Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МОТС / МОТС-л.doc
Скачиваний:
31
Добавлен:
29.03.2015
Размер:
5.33 Mб
Скачать

Задание для самостоятельной работы

Найти условный экстремум методом неопределенного линейного программирования.

1. z = x1x22 x33 2. z = x1 – 2x2 +2x3

при x1+x2+ x3 = 12 при x12+ x22+x3 2 = 9

3. z = x12+ x22 4. z = x12+ x22 + x32 →min

при x1 + x2 = 5 при x1+x2+ x3 ≤ 12

x1, x2 , x3 ≥ 0

5. z = x1x2x3 6. z = 2x1 + 3x22 +x32

при x1+x2+ x3 = 5 при x1+ x2+x3 = 8

x1x2 + x2x3 + x3x1 = 8 x1, x2, x3 0

7. z = x12 + x22 +x3 8. z = x1x2 + x2x3

при x1+ x2+x3 2 = 4 при x1+ x2 = 4

2x1 – 3x2 = 12 x2 + x3 = 4

9. z = x1x2∙x3 10. z = 6 – 4x1 – 3x2

при 2x1x2+x2x3 = 12 при x12+ x2 = 1

2x1x2 = 8

11. z = 4x1 + x12 + 8x2 + x22 12. z = x12x2 + x22x1 + x1x2x3 + x32 →min

при x1+ x2 = 180 при x1+x2+ x3 ≤ 15

x1, x2 0 x1, x2 , x3 ≥ 0

13. z = x1x2x3x4 14. z = x1x2x3

при x1+ x2 + x3 + x4 = 4 при x1+ x2 + x3 ≤ 6

x1, x2 , x3, x4 ≥ 0 x1x2 + x1x3+ x2x3 ≤ 8

15. z = x1x2 + x1x3 + x2x3 →min 16. z = x1x2x3

при x1+x2+ x3 ≤ 4 при x1+ x2 + x3 = 6

x1x2 + x1x3+ x2x3 = 12

17. z = x12x23 x34→max 18. z = x1 – 2x2 + 2x3→max

при x1+ x2+ x3 =18 при x12+ x22 + x32 ≤ 9

3.6. Задачи квадратичного программирования

Постановка задачи:

1. F = f(x1, x2, xn)  max,

целевая функция – многочлен второго порядка.

2.gi(x1, x2,xn)  bi, i = 1, m – ограничения линейные.

Если ограничения имеют вид , то они приводятся к нужному виду путем домножения на –1.

3. x1, x2,xn  0.

Квадратичная функция имеет только один экстремум. Задачи квадратичного программирования решаются с помощью теории Куна-Таккера.

Алгоритм решения.

1. Составляется функция Лагранжа:

(3.21)

где – где неопределенные множители Лагранжа.

2. Составляются условия Куна-Таккера:

(3.22)

В условиях Куна-Таккера ограничения-неравенства заменяются равенствами путем введения искусственных переменных:

(3.23)

3. Данная задача решается методами линейного программирования, например, методом искусственного базиса. Особенность решения – в процессе перехода от одной симплекс-таблицы к другой должна быть, чтобы хотя бы одна переменная из ограничений (*) и (**) свободной.

Если вид целевой функции другой (min), то ограничения следует привести к виду . Тогда условия Куна-Таккера будут выглядеть следующим образом:

(3.24)

Пример.

Решить задачу квадратичного программирования

Решение.

1. Так как целевая функция минимизируется, то ограничения нужно привести к виду :

2. Составляем функцию Лагранжа:

3. Составим систему Куна-Таккера:

4. Преобразуем ограничения-неравенства в ограничения-равенства путем введения искусственных переменных:

5. Воспользуемся методом искусственного базиса для приведения задачи к каноническому виду:

Составим симплекс-таблицу:

х1

х2

1

2

v1

v2

w3

2

–2

1

–1

–1

0

2

w4

–2

4

1

2

0

–1

6

w1

1

1

0

0

0

0

2

w2

–1

2

0

0

0

0

2

0

–2

–2

–1

1

1

–8

При переходе от одной симплекс-таблицы к другой необходимо проверять выполнение ограничений-равенств. В данном случае 1 и 2 нельзя переводить из свободных в базисные.

Решение заканчивается, когда w3 = w4 = 0 и в правом нижнем углу таблицы – 0.

Ответ: х1 = 0,8, х2 = 1,2.

Соседние файлы в папке МОТС