Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Модуль 1 Линейная алгебра

.pdf

Скачиваний:

129

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

1.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

а само уравнение (5.2) – в виде

b		a		a
1		11		12
b2	x	a21	x	a22
	1		2

bm		am1		am2

	a
	1n
x	a2n .	(5.3)
n

	amn

Необходимость. Пусть система (5.1) совместна, т.е. существует хотя бы одно решение системы x1, x2 , , xn . Тогда из (5.3) имеем, что столбец из сво-

бодных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы системы. Значит, добавление этого столбца к матрице A (матрица A ) не увеличивает максимального числа линейно независимых столбцов в матрице A и r A r A .

Достаточность. Пусть r A r A . Тогда базисный минор матрицы A яв-

ляется базисным и в матрице A . По теореме о базисном миноре это означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов матрицы A , в которых расположен базисный минор, а значит и всех столбцов матрицы A (столбцы матрицы A , не пересекающие базисный минор, надо добавить с нулевыми коэффициентами). Коэффициенты этой линейной комбинации представляют собой решение системы (5.1). Значит, система (5.1) совместна.

Теорема 5.2. (о числе решений) Пусть система линейных уравнений (5.1) совместна, т.е. r A r A . Тогда:

а) если r( A) n , то система (5.1.) имеет единственное решение.

б) если r( A) n , то система (5.1) имеет бесконечное множество реше-

ний.

Доказательство. а) (от противного). Пусть r( A) n и система (5.1) имеет

два разных решения X x(1)		,	, x(1)	T	,	X x(2)		,	, x(2)	T	. Подставляя эти ре-
1	1		n			2	1		n

шения в (5.3) и сравнивая правые части, получим, что

a
11
x1(2) x1(1) a21


am1

		a	0
x(2)		1n
x(2)	x(1) a2n		0	.
n	n
n	n

		amn	0

Но это означает линейную зависимость n столбцов матрицы A (среди xi(2) xi(1) есть ненулевые) и поэтому r( A) n , что противоречит r( A) n .

б) Пусть r r(A) , r n и первые r столбцов матрицы A образуют базисный минор. Запишем (5.3) в виде

	a
	11
x	a21
1

	am1

	a	b		a
	1r	1		1,r 1
x	a2r	b2	x	a2,r 1
r			r 1

	amr	bm		am,r 1

	a
	1n
x	a2n	,
n

	amn

где левая часть есть линейная комбинация столбцов базисного минора. Это равенство можно рассматривать как СЛУ с неизвестными x1, , xr и в этой систе-

ме ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы при любых значениях xr 1, , xn . В силу произвольности xr 1, , xn исходная система (5.1) име-

ет бесконечное множество решений.

По результатам теорем 5.1 и 5.2 исследование СЛУ на совместность и число решений можно изобразить схематически следующим образом:

СЛУ (5.1)

r A r

r A n

Нет решений

Существует единственное		Существует бесконечно
решение		много решений

Укажем два естественных способа вычисления величин r A , r A и про-

верки равенства r A r A , необходимых в этом исследовании.

Способ 1. а) Найти (любым способом) какой-нибудь базисный минор M матрицы A . б) Вычислять последовательно миноры M матрицы A , которые получаются окаймлением M с помощью столбца свободных членов и одной из строк, не пересекающих M , до первого случая, когда M 0. Если такой M нашелся, то r A r A 1 r A ; если все указанные окаймляющие миноры

равны нулю, то r A r A .

Способ 2. Выполнить цепочку элементарных преобразований со строками матрицы A , приводящих матрицу A к ступенчатому виду. Если все элементы столбца свободных членов в последних, нулевых в преобразованной матри-

це A , строках, равны нулю, то r A r A равно числу ненулевых строк после преобразований; в противном случае r A r A 1 r A .

Обоснование корректности обоих способов предоставляется читателю. Заметим, что обоснование корректности любого из этих способов доказы-

вает справедливость следующего утверждения.

Утверждение 5.2. Введение в матрицу одного дополнительного столбца не меняет ее ранга или увеличивает ранг на единицу. В частности, r A равен

r A или r A 1 для любой СЛУ.

