1.2. Допустимое решение

Допустимое решение – это множество значений переменных, удовлетворяющих ограничениям. Допустимые значения образуют некоторую область – область допустимых решений. Оптимальное решение находится в этой области. Например, для двумерной задачи область допустимых решений образует выпуклый многогранник (рис. 1.1). Здесь x₁, x₂ – параметры, по которым проводится оптимизация.

1.3. Локальный экстремум

Локальный экстремум – это минимальное или максимальное значение функции в окрестности некоторой точки (рис. 1.2). Здесь x₀ – локальный минимум (окрестность т. А), x₁ – локальный максимум (окрестность т. В).

1.4. Глобальный экстремум

Глобальный экстремум – минимальный из всех локальных минимумов или максимальный из всех локальных максимумов.

В этом курсе под понятием минимума (максимума) будет пониматься минимальное (максимальное) значение функции на заданном отрезке (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Минимальное значение функции на отрезке [a, b]

1.5. Условный и безусловный экстремум

Условный экстремум – экстремум, удовлетворяющий ограничениям.

Безусловный экстремум – экстремум, на который не накладываются ограничения.

Пример задачи на поиск безусловного экстремума: найти минимум функции

Добавив к этой постановке задачи ограничения, получим задачу на поиск условного экстремума:

1.6. Критерии оптимальности

Критерий оптимальности – это выражение, характеризующее качество объекта.

Выбор критерия оптимальности является сложной задачей. Рассмотрим задачу выбора критерия оптимальности на примере оптимизации параметров микросхемы.

Основные параметры микросхемы:

Р – потребляемая мощность;

t_з – время задержки распространения сигнала (быстродействие);

U – максимально допустимая амплитуда помехи (помехоустойчивость).

Требуется оптимизировать микросхему по этим параметрам.

Критерии оптимальности подразделяют на три группы: частные, обобщенные и минимаксные.

1.6.1. Частные критерии

Частные критерии оптимальности делятся на две подгруппы:

• оптимизация по какому-либо одному параметру (например, минимальная потребляемая мощность, Р  min);

• минимизация отклонения реальной характеристики от теоретической (рис. 1.4)

Необходимо найти такой вектор внутренних параметров , при котором отклонение реальной характеристики от идеальной будет минимальным. На характеристике выбирают n точек, находят в этих точках разности между реальной и идеальной характеристиками:

(1.3)

Затем разности усредняются:

(1.4)

где Q – критерий отклонения, C_i – весовые коэффициенты.

1.6.2. Обобщенные критерии

Обобщенные критерии – это критерии, связывающие несколько параметров объекта. Обобщенные критерии подразделяются на две подгруппы: обобщенные аддитивные и обобщенные мультипликативные критерии.

Обобщенный аддитивный критерий

В выражение этого критерия входит сумма выходных параметров объекта, взятая с весовыми коэффициентами

(1.5)

где– выходные параметры объекта, – весовые коэффициенты, – вектор внутренних параметров.

Для цифровой микросхемы выходными параметрами являются потребляемая мощность (Р), помехоустойчивость (U) и быстродействие (t_з). Причем, потребляемую мощность и время задержки распространения сигнала требуется по возможности уменьшить, а максимальную амплитуду помехи – увеличить. Следовательно, критерий оптимальности будет иметь вид

(1.6)