Модуль 1 Линейная алгебра

числу столбцов В, а элемент i -й строки и k -го столбца матрицы C равен произведению i -й строки матрицы A на k -й столбец матрицы B . При n q про-

Из данного примера видим, что свойство коммутативности при умножении даже квадратных матриц не имеет места, т.е. AB BA не всегда.

Определение 1.16. Матрицы A и B , для которых AB BA, называются коммутирующими (или перестановочными).

Очевидно, что коммутирующими могут быть лишь квадратные матрицы одного размера.

11

Очевидно, что если A – квадратная матрица, а E – единичная матрица того же порядка, то AE EA A .

Теорема 1.2. Пусть определены соответствующие произведения матриц. Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

1.A BC AB C (ассоциативность умножения);

2.A B C AB AC (дистрибутивность по отношению к сложению);

3.A B C AC BC (дистрибутивность по отношению к сложению);

4.AB A B A B , R ;

5.Если A Am n , то Em A AEn A .

Определим целую положительную степень квадратной матрицы, полагая

1.2.3. Транспонирование матрицы

12

Определение 1.19. Если A AT , то матрица A называется симметричной.

Теорема 1.3. Операция транспонирования обладает следующими свой-

ствами: 1) AT T A; 2) A B T AT BT ; 3) A T AT ; 4) AB T BT AT .

Свойства 2) и 4) следует понимать так: если левая часть равенства определена, то правая часть тоже определена и равна левой.

1.3. Элементарные преобразования матриц

Определение 1.20. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

1.Умножение всех элементов строки на одно и то же число, отличное от нуля.

2.Перестановка двух строк.

3.Прибавление к одной строке другой строки.

4.Те же преобразования со столбцами.

Определение 1.21. Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Обозначение: A ~ B .

Определение 1.22. Трапециевидной матрицей называется матрица вида

Теорема 1.4. Любая матрица с помощью элементарных преобразований над строками и, быть может, перестановок столбцов может быть преобразована в трапециевидную.

Доказательство. Пусть дана ненулевая матрица А aij m n .

Пусть a11 0 (если он равен нулю, то посредством перестановок строк и

столбцов переведем какой-нибудь ненулевой элемент матрицы в эту позицию, т.е. в левый верхний угол). Прибавив ко второй строке первую, умноженную на

13

щью элементарных преобразований над строками.

Решение. Прибавим ко второй (II) строке исходной матрицы первую (I) строку, умноженную на (–3), и получим

Преобразование такого вида будем обозначать как II ( 3) I .

В полученной матрице к третьей (III) строке прибавим первую (I) строку, умноженную на 4, и, используя введенные обозначения, получим

Третью (III) строку умножим на число 2:

В полученной матрице к третьей (III) строке прибавим вторую (II) строку, умноженную на 17, и получим ступенчатую матрицу, эквивалентную исходной:

Контрольные вопросы и задачи

1.Определены ли сумма и произведение матриц A и B , если A – матрица размера 3 3, а B – матрица размера 4 4 ? Аргументируйте ответ.

2.Может ли произведение двух ненулевых матриц равняться нулевой матрице? Если да, приведите пример.

3. Может ли произведение двух матриц быть числом? Если да, приведите пример.

4. Если матрицы A, B можно складывать, то можно ли их умножать?

15

5.Если матрицы A, B можно умножать, то можно ли их складывать?

6.Может ли матрица A быть равной матрице AT ?

7.Если A, B – симметричные матрицы, то будет ли матрица AB симметричной? Если нет, приведите пример.

8.Докажите, что если матрицы A, B – симметричные и коммутирующие, то матрица AB будет симметричной.

9.Могут ли быть эквивалентными матрицы разных размеров?

10.Докажите, что Ak Ap Ak p и Ak p Akp , k, p N .

14. Найдите линейные комбинации заданных матриц:

Доказательство. Применим метод индукции по n. Для n=1 предложение очевидно. Пусть оно верно для n–1. Совокупность перестановок n элементов разобьем на n частей, по положению элемента n на первом, втором, …, n-ом месте. В каждой части будет (n–1)! перестановок, поскольку их число равно числу расположений элементов 1,2,…, n–1 на n–1 незанятых местах. Следовательно, число перестановок равно Pn =n·( n–1)! = n!

В дальнейшем перечисляемыми элементами будем считать числа натурального ряда 1, 2,…, n.

Пример 2.1. Пусть n = 3. Перечисляемыми элементами будут 1,2,3. Тогда имеется 3! = 6 перестановок: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).

Пример 2.2. Пусть n = 3. а) inv 1,2,3 0 , так как никакая пара данной перестановки не образует инверсию; б) inv 1,3,2 1, так как инверсию образует одна пара (3,2); в) inv 2,1,3 1, так как инверсию образует одна пара (2,1); г) inv 2,3,1 2 , так как инверсии образуют две пары (2,1), (3,1); д) inv 3,1,2 2 , так как инверсии образуют две пары (3,1), (3,2); е) inv 3,2,1 3, так как инверсии образуют три пары (3,2), (3,1), (2,1).

Определение 2.3. Перестановки, содержащие четное число инверсий, называются четными, содержащие нечетное число инверсий – нечетными.

Доказательство. Пара k , k 1 образует инверсию в одной из сравниваемых перестановок и не образует в другой. Для любой другой пары i , j , не содержащей элементов k и k 1 или содержащей только один из них, тот из элементов i , j , который расположен левее в одной из перестановок, будет расположен левее и в другой. Это означает, что пара i , j или образует ин-

18

версию в обеих перестановках, или не образует инверсию ни в одной из них. Таким образом, k , k 1 – единственная пара, которая образует инверсию в

одной из перестановок и не образует в другой.

2.2. Определитель квадратной матрицы

Часто в математике бывает полезно охарактеризовать объект, определяемый многими параметрами, с помощью одной величины. Определитель – пример такого рода. Он вводится только для квадратных матриц.

Определение 2.4. Определителем квадратной матрицы порядка n называ-

ется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. Сомножители в каждом слагаемом записываются в порядке следования строк, тогда номера столбцов образуют перестановки; слагаемые, соответствующие четным перестановкам, берутся со знаком «плюс», соответствующие нечетным

Правило вычисления определителя третьего порядка (2.2) называется «правилом треугольников» и иллюстрируется схематически таким образом:

= _