2.5.1. Метод искусственного базиса

Суть метода. Вводятся искусственные переменные x_n+1, x_n+2,, x_n+m. Эти искусственные переменные добавляются к левым частям ограничений:

(2.14)

Вводится искусственная целевая функция:

Искомые переменные исключаются из выражения искомой целевой функции, при этом искомая целевая функция оказывается выраженной через искомые переменные x₁,…,x_n.

Полученная задача приведена к каноническому виду. В ней искусственные переменные являются базисными. Далее эта задача решается симплекс-методом.

Чтобы ограничения остались прежними, в результате решения должны быть получены нулевые значения искусственных переменных и искусственной целевой функции.

Особенности решения: если в процессе решения искусственная переменная переходит из базисной в свободную, то столбец, соответствующий этой переменной, исключается из рассмотрения, т.к. эта переменная становится равной нулю.

Анализ полученного решения.

1. Оптимальное решение полученной целевой функции положительно.

В этом случае задача не имеет решения.

2. Оптимальное решение полученной целевой функции равно нулю и среди базисных переменных нет ни одной искусственной →

В этом случае исходные переменные оказались поделенными на две группы: свободные и базисные. После этого осуществляется переход к искомой целевой функции. Для этого в исходном выражении целевой функции базисные переменные выражаются через свободные.

Пример 1.

1. Вводим искусственные переменные ,,.

Искусственная целевая функция: ,

.

2. Составляем симплекс таблицу:

	1	2	3	4	5
6	3	0	2	0	–1	12
7	1	–1	1	0	0	5
8	1	0	1	1	0	6
	5	1	–4	–1	1	–23

Далее по симплекс-методу находим разрешающий элемент (3). Меняем местами переменные x₁ и x₆, причем столбец, соответствующий x₆, вычеркиваем из таблицы.

Новая симплекс-таблица:

	2	3	4	5
1	0	2/3	0	–1/3	4
7	–1	1/3	0	1/3	1
8	0	1/3	1	1/3	2
	1	–2/3	–1	–2/3	–3

Теперь свободной становится переменная x₈, следовательно, вычеркивается соответствующий столбец.

	2	3	5
1	0	2/3	–13	4
7	–1	1/3	1/3	1
4	0	1/3	1/3	2
	1	–1/3	–1/3	–1

Из равноценных столбцов желательно выбрать такой, чтобы искусственная переменная стала свободной.

В результате всех преобразований получена таблица:

	2	3
1	–1	1	5
5	–3	1	3
4	1	0	1
	0	0	0

Как видно из таблицы, в результате тождественного преобразования исходные переменные разделены на базисные и свободные.

3. Переход к исходной целевой функции:

Запишем ограничения, полученные из итоговой симплекс-таблицы:

Выразим базисные переменные через свободные и подставим эти выражения в целевую функцию:

В итоге получена начальная симплекс-таблица, т.е. задача приведена к каноническому виду.

	2	3
1	–1	1	5
5	–3	1	3
4	1	0	1
	–3	–2	–10

Пример 2.

1. Вводятся искусственные переменные ,,:

Искусственная целевая функция:

2. Составляется симплекс-таблица:

	1	2	3	4
5	1	1	1	1	7
6	–3	1	2	1	6
7	2	1	1	–1	2
	0	–3	–4	–1	–15

Далее по симплекс-методу находится разрешающий элемент (1). Меняются местами переменные x₃ и x₇, причем столбец, соответствующий x₇, вычеркивается из таблицы.

Новая симплекс-таблица:

	1	2	4
5	–1	0	2	5
6	–7	–1	3	2
3	2	1	–1	2
	8	1	–5	–7

Теперь свободной становится переменная x₆, следовательно, вычеркивается соответствующий столбец.

	1	2
5	11/3	2/3	11/3
4	–7/3	–1/3	2/3
3	–1/3	2/3	8/3
	–11/3	–2/3	–11/3

В результате всех преобразований получается таблица:

	2
1	2/11	1
4	1/11	3
3	8/11	3
	0	0

Как видно из таблицы, в результате тождественного преобразования исходные переменные делятся на базисные и свободные.

3. Переход к исходной целевой функции:

Записываются ограничения, полученные из итоговой симплекс–таблицы:

Выражаются базисные переменные через свободные и подставляются эти выражения в целевую функцию:

В итоге получается начальная симплекс-таблица, т.е. задача приведена к каноническому виду.

	2
1	2/11	1
4	1/11	3
3	8/11	3
	–2/11	–2