Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Модуль 1 Линейная алгебра

.pdf

Скачиваний:

129

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

1.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Обратный ход. Из последнего (3-го) уравнения получим x3 5, из предыдущего (2-го) уравнения x2 27 6x3 27 6 5 3, из 1-–го уравнения

x1 16 3x3 16 3 5 1. Подставив полученные значения x1 1, x2 3 , x3 5 в левые части уравнений исходной системы, убеждаемся в правильности найденного решения.

										x1	x2	x3	x4
б)	3		2	5	4	2			3		2 5		4	2
	3		2	5	4	2			3		2 5		4	2
			4					II 2 I				6	5	1
		6	4	4	3	3		II 2 I	~	0	0	6	5	1	~
		9	6	3	2	4	III 3 I			0	0	12	10	2

	x1	x3	x2	x4				x1 x3			x2 x4
3		5	2	4	2			3 5			2	4	2
3		5	2	4	2			3 5			2	4	2
		6		5	1		( 1) II
~	0	6	0	5	1		( 1) II	~	0	6	0	5	1	.
	0	12	0	10	2	III 2 I			0	0	0	0	0

Система уравнений,			соответствующая полученной матрице, имеет вид
(5.9), k 2 ,	n 3 :	3x1 2x2		5x3 4x4 2	. Неизвестные	x1 и	x3 можно при-
				6x3 5x4 1

нять за базисные, x2 и x4 – за свободные. Перенесем члены со свободными не-

известными в правую часть, положив x2 C1			и x4 C2 :
3x 5x 2 2C 4C
	1	3	1	2 .
		6x3 1		5C2

Обратный ход. Выражаем базисные неизвестные x1 и x3 . Из 2-го уравнения получим: x3 (1/ 6) (5/6)C2 . Из 1-го уравнения получим

3x1 2 2C1 4C2 5x3 2 2C1 4C2 5 (1/ 6) (5/6)C2 (7/ 6) 2C1 (1/6)C2

или x1 (7/18) (2/3)C1 (1/18)C2 . Общее решение системы имеет вид

x (7 /18) (2 / 3)C		(1/18)C	x		7 /18		2		1
1	1	2		1
x2	C1			x2	0	C	3	C	0
		или				1		2			,
		или									,
x3	(1/ 6)	(5/6)C2	x3		1/ 6	3	0	18	15
x		C	x		0		0		18
4		2		4
где C1, C2	– произвольные постоянные.
Проверка правильности решения. Подставим выражения x1, x2 , x3 , x4										через

C1, C2 в левую часть любого уравнения исходной системы. Результатом такой подстановки должен быть свободный член соответствующего уравнения, по-

стоянные C1, C2 должны «сократиться». Например, для 2-го уравнения получим

6 (7/18) (2/3)C1 (1/18)C2 4C1 4 (1/ 6) (5/6)C2

3C2 6 (7/18) 4 (1/ 6) C1 6 (2/3) 4 C2 6 (1/18) 4 (5/ 6) 3

3 0 C1 0 C2 3. Результатами аналогичных подстановок x1, x2 , x3 , x4 в ле-

вые части 1-го и 3-го уравнений будут их правые части 2 и 4 соответственно (проверьте самостоятельно), что подтверждает правильность найденного общего решения.

	1			3 4		2			1		3	4
	1			3 4		2			1		3	4
		2		1	1	1		II 2 I		0	7	9
в)
в)	11			12	17	3	III 11 I ~			0	21	27

		1	11		2	7		IV I		0	14 2
		1	11		2	7		IV I		0	14 2

2
3
3		III 3 II		~
19		III 3 II		~

5			II
5	IV 2		II

1		3	4
1		3	4	2
	0	7	9	3
~	0	7	9	3	. В последней матрице появилась строка	0 0 0\|	9 ,
	0	0	0	9

	0	0	16	11
	0	0	16	11

следовательно, исходная система несовместна.
Ответ. а)		система имеет единственное решение: x1 1, x2 3 , x3 5; б)
система	имеет	бесконечно	много	решений:	x1 (7 /18) (2/ 3)C1 (1/18)C2 ,
x2 С1 ,	x3 (1/ 6) (5/6)C2 , x4		C2 ,	где C1, C2	– произвольные постоянные; в)

система не имеет решений.

