Модуль 1 Линейная алгебра

Теорема 4.1. (о базисном миноре). В произвольной матрице каждый столбец (каждая строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

теорему для столбцов. Свойство матрицы «любой столбец является линейной комбинацией заданных r столбцов» сохраняется, очевидно, при любой перестановке строк и любой перестановке столбцов. Поэтому без ограничения общности можно считать, что базисный минор расположен в первых r строках и в

Заметим, что для доказательства теоремы о базисном миноре в случае строк нужно применить теорему к транспонированной матрице, учитывая то, что базисный минор не меняется при транспонировании.

Теорема 4.2. Совокупность строк (столбцов) квадратной матрицы линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть у квадратной матрицы совокупность строк линейно зависимa. Тогда по утверждению 4.1 хотя бы одна из строк есть линейная комбинация остальных. Из свойств 3,4,6 определителей получим, что определитель матрицы равен нулю.

Достаточность. Пусть A – квадратная матрица порядка n, det A 0 . Тогда r( A) n и по крайней мере одна из строк не пересекает базисный минор. По

теореме о базисном миноре эта строка является линейной комбинацией строк, в которых расположен базисный минор. Отсюда следует, что совокупность строк квадратной матрицы линейно зависима.

4.2.2. Свойства ранга матрицы

Теорема 4.3. (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в этой матрице.

Доказательство. Если A – нулевая матрица, то r( A) 0 по определению,

а максимальное число линейно независимых строк в матрице A тоже равно нулю, т.е. все строки – нулевые. Если матрица A – ненулевая, то r( A) r 0 , а

совпадение ранга r с максимальным числом линейно независимых строк в A эквивалентно справедливости следующих двух утверждений: 1) в матрице A имеется r линейно независимых строк; 2) при q>r любые q строк матрицы A линейно зависимы. Докажем эти утверждения.

1). В качестве r линейно независимых строк можно выбрать r строк, в которых расположен базисный минор матрицы A . Действительно, если бы эти строки были линейно зависимыми, то любые их части, в том числе и строки базисного минора, были бы тоже линейно зависимыми. Но по теореме 4.2 определитель с зависимыми строками равен нулю, что противоречит определению базисного минора.

2). Докажем линейную зависимость любых q строк матрицы A при q>r. Пусть С – матрица, составленная из этих q строк. Любой минор в матрице С будет минором и в матрице A , поэтому r(С) r(A) r q , т.е. в матрице С

число строк q больше порядка r(С) базисного минора и хотя бы одна из строк

не пересекает базисный минор. По теореме о базисном миноре эта строка равна линейной комбинации строк, в которых расположен базисный минор матрицы С, и линейная зависимость рассматриваемых q строк следует из утверждений

4.1 и 4.3.

43

Следствие. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице.

Теорема 4.4. Элементарные преобразования матрицы не меняют ранга матрицы.

Доказательство. Пусть M – произвольный минор исходной матрицы A , M – минор, расположенный в тех же строках и столбцах матрицы A , которая получается из матрицы A в результате элементарного преобразования 1), 2) или 3) по определению 1.20.

1) Умножим все элементы i -ой строки на одно и то же число 0 . Тогда M M , если i -ая строка не пересекает M ; M M , если i -ая строка пересекает M . Очевидно, что M 0 тогда и только тогда, когда M 0, и поэтому ранги r( A) и r( A) , равные наибольшим порядкам отличных от нуля миноров, совпадают.

2)В матрице переставим две строки. Тогда максимальное число линейно независимых строк не изменится, следовательно, ранг матрицы не изменится.

3)К i -ой строке матрицы A прибавим ее j -ую строку. Покажем сначала, что при этом ранг матрицы не увеличится,

По определению в матрице A равны нулю все миноры M порядка r 1. Если i -ая строка не пересекает М, то M совпадает с M и M M 0 . Если i -ая и j -ая строки обе пересекают M , то M M 0 по свойству 8 определителей. Если i -ая строка пересекает M , а j -ая строка не пересекает, то M по свойству

3 равен сумме двух определителей, один из которых является минором порядка r 1 в матрице A , а другой содержит две одинаковые строки, т.е. и в этом, последнем, случае M 0 . Из равенства нулю всех миноров порядка r 1 в матрице A следует (4.3). Заметим теперь, что «обратный» переход от A к A можно осуществить следующим образом: умножим j -ую строку на (–1) (ранг не меня-

ется), затем прибавим полученную строку к i -ой (ранг не увеличивается) и, наконец, вновь умножим j -ую строку на (–1) (ранг не меняется).Отсюда полу-

чаем r( A) r( A) , а с учетом (4.3) и r( A) r( A) .

4) Случай элементарных преобразований со столбцами доказывается аналогично.

Теорема 4.5. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

Доказательство. Базисный минор после транспонирования остается базисным.

44

4.2.3. Вычисление ранга матрицы

Пусть дана матрица A aij размера m n . Требуется найти ранг матрицы r( A) , где 0 r( A) min m;n .

Способ 1. Вычисление ранга матрицы по определению.

Рассмотрим миноры 1-го порядка (элементы матрицы). Если все миноры 1-го порядка равны нулю, то матрица нулевая, следовательно, r( A) 0 . Если

есть минор 1-го порядка, отличный от нуля, надо рассмотреть миноры 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то любой ненулевой минор 1-го порядка является ее базисным минором, следовательно, r( A) 1. Если есть

минор 2-го порядка, отличный от нуля, рассмотрим миноры 3-го порядка. Если все миноры 3-го порядка равны нулю, то любой ненулевой минор 2-го порядка является ее базисным минором, следовательно, r( A) 2 . Продолжая этот про-

цесс, обязательно найдем базисный минор матрицы, тем самым, ранг матрицы. Нахождение всех миноров в поисках базисного – процесс трудоемкий, особенно если размеры матрицы большие.