Пример 5.2. Исследуем системы линейных уравнений на совместность:


x x 3							1	1						1 1				3

																			, r A r A 2 .
а) 1			2	.	A			,			A				1				, r A r A 2 .
x1 x2 1							1	1						1	1		1
Так как n 2,				то r A n . Значит, существует единственное решение дан-
ной системы.
2x1 x2 1							2 1							2 1			1


б)			x2 5	.	A			,		A					1			, r A 1, r A 2.
2x1			x2 5				2 1							2	1	5
Откуда r A r							. Значит, система не имеет решений.
Откуда r A r						A	. Значит, система не имеет решений.
2x1 x2 1								2 1						2 1				1

									,										, r A 1, r A 1,
в)			2x2		. A				,				A						, r A 1, r A 1,
4x1			2x2	2				4 2							4 2			2
r A r		1. Поскольку						n 2,				то r A n . Значит, у данной системы суще-
r A r	A	1. Поскольку						n 2,				то r A n . Значит, у данной системы суще-

ствует бесконечное множество решений.

Изучение методов нахождения решений СЛУ начнем с важного частного случая систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных.

5.2. Крамеровские системы линейных уравнений

Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестными:

a	x	a	x	b
11	1	1n	n	1
a21x1		a2n xn b2

...
a	x	a	x	b .
n1 1		nn n		n

Определение 5.5. Система линейных уравнений, у которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы не равен нулю, называется крамеровской.

Матричная форма крамеровской системы имеет вид
			AX B ,		(5.4)
где A aij	, B b1,	,bn T ,	X x1,	, xn T , det A 0 .
	n n

Заметим, что (5.4) является частным случаем матричного уравнения (3.4). Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема 5.3. ( Теорема Крамера). Крамеровская система (5.4) имеет единственное решение, которое находится по формуле

X A 1B .

(5.5)

Отыскание решения системы (5.4) по формуле (5.5) называется матричным способом решения системы линейных уравнений.

Обозначим det A 0 и запишем (5.5) в развернутом виде с учетом (3.3)

и (3.1):

A A

A b A b

A b

11 1 21 2

n1 n

A12

A22

An2 b2

A12b1 A22b2

An2bn

. (5.6)

A1n

A2n

Ann bn

A1nb1 A2nb2

Annbn

Выражение A1 jb1 A2 jb2 Anjbn можно представить как разложение по j-му столбцу определителя j , полученного из определителя заменой его j-го столбца на столбец свободных членов:

				j
		a11	b1	a1n
		a11	b1	a1n
A1 jb1 A2 jb2	Anjbn j				j ,	j	1, n.
		an1	bn	ann

Из последнего равенства и (5.6) следует

x	1	, x	2	,	, x	n	.	(5.7)

1		2			n

Формулы (5.7) отыскания решения системы (5.4) называются формулами Крамера.

Пример 5.3. Решите систему уравнений: а) матричным способом; б) с по-

мощью формул Крамера: 2x1 3x2 4

x1 5x2 11.

Решение.		В	данной				системе									2		3		det A			3		13 0 ,
																2		3				2	3
														A		1		5	,			1	5
																1		5				1	5
	4
B	и ее можно решать как матричным способом, так и с помощью фор-
	11
мул Крамера.
																					A 1			1		5	3
а) Для матрицы A обратная была найдена в примере 3.1:																								1				.
а) Для матрицы A обратная была найдена в примере 3.1:																							13			1	2	.
																							13			1	2
По формуле (5.5) получим
	x				1		5		3				4		1
	1	A 1B			1													, т.е.		x1 1, x2	2 .
	1	A 1B																, т.е.		x1 1, x2	2 .
	x2				13		1	2					11		2
б) Заменяя в сначала 1–й, затем 2–й столбец на столбец свободных чле-
нов, находим			4	3		13,				2			2		4		26 и по формулам (5.7)
нов, находим			4	3		13,							2		4		26 и по формулам (5.7)
		1	11	5								1		11
			11	5								1		11
				x 1					13		1, x 2 26 2 .
				x 1							1, x 2 26 2 .
				1				13						2				13
								13										13

Как следовало ожидать, решение исходной системы матричным способом и по формулам Крамера привело к одному и тому же результату. Заметим, что при любом способе решения СЛУ надо убедиться в правильности полученного решения подстановкой найденных значений неизвестных во все уравнения исходной СЛУ.

Замечание. Существенным недостатком решения СЛУ матричным способом и с помощью формул Крамера является их большая трудоемкость, связанная с вычислениями определителей. Данные методы используются в теории. Формулы Крамера полезны, например, для нахождения аналитического выражения какой-нибудь компоненты решения. Если для нахождения решения системы (5.4) матричным способом нужно проделать примерно 2n3 операций, то методом Гаусса, который будет рассмотрен далее, найти решение системы (5.4) можно в 3 раза быстрее, не вычисляя A 1 . На практике для решения СЛУ используется метод Гаусса.

