- •Лекции по курсу «сопротивление материалов» Основные понятия и определения
- •Физическая и математическая модель
- •Геометрические характеристики сечения
- •Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе координатных осей
- •Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей
- •Геометрические характеристики сложных сечений
- •Метод сечений. Внутренние силы
- •Напряжение. Напряженное состояние в точке тела
- •Интегральные характеристики напряжений в точке
- •Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения
- •Закон парности касательных напряжений
- •Напряжения на наклонных площадках
- •Главные площадки и главные напряжения
- •Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора
- •Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения
- •Математическая модель механики твердо деформируемого тела
- •Деформированное состояние тела
- •Касательные напряжения при кручении
- •Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского
- •Теории (гипотезы) прочности
- •Растяжение (сжатие) стержней
- •Кручение стержней
- •Изгиб стержней.
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Оглавление
- •Литература
Геометрические характеристики сложных сечений
При вычислении геометрических характеристик сложных сечений последние обычно разбивают на отдельные простые части, геометрические характеристики которых известны (для простых фигур они приведены в справочниках). Из основного свойства интеграла суммы следует, что геометрические характеристики сложной фигуры равны сумме геометрических характеристик её составных частей. Заметим, что в случае, когда в сечении имеется отверстие, его геометрические характеристики необходимо вычитать. Также следует учесть, что суммирование или вычитание геометрических характеристик можно производить только в том случае, если они посчитаны относительно одних и тех же осей. Поэтому, если оси простых фигур не совпадают, предварительно необходимо, используя формулы параллельного переноса (10), пересчитать геометрические характеристики относительно одной и той же оси.
Пример.Определить положение главных центральных осей и значения геометрических характеристик относительно них для сложного сечения представленного на рис.12.
Рис.12
Разобьем данное сечение на элементарные фигуры, геометрические характеристики которых известны по справочникам. Оси Х1У1– центральные оси первой фигуры. Оси Х2У2– центральные оси второй фигуры.
1 фигура - треугольник:
F1=
Sx1=0
Sy1=0
Ix1=
Iy1=
Ix1y1=-
2 фигура - прямоугольник:
F2 = bh = 4c∙c = 4c2
Sx2=0
Sy2=0
Ix2=
Iy2=
Ix2y2=0
Заметим, что центробежный момент инерции прямоугольника равен нулю, т. к. фигура имеет ось симметрии.
За вспомогательные оси, относительно которых вычисляем координаты центра тяжести всего сечения, принимаем Х1У1.
Хс==
Ус==- 0,86c
По полученным значениям координат центра тяжести находим положение центральных осей всего сечения.
Найдем геометрические характеристики всего сечения относительно центральных осей. Так как оси параллельны, воспользуемся формулами преобразования при параллельном переносе осей.
Sxс=0
Syс=0
Ixc =
=(1,5с4 + (0,86с)2∙3с2) + (0,33с4 + (-0,64с)2∙4с2) = 5,69с4
Iyc =
=(0,67с4 + (-0,76с)2∙3с2) + (5,33с4 + (0,57с)2∙4с2) = 9,03с4
Ixcyc =
=(-0,5с4 + (0,86с)∙(-0,76с)∙3с2) + (0 + (-0,64с)∙(0,57с)∙4с2) = -3,92с4
Найдем положение главных центральных осей сечения. Для этого определяем угол поворота центральных осей.
tg2== – 2,35,
=0,5arctg(- 2,35) = - 33,5°.
Так как получили отрицательный угол, то поворачиваем центральные оси по часовой стрелке.
Найдем значения геометрических характеристик относительно главных центральных осей сечения Х0У0:
Iх0=Iхccos2 -Iхcуcsin2 +Iуcsin2 = 5,69с4 ∙cos2(-33,5) + 3,59c4∙sin(-67) + 9,03с4∙sin2(- 33,5) = 3,4с4;
Iу0=Iyccos2 +Iхcуcsin2 +Ixcsin2= 9,03с4∙cos2(-33,5) – 3,59c4∙sin(-67) + 5,69с4∙sin2(- 33,5) = 11,32с4;
Iх0у0= Iхcуccos2 - 0,5sin2(Iyc - Ixc) = - 3,92 cos(-67) – 0,5sin(-67)(9,03с4 – 5,69с4) = 0.
Статические моменты инерции сечения при повороте осей проходящих через центр тяжести не меняются и остаются равными нулю.