Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора

Возьмем в теле произвольную точку А (х, у, z). Через эту точку можно провести бесконечное множество площадок. Очевидно, что на одной из площадок нормальное напряжение достигнет наибольшего для данной точки значения, а на другой касательное напряжение примет свое максимальное значение.

Пусть для точки А известно положение главных осей напряженного состояния. Если их принять за систему координат (рис.23), то в наклонной площадке с вектором нормали (l,m,n) возникают нормальные и касательные напряжения Р(,). Определим эти напряжения и исследуем их экстремальные свойства.

Рис.23

Нормальные напряжения в любой наклонной площадке выражаются основной квадратичной формой (33). Запишем её с учетом того, что в качестве системы координат приняты главные оси:

_=₁l²+₂m²+₃n² (38)

Найдем квадрат полного напряжения на наклонной площадке как сумму квадратов его проекций, выражения для которых были найдены ранее (32):

Р²=P_х²+P_у² +P_z² =₁²l²+₂²m² +₃²n² (39)

Также полное напряжение на наклонной площадке можно представить как сумму нормального и касательного напряжений (17).

Таким образом, мы имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными - l²,m², n²:

 =₁l²+₂m²+₃n²

²+²=₁²l²+₂²m² +₃²n²(40)

1 = l² +m² +n²

Умножим каждое уравнение на произвольные множители a,b,cи сложим, сгруппировав при этом слагаемые по направляющим косинусам

а+b(²+²) + с =

= l²(а₁ +b₁²+ с) +m ²(а₂ +b₂²+ с) +n ²(а₃ +b₃²+ с) (41)

Для определения величины l²подберем коэффициентыa,b,cтаким образом, чтобы вторая и третья скобки в правой части уравнения (41) обнулились:

а₂ +b₂²+ с = 0,

а₃ +b₃²+ с = 0,

получаем

b= 1, а = -(₂ +₃), с =₂₃.

Подставляя полученные коэффициенты в уравнение (41), находим величину l²:

l²=. (42)

Аналогично находим квадраты двух других направляющих косинусов

m ²=,

(43)

n ²=.

В уравнениях (42) и (43) дроби должны быть больше нуля, так как в левых частях стоят квадраты величин. Проанализируем знаменатели дробей на основе неравенства ₁ ₂ ₃:

 0,

 0, (44)

 0.

На основе неравенств (44) можно сделать вывод о знаке числителя:

 0,

 0, (45)

 0.

Сделав ряд математических преобразований, можно показать, что неравенства (45) представляют собой области, ограниченные окружностями. Рассмотрим третье неравенство и представим его решение графически (рис.24):

(46)

Представим решение системы (45) графически (рис.25). Эта диаграмма называется круговой диаграммой Мора. Круговая диаграмма позволяет установить экстремальные свойства нормальных и касательных напряжений.

_

_

Рис.24

₁- максимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;

₃- минимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;

_max=- максимальное касательное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке, действует на площадках наклоненных к главным на угол 45.

Рис.25