5.3. Метод Гаусса

Определение 5.6. Две системы линейных уравнений с неизвестными x1, x2 , , xn называются эквивалентными, если любое решение одной из них яв-

ляется решением другой.

По определению множество всех решений одной из эквивалентных систем совпадает с множеством всех решений другой. В частности, из несовместности одной из эквивалентных систем следует несовместность другой.


Определение 5.7.		Суммой	уравнений			as1x1 as2 x2		asn xn bs	и
at1x1 at 2 x2	atn xn bt	называется уравнение
	as1 at1 x1 as2 at 2 x2				asn atn xn bs bt ;
результатом	умножения	уравнения		as1x1 as2 x2			asn xn bs	на число
называется уравнение as1x1 as2 x2				asn xn		bs .

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называ-

ются:

1)умножение одного из уравнений на число 0 (остальные уравнения системы не меняются);

2)перестановка местами двух уравнений системы;

3)прибавление к одному из уравнений другого (изменяется только то уравнение, к которому прибавляется другое).

Нетрудно проверить, что любое элементарное преобразование переводит исходную систему в эквивалентную ей систему (для 1) и 2) это очевидно, для 3) докажите самостоятельно). Понятно, что результатом последовательного выполнения любого (конечного) числа преобразований 1), 2) или 3) также будет система, эквивалентная исходной.

Заметим, что при любом элементарном преобразовании системы (5.1) происходит такое же преобразование над строками расширенной матрицы A этой системы (см. определение 1.21). Поэтому результатом любой последовательности элементарных преобразований над строками расширенной матрицы A системы (5.1) будет расширенная матрица системы, эквивалентной (5.1).

Замечание. При переходе к системе, эквивалентной исходной, нельзя использовать элементарные преобразования над столбцами расширенной матрицы (почему?).

По теореме 1.4 основная матрица A системы (5.1) с помощью элементарных преобразований над строками и, быть может, перестановок столбцов (перестановке столбцов в A соответствует изменение нумерации неизвестных в (5.1)), может быть преобразована в трапециевидную. Выполнив ту же последовательность элементарных преобразований над строками и перестановок

столбцов в расширенной матрице A , получим, очевидно, матрицу С вида

		c		c		c	c	c		d
		c		c		c	c	c		d
			11	12		1k	1k 1	1n		1
			0 c22			c2k c2k 1		c2n		d2


	C		0	0	0	ckk	ckk 1	ckn		dk		,	(5.8)
	C		0	0	0	ckk	ckk 1	ckn		dk		,	(5.8)
			0	0	0	0	0		0	d	k 1
											k 1

			0	0	0	0	0		0	dm
			0	0	0	0	0		0	dm
где k m ,	k n , c11 0,c22 0,				,ckk 0 .
						56

По построению С – расширенная матрица системы, эквивалентной (5.1),

основная матрица C этой системы получается							из (5.8) удалением столбца
d ,d				T . По теореме 4.4. r( A) r(C) , r(
	,	, d	m		A	) r(C		) .
1 2
Возможны два случая.
1) k m и хотя бы одно из чисел dk 1, ,dm							отлично от нуля. Тогда систе-

ма с матрицей (5.8) , а, следовательно, и эквивалентная ей система (5.1), несов-

местна, так как уравнению 0 x1				0 x2	0 xn	di	0 не удовлетворяет ни-
какой набор значений неизвестных x1, x2 ,					, xn .
2) k m или k m ,		dk 1		dm 0 . Тогда система с матрицей (5.8), а,
следовательно, и система (5.1) эквивалентна системе
c x c x			c x c		x	c x d
11 1	12 2			1k k 1,k 1	k 1	1n n		1
	c22 x2		c2k xk c2,k 1xk 1			c2n xn		d2	(5.9)
		........................................................

				ckk xk ck ,k 1xk 1			ckn xn dk ,

где k n , c11 0,c22	0,	,ckk	0 .
Действительно, при k m это очевидно, а при k m ,								dk 1	dm 0 по-

следние m k уравнений в системе с матрицей (5.8) можно отбросить, не меняя множество всех решений системы; каждое из этих m k уравнений имеет вид