5.4. Системы линейных однородных уравнений

Определение 5.8. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется однородной, если в ней все свободные члены равны нулю:

a		x	a	x
	11	1	12	2
a21x1 a22 x2


a		x a		x
	m1 1		m2 2

		a	a
		11	12
Введем обозначения:	A	a21	a22
Введем обозначения:	A


		am1	am2

a1n xn 0

a2n xn 0

amn xn 0.

a		x
1n		1
a2n	,	X x2	,


amn		xn

(5.14)

	0

O	0	.

	0
	0

Тогда матричная форма однородной СЛУ (5.14) имеет вид:
AX О .	(5.15)

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как обла-

дает нулевым (тривиальным) решением 0,0,

,0 T . Совместность следует и из

теоремы Кронекера-Капелли, так как в любой однородной системе r A r A .

Действительно, по теореме 4.3 ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы. Но добавление нулевого столбца свободных членов не может ни уменьшить, ни увеличить максимальное число

независимых столбцов матрицы A , т.е. r A r A | O r A . Число r r A в

дальнейшем будем называть просто рангом однородной системы (5.15).

Для однородной системы (5.15) утверждение « AX О имеет единственное решение» равносильно утверждению « AX О имеет только нулевое решение», а утверждение « AX О имеет бесконечное множество решений» - утверждению « AX О имеет ненулевое решение». Отсюда теорему 5.2 о числе решений для однородных СЛУ можно сформулировать следующим образом.

Теорема 5.4. Однородная СЛУ имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных, т.е. r n .

Ранг однородной СЛУ не может быть больше числа m уравнений, r m , поэтому при m n выполнено и условие r n ; при m n матрица A системы – квадратная и условие r r A n равносильно равенству det A 0. Но это

означает, что при m n и m n из теоремы 5.4 вытекает справедливость следующих утверждений:

Следствие 1. Если в однородной СЛУ число уравнений меньше числа неизвестных, m n , то она имеет ненулевое решение.

Следствие 2. Однородная система n уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда det A 0 .

Следствие 1 позволяет установить важные свойства линейно независимых совокупностей столбцов.

Утверждение 5.3. Если любой столбец линейно независимой совокупно-

сти X1, X2 ,	, Xn равен линейной комбинации столбцов Y1,Y2 ,				,Ym , то n m .
Доказательство. По условию равенство
	t1 X1 t2 X2		tn Xn O		(5.16)
возможно	только при t1 t2	tn 0 и		существуют числа aij , 1 i l ,
1 j k , такие, что
	X1 a11Y1 a21Y2			am1Ym ,
	X 2 a12Y1 a22Y2			am2Ym ,	(5.17)
	...,				(5.17)
	...,
	X n a1nY1 a2nY2			amkYm .

Подставим в (5.16) выражения для X1, X2 ,			, Xn через Y1,Y2 ,	,Ym из (5.17).
После очевидных преобразований (5.16) запишется в виде
a11t1	a1ntn Y1	am1t1	amntn Ym O .	(5.18)
Ясно, что (5.16) будет выполнено, если в (5.18) равны нулю все выражения
в скобках (коэффициенты при Y1,		,Ym ). Равенство нулю всех этих выражений
означает, что числа t1,	,tn образуют решение однородной системы m уравне-

ний с n неизвестными. При n m по следствию 1 такая система имеет ненулевое решение, т.е. предположение n m противоречит выполнению равенства (5.16) только при t1 tn 0 .

Теорема 5.5. Пусть каждая из совокупностей X1, , X p и Y1, ,Yq линейно

независима. Если любой столбец одной из совокупностей равен линейной комбинации столбцов другой, то q p .

Доказательство. Из условия теоремы и утверждения 5.3			следует как
q p , так и q p , т.е. q p .
Теорема	5.6. Пусть	каждая из двух совокупностей	p столбцов,
X1, X2 , , X p	и Y1,Y2 , ,Yp ,	линейно независима. Если любой столбец первой

совокупности равен линейной комбинации столбцов второй, то и каждый столбец второй совокупности равен линейной комбинации столбцов первой.


