Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МОТС / МОТС-л.doc
Скачиваний:
49
Добавлен:
29.03.2015
Размер:
5.33 Mб
Скачать

3.2. Графический метод решения задач нелинейного программирования

Этот метод применяется, когда количество переменных равно двум и либо целевая функция, либо ограничения линейные. Рассмотрим два случая.

Целевая функция линейная, ограничения нелинейны

Алгоритм решения задачи:

  1. Ограничения-неравенства заменяем ограничениями-равенствами. Строим графики полученных функций.

  2. Выделяем область допустимых решений.

  3. Строим график целевой функции при каком-либо значении правой части (графиком является прямая).

  4. График целевой функции переносим параллельно самому себе до касания с границей области допустимых решений.

  5. Находим координаты точки касания.

Пример.

А – точка касания.

Рис. 3.4. Графический метод решения ЗНЛП для линейной ЦФ

и нелинейных ограничений

Решение.

Точка А лежит на луче, проходящим под углом  к оси абсцисс. Кроме того, точка А принадлежит окружности. Следовательно, координаты точки А можно найти, решив следующую систему:

(рис. 3.4)

Ограничения линейные, целевая функция нелинейна

Алгоритм аналогичен предыдущему случаю с некоторыми отличиями:

  1. область допустимых решений – выпуклый многоугольник;

  2. для нахождения решения требуется строить семейство целевых функций.

Пример.

Рис. 3.5. Графический метод решения ЗНЛП

для нелинейной ЦФ и линейных ограничений

Ответ: x = 8, y = 0, Zmax = 8.

3.3. Задачи дробно-линейного программирования

Существует некоторый класс задач нелинейного программирования, который можно свести к задачам линейного программирования. Это задачи дробно-линейного программирования.

Постановка задачи:

(3.6)

Предположим, что знаменатель целевой функции не равен нулю и положителен (если он отрицателен, то умножим числитель и знаменатель на –1).

Введем новую переменную y0:

(3.7)

тогда ЦФ

(3.8)

Введем переменные ,тогда

(3.9)

Домножим левую и правую части ограничений на Y0:

(3.10)

Добавим еще ограничение:

(3.11)

Получили задачу линейного программирования ((3.9) – (3.11)). Решив ее одним из методов линейного программирования, получим оптимальное решение yj.

Далее осуществляется переход к исходным переменным .

Пример 1.

Решение.

  1. Вводим новые переменные y0, y1, y2:

  1. Преобразуем ограничения:

  1. Преобразуем ограничение-неравенство в ограничение-равенство введением искусственной переменной y4:

  1. Приведем задачу к каноническому виду методом искусственного базиса:

Искусственная целевая функция: G = y5 + y6  min.

  1. В результате решения задачи методами линейного программирования получен ответ:

  1. Переход к исходным переменным:

Пример 2.

Решение.

              1. Вводим новые переменные y0, y1, y2, y4:

а) Искусственные переменные выражаем из ограничений и подставляем в искусственную целевую функцию:

Теперь задача приведена к каноническому виду.

б) Решаем задачу линейного программирования, для которой искусственные переменные – базисные, а искомые – свободные. Задачу решаем для искусственной целевой функции.

Далее по симплекс-методу выбирается разрешающий столбец (–6 – максимальный по модулю отрицательный коэффициент целевой функции), разрешающую строку (здесь разрешающей может быть любая строка, правая часть которой – 0), разрешающий элемент (1). Меняются местами переменные Y3 и Y4, причем столбец, соответствующий Y3, вычеркиваем из таблицы.

в) Новая симплекс-таблица:

Проверяются ограничения и целевая функция:

0 – 0 + 2·0 – 4·0 + 0 = 0

0 + 2·0 + 0 + 0 – 6·0 = 0

0 + 3·0 + 1 = 1

0 + 0 + 1 = 1

Меняются местами переменные Y0 и Y5, причем столбец, соответствующий Y0, вычеркиваем из таблицы.

г) Новая симплекс-таблица:

Проверяются ограничения и целевая функция:

0 – 0 + 2·3 – 4·0 + 0 = 0

0 + 0 + 0 + 0 – 6·0 = 0

0 + 3·0 + 1 = 1

0 + 0 + 1 = 1

Меняются местами переменные y2 и y6, причем столбец, соответствующий y2, вычеркиваем из таблицы.

д) Новая симплекс-таблица:

Проверяются ограничения и целевая функция:

Как видно из таблицы, в результате тождественного преобразования исходные переменные делятся на базисные и свободные.

е) Переход к исходной целевой функции:

Q = 3Y2 – 2Y3

Записываются ограничения, полученные из итоговой симплекс-таблицы:

Выразим базисные переменные через свободные и подставим эти выражения в целевую функцию:

В итоге получена начальная симплекс-таблица, т.е. задача приведена к каноническому виду.

1

0

0

1/10

2

–3/5

4/25

3

1/5

7/25

7/5

2/25

Как видим, все коэффициенты целевой функции положительны, следовательно, решение оптимальное.

  1. Переход к исходным переменным:

        1. Задача приводится к каноническому виду методом искусственного базиса:

Искусственная целевая функция: G = y4 + y5 + y6  min.

Соседние файлы в папке МОТС