Это означает, что

l

любой вектор на прямой l, с использованием операции умножения вектора на число может быть

однозначно выражен через вектор a .

132

Определение 8.16. Базисом на прямой l называется любой ненулевой вектор a ,

лежащий на этой прямой.

Пусть b a , тогда число R будем называть координатой вектора b в

базисе a и обозначать b ( ) .

Таким образом, базисом на прямой является любой ненулевой вектор. Отметим,

что геометрическая размерность прямой равняется единице.

8.5.2. Базис и координаты вектора на плоскости и в пространстве.

Рассмотрим более общий случай плоскости или пространства и попытаемся ответить на следующий вопрос: сколько и каких векторов нужно задать, чтобы через них с помощью операции сложения векторов и умножения вектора на число можно было бы однозначно выразить любой другой вектор? Ответ на этот вопрос дают следующие две теоремы, доказательство которых можно найти в стандартных школьных учебниках.

Теорема 8.2. Любой вектор, лежащий на плоскости π, можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, лежащим в этой же плоскости, притом единственным образом.

Теорема 8.3. Любой вектор в пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам и притом единственным образом.

Определение 8.17. Базисом на плоскости называется любая упорядоченная

пара неколлинеарных векторов.

Определение 8.18. Базисом в пространстве называется любая упорядоченная

133

Будем считать a - первым, b - вторым. Тогда запись , в базисе a , b

однозначно определяет вектор c .

Определение 8.19. Числа , называются координатами вектора c в базисе a , b . Обозначение: c , .

А если будем считать вектор b - первым, a - вторым, тот же самый вектор c

можно записать в виде c = , .

Легко видеть, что запись вектора c через и , которые называются

координатами вектора c в заданном базисе, зависит от того, какой вектор считать первым, а какой вторым. Таким образом, для заданной пары неколлинеарных

векторов a и b существует 2 базиса: a , b и b , a на плоскости.

Впространстве принципиально ничего не меняется, только вместо (8.1) имеем

всоответствии с теоремой 8.3. следующее разложение:

базисе a , b , c . Обозначение: d , , .

Замечание. Плоскость является геометрическим пространством размерности 2 и

базис состоит из 2 векторов. Пространство имеет размерность 3 и базис состоит из 3

векторов.

Упражнение. Сколько базисов существует для трех заданных некомпланарных векторов в пространстве?

Определение 8.21. Базис называется ортогональным, если все базисные векторы попарно перпендикулярны.

Замечание. Будем считать, что нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Определение 8.22. Ортогональный базис, у которого длины всех базисных векторов равны единице, называется ортонормированным.

134

8.5.3. Ориентация базиса.

Введем понятие ориентации тройки некомпланарных векторов. Пусть даны два ортонормированных базиса e1 ,e2 ,e3 и f1 , f2 , f3 . Можно ли совместить эти базисы при помощи перемещения в пространстве?

Понятно, что векторы e1 и f1 можно всегда совместить. Тогда совпадут плоскости векторов e1 ,e2 и f1 , f2 . Поворачивая эту плоскость вокруг направления e1 , всегда можно совместить векторы e2 и f2 . Так как базисы ортонормированные,

то, следовательно, e3 будет коллинеарен f3 .

Видно, что возможны два случая: e3 f3 и e3 f3 .

В первом случае при помощи перемещения в пространстве базисы e1 ,e2 ,e3 и f1 , f2 , f3 совмещаются, а во втором случае нет.

Предположим, что эти базисы не совмещаются, т.е. e3 f3 и рассмотрим еще один ортонормированный базис g1 , g2 , g3 . Совершая описанную выше процедуру совмещения, мы получим, что этот базис совпадает либо с базисом e1 ,e2 ,e3 , либо с базисом f1 , f2 , f3 . Таким образом, множество всех ортонормированных базисов распадается на два класса. Базисы, принадлежащие одному классу, совмещаются друг с другом перемещением, а базисы, принадлежащие различным классам, не совмещаются. Эти классы называются классами ориентации или просто

ориентацией базисов.

Результат: Базисов много, ориентаций – две.

135

Определение 8.23. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в пространстве называется правоориентированной (или правой), если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае, тройка называется левоориентированной (или

левой). (Рис. 8.14а,б).

Выбрав базис, мы пространство превращаем в ориентированное пространство.

8.6. Разложение вектора по ортонормированному базису. Длина

вектора. Направляющие косинусы вектора.

8.6.1. Разложение вектора по ортонормированному базису.

прOz a OM 3 .

136