	Доказательство.			Рассмотрим	совокупность			p 1	столбцов Yj , X1,
X2 ,	, X p , 1 j p . Все столбцы этой совокупности равны линейным комби-
нациям столбцов Y1,Y2 ,				,Yp : для X1, X2 ,		, X p	это верно по условию теоремы, а
Yj 0 Y1			0 Yj 1 1 Yj 0 Yj 1		0 Yp .		Если	бы	совокупность
Yj , X1,		, X p	была линейно независимой, то результатом применения утвержде-
ния	5.3	к	совокупностям Yj , X1,		, X p	и Y1,Y2 , ,Yp		было	бы неравенство

p 1 p . Из полученного противоречия следует линейная зависимость сово-

купности Yj , X1,		, X p , т.е. выполнение равенства Yj 1 X1			p X p O , в
котором среди коэффициентов , 1,			, p	есть отличные от нуля.
При	0 данное равенство означает линейную зависимость столбцов
X1, , X p ,	что	противоречит условию		теоремы. Следовательно, 0 и
Yj 1 / X1		p / X p .

Элементарные преобразования переводят однородную СЛУ в однородную. Результатом прямого хода метода Гаусса для однородной системы (5.15) будет


система с расширенной матрицей		C	из формулы (5.8), в которой d1	dk
dk 1	dm 0 , а число ненулевых строк k совпадает с рангом r системы,

k r r(A) . Если	k r n система (5.15) сводится к системе (5.10) при
	64

0 и имеет единственное нулевое

решение. Если k r n система

(5.15) сводится к системе (5.10) при d1

0 и имеет бесконечное множе-

ство решений, которое описывается формулой

общего решения (5.13) при

0. Таким образом,

при r n однородная система (5.15) ранга r с

n неизвестными,

x3 , имеет общее решение вида

x , x ,

, x T

X С X

0 С X 0

X 0

(5.19)

1 2

1 1

2 2

n r

где С , С ,...,C

– произвольные постоянные, X 0 , X 0

, X 0

– столбцы высо-

n r

ты n ,

1,n r

2,n r

X 0

, X 0

r 2

, X 0

r ,n r .

(5.20)

n r

Элементы

столбцов

0 , 1 i r,1 j n r , определяются однозначно

по элементам матрицы A после выполнения всех операций метода Гаусса, кон-

кретные выражения ij

через элементы матрицы

A в дальнейшем не понадо-

бятся.

Утверждение 5.4.

Если

X1, X2 , , Xl

–

решения

однородной

системы

(5.15), то любая их линейная комбинация 1 X1 2 X2

l Xl также явля-

ется решением этой системы.

Доказательство. По условию

AX1 O ,

AX2 O , …,

AXl

O и поэтому

A 1 X1 2 X2

l Xl 1 AX1 2 AX2

l AXl

1 O 2 O

l O O .

Определение 5.9. Совокупность линейно независимых решений однород-

ной СЛУ называется фундаментальной системой решений (ФСР) этой систе-

мы, если любое ее решение можно представить в виде линейной комбинации решений данной совокупности.

Утверждение 5.5. Для любой однородной СЛУ ранга r с n неизвестными, r n , существует ФСР этой системы, содержащая n r решений.

Доказательство. Пусть задана однородная СЛУ (5.15) ранга r с n неизвестными. Покажем, что n r столбцов (5.20), построенные по этой системе методом Гаусса, образуют ФСР этой системы. По определению общего реше-

ния с помощью линейных комбинаций (5.19) этих столбцов можно получить любое решение системы (5.15). Для доказательства предложения осталось проверить выполнение двух условий: 1) столбцы X 0j – решения системы (5.15),

1 j n r ; 2) совокупность X 0 , X 0 ,						, X 0		независима.
				1	2	n r
1)	По определению общего решения правые части (5.19) являются решени-
ями (5.15) при любом выборе С , С ,...,C								. Столбец X 0 получается из (5.19)
				1	2	n r		j
при Сj	1, Сl	0, l j , 1 l n r .
2)	В матрице		B X10 , X20 ,		, Xn0 r		размера n (n r) , составленной из
столбцов X 0		, X 0 ,	, X 0	, последние		n r	строк образуют единичную матрицу
	1	2	n r

E , det E 1 0 , т.е. в матрице B есть отличный от нуля минор порядка n r и r(B) n r . По теореме 4.3 (о ранге матрицы) в матрице B есть n r незави-

симых столбцов, т.е. X 0	, X 0 ,	, X 0	независимы.
1	2	n r
Утверждение 5.6. Любая ФСР однородной СЛУ ранга r с n неизвестным
содержит n r решений.
Доказательство. Пусть		X1, X2 , , X p		– произвольная ФСР однородной
СЛУ ранга r с n неизвестными, X10 , X20 ,				, Xn0 r – ФСР из утверждения 5.5. По

определению 5.9 эти две совокупности столбцов высоты n удовлетворяют всем условиям теоремы 5.5 и, следовательно, p n r .

