2.8. Транспортная задача

Транспортная задача является разновидностью ЗЛП [4].

2.8.1. Постановка задачи

Дано:

n потребителей: 1...n.

m складов: 1...m.

Потребность ј-го потребителя в продукции a_j (j = 1...n).

Содержимое i-го склада b_i (i = 1...m).

Стоимость перевозки единицы продукции с i –го склада к j-му потребителю р_ij.

Составить такой план перевозок, при котором суммарная стоимость перевозок минимальна.

2.8.2. Математическое описание задачи

Обозначение:

x_ij – количество продукции, поставляемой с i-го склада к j-му потребителю.

Ограничения:

ограничения на содержимое складов (2.16)

ограничения на потребности потребителей (2.17)

Всего (m+n) ограничений-равенств.

Целевая функция:

(2.18)

Специфика транспортной задачи: единичные коэффициенты при переменных.

Транспортная задача называется сбалансированной, если сумма потребностей потребителей равна сумме содержимого складов:

(2.19)

Если равенство не выполняется, то задача считается несбалансированной и сводится к сбалансированной путем введения фиктивных потребителей с P ij = 0.

2.8.3. Транспортная таблица

Это таблица, в которую заносится допустимый план перевозок (план, удовлетворяющий ограничениям). Элемент X_ij транспортной таблицы – количество продукции, завезенной с i-го склада к j-му потребителю. Таблица имеет следующий вид

	a1	a2	...	an
b1	x11	x12	...	x1n
b2	x21	x22	...	x2n
...	...	...	...	...
bm	xm1	xm2	...	xmn

Сумма элементов i-ой строки равна b_i, сумма элементов j-го столбца равна a_j.

2.8.4. Таблица издержек

Это таблица, содержимое которой – p_ij – стоимость перевозки единицы продукции с i-го склада к j-му потребителю. Имеет вид:

	1	2	...	n
1	p11	p12	...	p1n
2	p21	p22	...	p2n
...	...	...	...	...
m	pm1	pm2	...	pmn

2.8.5. Метод «северо-западного» угла

Это последовательность операций, позволяющая найти начальный допустимый план перевозок.

Дано: незаполненная транспортная таблица.

Определить: допустимый план перевозок, т.е. заполнить транспортную таблицу.

Алгоритм:

1. Сравниваются а₁ и b₁. Меньшее записывается в клетку x₁₁.

2. Находится разность a₁– x₁₁, b₁–x₁₁. Полученные значения записываются соответственно над a₁ и b₁.

3. Строка (столбец), в которой окажется 0, вычеркивается.

4. Переход к заполнению следующей клетки транспортной таблицы. Повторение п.п. 1– 3

5. Окончание процесса, когда над всеми коэффициентами a_i и b_j окажутся 0.

В результате должны оказаться заполненными (m + n – 1) клеток.

Пример.

a₁ = 10, a₂ = 20, a₃ = 30, a₄ = 45;

b₁ = 25, b₂ = 45, b₃ = 35.

Найти начальный допустимый план перевозок.

Незаполненная транспортная таблица примет вид:

	10	20	30	45
25
45
35

Решение:

1. Сравниваются a₁ и b₁: 10 < 25, значит x₁₁=10.

2. a₁ – x₁₁ = 10 – 10 = 0, b₁– x₁₁ = 25 – 10 = 15. 0 записывается над a₁, т.е. над 10, 15 – над b₁, т.е. над 25.

3. Оставшиеся клетки в столбце с a₁ = 10 вычеркиваются.

4. Переход к заполнению следующей клетки таблицы, т.е. к x₁₂. Сравниваются a₂ и b₁ – x₁₁ (то, что осталось от b₁), т.е. 15 и 20. Выбирается меньшее, т.е. 15. В этом случае x₁₁ = 15. В соответствующую клетку таблицы заносится 15.

5. Процесс заканчивается, когда рядом со всеми коэффициентами a_i и b_i будут стоять нули.

Заполненная транспортная таблица с начальным допустимым планом перевозок имеет вид: