- •Лекции по курсу «сопротивление материалов» Основные понятия и определения
- •Физическая и математическая модель
- •Геометрические характеристики сечения
- •Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе координатных осей
- •Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей
- •Геометрические характеристики сложных сечений
- •Метод сечений. Внутренние силы
- •Напряжение. Напряженное состояние в точке тела
- •Интегральные характеристики напряжений в точке
- •Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения
- •Закон парности касательных напряжений
- •Напряжения на наклонных площадках
- •Главные площадки и главные напряжения
- •Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора
- •Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения
- •Математическая модель механики твердо деформируемого тела
- •Деформированное состояние тела
- •Касательные напряжения при кручении
- •Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского
- •Теории (гипотезы) прочности
- •Растяжение (сжатие) стержней
- •Кручение стержней
- •Изгиб стержней.
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Оглавление
- •Литература
Закон парности касательных напряжений
В окрестностях произвольной точки напряженного тела выделим элементарный объём в форме прямоугольного параллепипеда со сторонами dx,dy,dz. На каждой из граней действует по три составляющих напряжения: нормальное напряжение и два касательных (рис.20).
Рис.20
Составим уравнение равновесия выделенного элемента в форме суммы моментов всех сил относительно оси X:
Мх= 0,
уdxdzdy-уdxdzdy+zdxdydz-zdxdydz+xydydz-xydydz+
+ xzdydz-xzdydz+zydxdydz-yzdxdzdy= 0,
приведя подобные слагаемые и упростив выражение, получим:
zy=yz. (29)
Составляя уравнения равновесия относительно осей YиZ, получим аналогичные выражения:
zх=хz, (30)
хy=yх.
Полученные выражения (29), (30) определяют закон парности касательных напряжений: касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены либо к общему ребру, либо от него.
Напряжения на наклонных площадках
Элементарный объём в форме параллепипеда, связанный с системой координат таким образом, чтобы его грани совпадали с координатными плоскостями, рассечем наклонной плоскостью (рис.21).
Рис.21
Положение наклонной площадки характеризуется вектором нормали с направляющими косинусамиl,m,n. На наклонной площадке площадьюdFдействует полное напряжение Р с проекциями по осям Рх, Ру, Рz. Пусть нормальные и касательные напряжения на гранях, совпадающих с координатными плоскостями, известны. Необходимо найти нормальное и касательное напряжение на наклонной площадке - и. Площадки, отсекаемые на координатных плоскостях, будут иметь площади:
dFx=dFl,dFy=dFm,dFz=dFn.
Составим уравнение равновесия сил в проекции на ось Х:
Х = 0,
PxdF-xdFx-yxdFy -zxdFz= 0,
PxdF - xdFl - yxdFm - zxdFn = 0,
Px = xl + yxm + zxn. (31)
Аналогично, составляя уравнения равновесия сил на оси YиZ, получаем выражения для двух других проекций полного напряжения:
Py = xyl +ym + zyn,
Pz = xzl + yzm +zn. (32)
Чтобы определить нормальное напряжение на наклонной площадке, спроецируем проекции полного напряжения на нормаль.
=Pxl+Pym+Pzn=
= xl2+yxml +zxnl+xylm +ym2+zynm+xzln +yzmn+zn2
С учетом закона парности касательных напряжений - (29) и (30), получаем основную квадратичную форму нормальных напряжений:
= xl2 + ym2 +zn2 + 2yxml + 2zxnl + 2zynm (33)
Полученное выражение позволяет определить нормальное напряжение на любой наклонной площадке, поскольку при выводе этого выражения никаких ограничений на положение площадки не накладывалось. Теперь найдем величину касательного напряжения на наклонной площадке:
Р2=Px2 +Pу2+Pz2=2+2,
2=Px2 +Pу2+Pz2-2. (34)