Утверждение 5.7. Любая линейно независимая совокупность n r реше-


ний однородной СЛУ ранга r	с n неизвестными является ФСР этой СЛУ.
Доказательство. Пусть	X1,..., Xn r – произвольная линейно независимая
совокупность n r решений однородной СЛУ ранга r			с n неизвестными. Тре-
буется доказать, что любое решение X этой СЛУ равно линейной комбинации
столбцов X1,..., Xn r . По определению ФСР имеем
X 1Y1 2Y2		n rYn r ,	(5.21)

где Y1,Y2 ,...,Yn r – какая-нибудь ФСР данной СЛУ (любая ФСР содержит ровно n r решений по утверждению 5.6). В совокупности X1,..., Xn r любой столбец

X j (как и вообще любое решение данной СЛУ) равен линейной комбинации

столбцов Y1,...,Yn r . По теореме 5.6 ( p n r ) верно и обратное:		все столбцы
Y1,...,Yn r равны линейным комбинациям столбцов	X1,..., Xn r .	Подставив в

(5.21) эти линейные комбинации вместо Y1,...,Yn r , получим, очевидно, представление X в виде линейной комбинации решений X1,..., Xn r .

Теорема 5.7. (о структуре общего решения однородной СЛУ). Пусть

X1, X2 ,..., Xn r – произвольная линейно независимая совокупность n r решений однородной СЛУ ранга r с n неизвестными. Тогда общее решение Xо.о. этой СЛУ можно записать в виде:

Xо.о. C1 X1 C2 X2 Cn r Xn r , (5.22)

где С1, С2 ,...,Cn r – произвольные постоянные. (правая часть (5.22) –решение данной СЛУ при любых С1, С2 ,...,Cn r , любое решение можно получить при подходящем выборе С1, С2 ,...,Cn r ).

Доказательство. Из определения общего решения, определения ФСР и утверждения 5.4 следует, что в (5.19) можно заменить X10 , X20 , , Xn0 r на любые X1, X2 ,..., Xn r , образующие ФСР данной однородной СЛУ. По утверждению 5.7 в качестве ФСР можно выбрать любую линейно независимую совокупность n r решений данной однородной СЛУ.

Теорема 5.8. (о структуре общего решения неоднородной СЛУ). Если си-

стема (5.1) имеет бесконечное множество решений (в матричной форме (5.2) выполнено r(A) r(A | B) r n ), то ее общее решение Xо.н. можно предста-

вить в виде:

Xо.н. Xч.н. Xо.о. Xч.н. C1 X1 C2 X2	Cn r Xn r ,	(5.23)
где Xч.н. – одно из решений (5.1) (частное решение);	Xо.о. – общее решение со-
ответствующей (5.1) однородной (с той же	матрицей А)	системы;

X1, X2 ,..., Xn r – линейно независимая совокупность решений соответствующей

однородной СЛУ; С1, С2 ,...,Cn r – произвольные постоянные.
Доказательство. По теореме 5.7 в (5.23) достаточно доказать					только
Xо.н. Xч.н. Xо.о. , т.е. проверить совпадение множества всех решений					X си-
стемы (5.1) с множеством всех сумм Xч.н.			Xодн. , где Xодн. – любое решение со-
ответствующей однородной системы. По определению AXч.н. B , AXодн. O и
A Xч.н.	Xодн. AXч.н. AXодн. B O B , т.е. Xч.н.			Xодн. – решение (5.1).
С	другой стороны,	для любого	решения	X системы (5.1)	имеем
A X Xч.н. AX AXч.н.		B B O , т.е.	X Xч.н.	– решение однородной си-

стемы, и X Xч.н. X Xч.н. – представление X в виде суммы Xч.н. и решения X Xч.н. однородной системы.