0 x1 0 x2		0 xn 0 и ему удовлетворяет любой набор значений неизвест-
ных x1, x2 ,	, xn .
Покажем, что система (5.9) совместна и опишем способ нахождения всех
ее решений. При k n система (5.9) записывается в виде
		c x c x		c x d
		11 1	12 2	1k k	1
			c22 x2	c2k xk	d2	(5.10)
			.............................			(5.10)
			.............................
				ckk xk dk
				ckk xk dk

и имеет единственное решение: из последнего уравнения единственным возможным значением xk в решении (5.10) является число xk dk ckk ; подставив

это значение в предпоследнее
значение x	– число x	d	k 1
k 1	k 1		k 1

уравнение, получим единственное возможное
с	x	c	и т.д.; последним будет найде-
k 1,k	k	k 1,k 1

но	из первого		уравнения		единственное	возможное значение	x1 – число
x	d с x		с x	c .
1	1	1k k	12 2	11
	При	k n	назовем	k	неизвестных	x1, x2 , , xk базисными,	а остальные
n k неизвестных xk 1,				, xn	– свободными. После переноса всех слагаемых со
					57

свободными неизвестными в правые части уравнений система (5.9) запишется в виде:

c x c x			c x d c x	c x
	11 1	12 2	1k k 1 1,k 1 k 1	1n n
		c22 x2	c1k xk d2 c1,k 1xk 1	c1n xn	(5.11)
		........................................................			(5.11)
		........................................................
			ckk xk dk ck ,k 1xk 1	ckn xn .
			ckk xk dk ck ,k 1xk 1	ckn xn .

Система (5.11) получается из (5.10) заменой правых частей di на выраже-

ния

вида

di +{линейная

комбинация

свободных

переменных

xk 1, , xn ,

1 i k }. Действуя так же,

как при нахождении (единственного)

решения си-

стемы (5.10), получим, что в решении X

x ,

, x , x ,

, x

T системы (5.11)

k 1

значения x ,

, x базисных переменных связаны со значениями свободных пе-

ременных равенствами вида

x i i1x

i,n k x xi x

, x ,

(5.12)

k 1

где коэффициенты i , i1,

, i,n k , 1 i k , однозначно выражаются через числа

di ,

cij , 1 i k , i j n . При этом любой столбец X x ,

, x , x ,

, x T , в

k 1

котором x

, , x выбраны произвольно, а

x ,

, x

вычислены по формулам

k 1

(5.12), будет решением системы (5.11), а, следовательно, и решением системы (5.1). Более того, все столбцы X , полученные указанным способом, образуют множество всех решений системы (5.1).

Множество всех решений системы уравнений называется общим решением этой системы. Обозначим через С1, С2 ,...,Cn k произвольный набор значений

свободных неизвестных xk 1, xk 2 , , xn системы (5.11) (эквивалентной системе

(5.1)). Из (5.12) следует, что общее решение системы (5.1) (в случае ее совместности и k n ) можно записать в виде

xk 1xk 2

1 C1 11 C2 12
	2	C1 21 C2 22
	2	C1 21 C2 22

	k	C1 k1 C2 k 2
	k	C1 k1 C2 k 2
		C1


		C2
		C2

Cn k 1,n k
Cn k
Cn k	2,n k


Cn k k ,n k






Cn k
Cn k

1			11			12				1,n k
	2			21			22
	2			21			22			2,n k


	k	C		k1	C		k 2	C		k ,n k	,	(5.13)
	0	1		1		2	0		n k	0
	0			0			1			0
	0			0			1			0


	0			0			0			1
	0			0			0			1

где С1, С2 ,...,Cn k – произвольные постоянные.

Изложенный выше способ выяснения совместности или несовместности СЛУ и нахождения всех ее решений в случае совместности называется методом Гаусса (или методом последовательного исключения неизвестных). В методе Гаусса принято выделять два основных этапа: прямой ход и обратный ход.

Прямым ходом называется выполнение последовательности элементарных преобразований, позволяющее установить несовместность системы или привести ее к системе (5.9) с трапециевидной матрицей. Обратным ходом называется последовательное вычисление значений неизвестных в решении системы из равенств (5.10) или построение общего решения с помощью (5.12).