Способ 2. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Число вычисляемых миноров в поисках базисного можно сократить, если использовать следующие соображения. Пусть найден минор k-го порядка, отличный от нуля. Тогда k строк, в которых он расположен, линейно независимы. В этим строкам добавляем по одной, пока не найдем такую, которая вместе с ней образует линейную независимую совокупность, или не убедимся, что каждая строка является линейной комбинацией исходных k строк. В первом случае процесс продолжаем, а во втором – минор k-го порядка является базисным. Отметим, что для проверки линейной независимости совокупности из k+1 строк достаточно найти ненулевой минор (k+1)-го порядка, расположенный в этих строках; для проверки того, что каждая строка является линейной комбинацией исходных k строк нужно доказать, что все такие миноры (k+1)-го порядка равны нулю.

Способ нахождения ранга матрицы по этой схеме носит название метода окаймляющих миноров. Рассмотрим алгоритм метода окаймляющих миноров:

Шаг 1. Находим какой-нибудь минор 1-го порядка (элемент матрицы), отличный от нуля. Если все миноры 1-го порядка равны нулю, то r( A) 0 . Если

есть хотя бы один минор 1-го порядка M1 0 , то r( A) 1.

Шаг 2. Вычисляем миноры 2-го порядка, содержащие (окаймляющие) минор M1 0 , до тех пор, пока найдется минор, отличный от нуля. Если все ми-

норы 2–го порядка равны нулю, то r( A) 1. Если есть хотя бы один минор

M2 0 , то r( A) 2 .

…

45

Шаг k-ый. Вычисляем миноры k-го порядка, окаймляющие минор Mk 1 0 . Если все миноры k-го порядка равны нулю, то r( A) k 1. Если найдется хотя бы один минор Mk 0 , то r( A) k и процесс продолжаем.

Пример 4.3. Найдите ранг матрицы методом окаймляющих миноров и

Решение. 0 r( A) min 3;4 , т.е. 0 r( A) 3.

Шаг 1. Найдем какой-нибудь ненулевой 1–го порядка (элемент матрицы): M1 2 0 . Тогда r( A) 1.

Шаг 2. Найдем минор 2–го порядка M2 0 , окаймляющий минор M1 2 .

Шаг 3. Вычислим все миноры 3-го порядка, окаймляющие минор M 2 , в данном случае M 2 окаймляется добавлением 3-ей строки и 3-го столбца или 3-ей строки и 4-го столбца:

Так как имеется ненулевой минор 3-го порядка, то r( A) 3.

Способ 3. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.

Метод элементарных преобразований – это способ нахождения ранга мат-

рицы, основанный на применении теоремы 4.4. Матрицу A приводим к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Рангом ступенчатой матрицы является количество ее ненулевых строк. Ранг матрицы A равен рангу полученной ступенчатой матрицы.

Пример 4.5. Найдите методом элементарных преобразований ранг матрицы из примера 4.3.

Решение. 0 r( A) min 3;4 , т.е. 0 r( A) 3.

В матрице A переставим первую и вторую строку, чтобы в левом верхнем углу стояло число 1.

Ранг полученной ступенчатой матрицы равен 2, так как она имеет две ненулевые строки. Поскольку ранги эквивалентных матриц равны, то r( A) 2 .

Замечание. На практике для вычисления ранга матрицы применяется метод элементарных преобразований.

Контрольные вопросы и задачи

1.Чему равен ранг матрицы B , полученной из матрицы A добавлением произвольной строки?

2.Может ли быть ранг матрицы равен нулю; меньше нуля?

3.Может ли ранг матрицы размера m n , где m n , быть меньше m , больше m ?

47

4.Если ранг матрицы A равен r, то чему равен ранг матрицы AT ?

5.Найдите а) методом окаймляющих миноров и укажите какой-либо базисный минор; б) методом элементарных преобразований ранг матрицы:

5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системы линейных алгебраических уравнений возникают при обработке данных, дискретизации линейных дифференциальных уравнений методом конечных разностей или конечных элементов, решении краевых задач, расчете электрических цепей и сложных гидравлических систем и т.д.

5.1. Основные понятия. Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений (СЛУ) с n неизвестными x1, x2 , , xn имеет

вид:

Определение 5.1. Решением системы (5.1) называется совокупность n чисел x1 , x2 , , xn , таких, что при их подстановке в систему (5.1) вместо неизвестных x1, x2 , , xn каждое из уравнений системы обращается в равенство.

48

Определение 5.2. Система линейных уравнений (5.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение 5.3. Совместная система линейных уравнений (5.1) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Введем следующие обозначения:

Определение 5.4. Матрица A называется основной матрицей (или матрицей коэффициентов), а матрица A – расширенной матрицей системы (5.1),

столбцы B и X называются столбцом свободных членов и столбцом неиз-

вестных, соответственно.

Замечание. Расширенная матрица A задает систему (5.1) с точностью до обозначения неизвестных.

По определению произведения матриц система уравнений (5.1) эквивалентна одному матричному уравнению

Матричная форма (5.2) системы (5.1) по виду похожа на уравнение ax b , a,b – заданные числа из R , х – неизвестное, x R . Для уравнения ax b возможны только 3 случая:

1) a 0 и тогда при любом b R существует единственное решение

xb / a ;

2)a 0, b 0 и тогда x 0 x 0 b и решений нет;

3)a 0, b 0 и тогда 0 x 0 верно при любом x R , т.е. существует бесконечно много решений.

49