Пример 5.5. Найдите все решения следующих однородных СЛУ, в случае бесконечного множества решений запишите общее решение и найдите какуюнибудь ФСР:

а) x1 2x2 x3 0	x1 x2 3x3 0
	б) x x 4x 0
2x1 9x2 3x3 0.		3
	1 2

		2x1 2x2 5x3 0.
x1 x2 3x3 0		2x1 x2 3x3 5x4 0
x1 x2 3x3 0				x2 5x3		0
	6x3 0		x1	x2 5x3		0
в) x1 3x2	6x3 0	г)		2x2 2x3 5x4		0
	4x3 0.	3x1		2x2 2x3 5x4		0
2x1 x2	4x3 0.
		7x 5x 9x 10x 0.
			1	2	3	4

	1 2		1			1 2		1	0

Решение. а)				,						,	r( A) r( A) , поэтому одно-
Решение. а)	A	2 9	3	,	A		2 9	3	0	,	r( A) r( A) , поэтому одно-
		2 9	3				2 9	3	0

родная система всегда совместна. Столбец свободных членов нулевой и не меняется при элементарных преобразованиях, поэтому достаточно работать с основной матрицей системы. Приведем основную матрицу системы с помощью

элементарных

преобразований

над

строками к ступенчатому

виду:

1 2

. По виду полученной матрицы заключаем,

2 I

9 3 II

0 5

что r( A) 2 , n 3 ,

r( A) n и система имеет ненулевые решения (бесконечное

множество решений).

Полученной матрице соответствует эквивалентная ис-

x 2x

ходной система

в которой за базисные можно принять неиз-

5x2 x3

вестные x1

и x2 ,

тогда свободной будет одна неизвестная x3 . Перенесем члены

со свободной переменной x3

в правые части уравнений и получим систему

x 2x x

3 . Далее выразим через x3 базисные неизвестные, сначала x2

из

5x2 x3

2-го уравнения, затем x1

из 1-го: x2 x3 / 5 ,

x1 x3 2x2 x3

(2/5)x3 (3/5)x3 .

Обозначим через C значение свободной переменной,

x3 C . Тогда общее

решение имеет вид x1 (3/ 5)С , x2

(1/5)C , x3 C , или в «матричном» виде:

(3/ 5)C

(3/ 5)

(1/ 5)C C

(1/ 5)

, C R .

Любая ФСР содержит одно решение,

так как n r(A) 3 2 1. Одна из

ФСР получается из общего при C 1, X1

3/ 5,1/ 5,1 T .

ФСР будет и любой

столбец, пропорциональный X1 , например, 5X1 3,1,5 T .

Замечание. В данном примере можно было выбрать за базисные любые две неизвестные, так как в матрице исходной системы все миноры 2-го порядка не равны нулю (проверьте).

б) Запишем основную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований над ее строками к ступенчатому виду:

1		1	3			1		1	3		1		1 3
		1			II I
	1	1	4		II I	~	0 0		1		~	0	0	1	.
	2	2	5				0	0	1			0	0	0
	2	2	5	II 2 I			0	0	1	III II		0	0	0

Имеем r( A) 2 . Поскольку n 3 , то r( A) n . Следовательно, система имеет бесконечное множество решений. Количество базисных неизвестных

равно r( A) 2 ,					количество свободных неизвестных равно											n r(A) 3 2 1.
Полученной матрице												x x 3x				0	. За базисные
Полученной матрице									соответствует система 1				2		3		. За базисные
															x3 0
можно выбрать переменные x1											и x3	или x2 и x3 , так как соответствующие ми-
		3	1 и			1		3		1 не равны нулю. Пару x ,
норы	1	3	1 и			1		3		1 не равны нулю. Пару x ,			x	2	нельзя считать базис-
	0	1				0		1				1		2
	0	1				0		1
					1		0. Если x
ной, так как				1	1		0. Если x				и x	– базисные, то x	– свободная и, обозначив
				0	0			1			3	2
				0	0

x2	C , получим выражения через C для базисных переменных x1 и x3 : сначала
x3	0 из 2-го уравнения, затем x1	x2 3x3 C 0 C из 1-го. Общим решени-
ем системы будет x1 C , x2 C ,		x3 0 , C R . Любая ФСР состоит из одного

решения, так как n r(A) 3 2 1. Одна из ФСР получается из общего решения при C 1, 1,1,0 T .

