Деформированное состояние тела

Выделим в теле прямоугольный параллепипед. После нагружения он трансформируется в косоугольный, то есть появляются линейные и угловые деформации. Деформированное состояние характеризуется тензором деформаций. Этот тензор будет симметричным, так как _ху =_ух(угловые деформации одного и того же прямого угла).

Сравним основные квадратичные формы для нормального напряжения и линейной деформации:

_ = _xl² + _ym² +_zn² + 2_yxml + 2_zxnl + 2_zynm

Как видно, формулы полностью аналогичны. Коэффициенты при направляющих косинусах являются составляющими тензора деформаций:

(74)

Также существуют инварианты деформированного состояния, которые определяются аналогично инвариантам напряженного состояния:

₁=_х+_у+_z,

₂=_х_у+_у_z+_z_х- , (75)

₃= Т_.

Для определения величины главных деформаций существует основное характеристическое уравнение деформированного состояния:

³-₁²+₂-₃= 0

Корни данного уравнения нумеруются в порядке убывания: ₁₂₃. Главные деформации - это линейные деформации в направлении, перпендикулярном главным площадкам деформации, а главными площадками деформации являются такие, в которых угловые деформации равны нулю. Главные площадки расположены по трем взаимно перпендикулярным осям, которые называются главными осями деформированного состояния.

Касательные напряжения при кручении

Задачу по определению касательного напряжения при кручении будем решать с использованием двух гипотез:

- гипотеза плоских сечений;

- радиус, проведенный в сечении до деформации, не искривляется в процессе деформации.

Рассмотрим стержень, нагруженный крутящим моментом. На некотором расстоянии zот начала стержня вырежем бесконечно малый элементdz(рис.34).

Рис.34

Рассмотрим статическую сторону задачи. Для этого найдем связь между крутящим моментом в сечении (рис.35) и касательным напряжением. Любой момент - это произведение силы на плечо. В данном случае для элементарного крутящего момента сила - это произведение касательного напряжения на площадь, на которой оно действует, а плечо есть радиус-вектор от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки.

Рис.35

М_к=(76)

Теперь рассмотрим вырезанный элемент dz(рис.36) с геометрической стороны. В процессе нагружения правое сечение повернется по отношению к левому на некоторый уголdφ. Отрезок АВ после деформации занял положение АВ₁.

Рис.36

Найдем длину дуги ВВ₁из треугольников АВВ₁и ОВВ₁:

dz=dφ

(77)

С физической точки зрения при сдвиге справедлив закон Гука.

 = G(78)

Подставим угловую деформацию из геометрического соотношения (77) в закон Гука (78):

 = G(79)

Полученное выражение подставим в формулу (76):

М_к=,

=.

сделав подстановку в выражение (77), получим:

,

полученное выражение подставляем в закон Гука (78):

 = G.

Окончательно получаем формулу для расчета касательных напряжений в сечении при кручении:

 = (80)

Таким образом, касательные напряжения при кручении круглого стержня распределяются по линейному закону и достигают своего максимума на периферии сечения.