Метод Гаусса является одним из наиболее универсальных и эффективных методов исследования и решения систем линейных уравнений. Для реализации прямого хода метода Гаусса при решении системы n уравнений с n неизвест-

ными требуется выполнить 2 / 3 n3 операций, а для реализации обратного

хода нужно выполнить n2 операций. Трудоемкость метода в основном определяется прямым ходом. Легко показать, что число арифметических действий при применении метода Гаусса ненамного больше числа арифметических действий для вычисления одного определителя.

Как уже отмечалось ранее, элементарным преобразованиям СЛУ соответствуют такие же элементарные преобразования строк ее расширенной матрицы, а сама СЛУ однозначно восстанавливается по своей расширенной матрице. С учетом особой роли уравнений 0 x1 0 xn 0 и 0 x1 0 xn b 0 реализация прямого хода метода Гаусса осуществляется на практике следующим образом:

1)записывается расширенная матрица системы A A | B ;

2)выполняются все операции, преобразующие основную матрицу A в трапециевидную как в доказательстве теоремы 1.4; при каждом элементарном преобразовании строк A фактически выполняется такое же преобразование тех

же строк A , т.е. преобразуются и элементы столбца B свободных членов;
3) при появлении в «текущей» расширенной матрице строки 0 0	0 \| b ,

b 0 , преобразования прекращаются, и делается вывод о несовместности исследуемой СЛУ;

4) если в прямом ходе используется перестановка столбцов, над каждым столбцом матрицы A записывается соответствующая неизвестная; в дальнейшем при необходимости эти метки переставляются вместе со своими столбца-

ми;
5) если в полученной матрице будет строка 0 0		0 \| 0 , то этой строке бу-
дет соответствовать уравнение 0 x1	0 xn 0 и, следовательно, в соответ-

ствующей этой матрице СЛУ данное уравнение можно опустить.

Замечание. В прямом ходе метода Гаусса с помощью элементарных преоб-

разований матрицы A и A системы (5.1) преобразуются в C и C (см. (5.8)),

соответственно. Из теоремы 4.4 следует,

что r

, r A r C . Оче-

видно,

что r C k , а r

равно k

при нулевых значениях всех чисел

dk 1,

,dm или k 1 в противном случае.

Таким образом, прямой ход метода

Гаусса можно рассматривать как способ одновременного вычисления рангов r A и r A . При исследовании СЛУ на совместность и число решений метод

Гаусса повторяет результаты теорем 5.1 и 5.2. Особая роль метода Гаусса определяется тем, что в случае совместности СЛУ приводится к (5.10) или (5.11), из которых легко находятся все решения.

Пример 5.4. Методом Гаусса найдите все решения следующих СЛУ:

2x1 x2 5

3x1 2x2 5x3 4x4 2

3x3 16 ,

4x2

4x3 3x4 3 ,

2x1 x2

а) x1

б) 6x1

в)

5x x 10

9x 6x 3x 2x 4

11x1 12x2 17x3 3

2 3

11x

2x 7

Решение. а) Прямой ход. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований над ее строками к ступенчатому виду:

2 1			0	5	1		0	3	16		1 0 3				16
2 1			0	5	1		0	3	16		1 0 3				16
								1						1
	1	0	3	16	~	0	5	1	10		~	0	5	1	10	~
	0	5	1	10		2	1	0	5	III 2 I		0	1	6	27

1 0 3				16		1 0 3				16
1 0 3				16		1 0 3				16
			6	27					6	27
~	0	1	6	27		~	0	1	6	27	.
	0	5	1	10	III 5 II		0	0	29	145

Система уравнений, соответствующая полученной матрице, имеет вид (5.10),

x1		3x3 16
k n 3 , т.е.	x2	6x3 27 . Данная система имеет единственное решение.
		29x3 145
		29x3 145
		60

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.2016640.32 Кб87Моделирование - Лабораторная работа №1.pdf
#
13.03.20162.2 Mб49Моделирование - Лекция.pdf
#
13.03.20161.08 Mб27Моделирование - Нелинейные уравнения.pdf
#
13.03.2016786.52 Кб17Моделирование - Эмпирические модели.pdf
#
30.03.201589.6 Кб12модель смарт.doc
#
30.03.20151.83 Mб129Модуль 1 Линейная алгебра.pdf
#
30.03.2015758 Кб20Модуль 2 Векторная алгебра.pdf
#
30.03.201559.98 Кб18Модуль 2.docx
#
30.03.2015176.94 Кб4моё-1.docx
#
30.03.2015229.63 Кб6моё.docx
#
25.12.2018330.24 Кб9мои ответы.doc