в) Запишем основную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований над ее строками к ступенчатому виду:

1		1	3			1		1	3		1		1 3				1		1 3

	1	3	6	II I		~	0	2	3		~	0	1 2			~		0 1		2	.
	2	1	4				0	1				0	2 3	III 2		II		0	0	1
	2	1	4	II 2 I			0	1	2			0	2 3	III 2		II		0	0	1
		Имеем		r( A) 3.		Поскольку				n 3 ,		то	r( A) n .		Следовательно,					система
имеет			единственное			нулевое			решение.				Действительно,			запишем				систему
														x1 x2 3x3 0
уравнений, соответствующую полученной матрице:															x2	2x3	0 .
																x3	0
																x3	0
		Откуда x1 0, x2			0, x3			0 .
											69

г) Запишем основную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований над ее строками к ступенчатому виду:

2		1	3	5		1		1	5	0
	1	1	5	0			2	1	3	5		II 2 I
					~							II 3 I ~
	3	2	2	5	~		3	2	2	5		II 3 I ~
		5	9	10				5	9	10
	7	5	9	10			7	5	9	10	III 7 I

	1		1	5	0				1		1		5	0
		0 1		13	5					0 1		13		5
		0 1		13	5					0 1		13		5
~		0	1	13	5		III II	~		0	0		0	0	.
					10
		0	2	26	10	III 2 II				0	0		0	0

Имеем r( A) 2 . Поскольку n 4 имеем r( A) n . Следовательно, система

имеет бесконечное множество решений. Количество базисных неизвестных равно r( A) 2 , количество свободных неизвестных равно n r(A) 4 2 2. В

	x		x	5x	0
системе		1	2	3		, соответствующей полученной матрице, выбе-
			x2 13x3 5 x4 0

рем за базисные неизвестные x1 и x2 , тогда x3 и x4 – свободные (проверьте, что

все миноры 2–го порядка матрицы полученной системы не равны нулю и в качестве базисных можно было бы выбрать любые две неизвестные). Обозначим

через C1	и C2	значения свободных неизвестных:		x3 C1 , x4 C2 . Выразим через
C1 и C2	значения базисных переменных: из 2–го уравнения x2 13x3					5 x4
13C1	5C2 ,	затем из 1-го уравнения	x1	x2 5x3 13C1 5 C2		5C1
8C1 5C2 .		Общее решение имеет вид:	x1	8C1 5C2 ,	x2 13C1 5C2 ,
x3 C1 ,	x4 C2 , C1,C2 R , или

x3x4

8С1 5С2				82			5
	13С 5С		С		13	С		5
	1	2	С			С			.
	С1 0 С2		1		1	2		0
	С1 0 С2				1			0
	0 С1 С2				0			1

Любая ФСР содержит n r(A) 4 2 2 решения. Одну из ФСР X1, X 2

можно	получить,			положив в общем решении сначала					C1 1, C2 0, затем
C 0 , C 1:		X	1	8; 13;1; 0 T ,	X	2	5; 5; 0;1 T .
1	2
Если принять за базисные неизвестные x2 и								x4 , их выражениями через
свободные x1		и		x3 будут x2 x1	5x3 , x4 0,2x1			1,6x3	(проверьте!). «Стан-

дартный» способ построения общего решения и ФСР приводит в этом случае к

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.2016640.32 Кб87Моделирование - Лабораторная работа №1.pdf
#
13.03.20162.2 Mб49Моделирование - Лекция.pdf
#
13.03.20161.08 Mб27Моделирование - Нелинейные уравнения.pdf
#
13.03.2016786.52 Кб17Моделирование - Эмпирические модели.pdf
#
30.03.201589.6 Кб12модель смарт.doc
#
30.03.20151.83 Mб129Модуль 1 Линейная алгебра.pdf
#
30.03.2015758 Кб20Модуль 2 Векторная алгебра.pdf
#
30.03.201559.98 Кб18Модуль 2.docx
#
30.03.2015176.94 Кб4моё-1.docx
#
30.03.2015229.63 Кб6моё.docx
#
25.12.2018330.24 Кб9мои ответы.doc