Радиоавтоматика / Радиоавтоматика
.pdf
Инструкция для пользователя программного обеспечения
Программный продукт lab1.exe предназначен для расчета и демонстрации на экране дисплея графического изображения переходной и импульсно-переходной характеристик.
После вызова программы на экране дисплея открывается окно «Динамические характеристики линейных непрерывных звеньев».
Производится выбор звена. При этом используется подменю из двух пунктов:
1.Система в разомкнутом состоянии. В рассматриваемом случае имеется возможность выбрать:
идеальное интегрирующее звено,
инерционное звено,
реальное интегрирующее звено.
2.Система в замкнутом состоянии.
Система задается передаточной функцией прямой цепи
W (s) |
k |
(реальное интегрирующее звено). Но изу- |
s(1 sT ) |
чаются при этом свойства системы в замкнутом состоянии.
Колебательное звено.
Апериодическое звено второго порядка.
Далее высвечивается окно, позволяющее ввести числовые пара-
метры выбранной системы и задать предполагаемое значение време-
ни переходного процесса (порядка 0,1 с). Предоставляется возможность вывести на экран одну характеристику или семейства характеристик. В последнем случае указывается изменяемый параметр и задаются все его значения.
21
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Методические указания содержат описание методов анализа систем радиоавтоматики в соответствии с показателями качества, характеризующими их точность и динамику переходного процесса.
Анализ качества линейных непрерывных систем проводится на примере изучения трех типов систем: статических и астатических систем первого и второго порядков астатизма. Изучается влияние наиболее значимых параметров рассматриваемых систем на показатели динамики и точности, а именно:
коэффициента усиления k;
наибольших постоянных времени T1(или Т) инерционного звена;
постоянной времени форсирующего звена (если это звено
имеется).
Важнейшие требования, предъявляемые к системе, характеризуют свойства динамики переходного процесса, с одной стороны, и точность, с другой. Часто эти требования являются противоречивыми
в том смысле, что улучшение свойств динамики снижает показатели точности, и наоборот. Совместному анализу динамики и точности посвящена данная лабораторная работа.
Изучаемые следящие системы автоматического управления задаются структурной схемой (см. рис. 1.1) и передаточной функцией W(s) системы в разомкнутом состоянии.
В предлагаемой работе рассматриваются три типа систем:
W (s)
W (s)
астатизма;
W (s)
тизма.
|
k |
|
– статическая система; |
|
|||
(1 sT )(1 sT )(1 sT ) |
|||
1 |
2 |
3 |
|
k |
|
– астатическая система первого порядка |
|
|
|||
s(1 sT )(1 sT ) |
|||
1 |
2 |
|
|
s(1 s) |
– астатическая система второго порядка аста- |
||
s2 (1 sT ) |
|||
|
|
||
k – коэффициент усиления систем в разомкнутом состоянии;
22
Т, Т1, Т2, Т3, – постоянные времени инерционных и форсирующего звеньев.
Показатели динамики переходного процесса
Показатели динамики процесса, определяемые по виду переходной характеристики
Наиболее полно и наглядно показатели динамики определяются по виду переходной характеристики.
Рис. 2.1. Показатели качества,
определяемые по виду переходной характеристики
Переходная характеристика – это реакция системы на единичный скачок. Она представлена на рис. 2.1.
Показателями качества, определяемыми по виду переходной характеристики, являются:
1) время переходного процесса tп (время регулирования). Это важнейший показатель, характеризующий быстродействие системы. Для его определения на графике характеристики проводят две прямые, параллельные оси 0t, отстоящие от установившегося значения
hуст на величину 0,05hуст в ту и другую сторону (трубка 5 %). tп – это момент времени, когда переходная характеристика входит в трубку
5 % и больше из нее не выходит: h(t) hуст (t) , 0,05hуст;
23
σ hmax hуст 100% .
hуст
Переходный процесс системы может иметь апериодический или колебательный характер. Для систем радиоавтоматики он чаще всего имеет колебательный характер. По переходной характеристике степень колебательности определяется по величине перерегулирования. Перерегулирование σ характеризует степень удаления системы от колебательной границы устойчивости, когда в системе наблюдаются незатухающие колебания и σ = 100 %.
Колебательность является косвенной характеристикой запаса устойчивости системы. Запас устойчивости считается достаточным, если σ 10 30 % . Иногда допускается перерегулирование до 70 %,
ав ряде случаев не допускается вообще (для инерционных систем);
3)число колебаний r за время переходного процесса. Этот показатель колебательности исключительно легко определяется по виду переходной характеристики. Допустимое число колебаний обычно не болееr 2 3, для слабо колебательных систем – меньше одного колебания. Зная период колебаний переходной характеристики, нетрудно определить время переходного процесса (хотя и приближенно), по-
скольку tп r Tкол 2rtm .
Таким образом, по виду переходной характеристики можно определить следующие показатели качества системы:
время переходного процесса tп;
перерегулирование σ hmax hуст 100% ;
hуст
число колебаний r за время переходного процесса.
Показатели качества, определяемые по виду логарифмических частотных характеристик
Анализ системы стараются проводить на основе изучения логарифмических частотных характеристик системы в разомкнутом состоянии (ЛАХ). Они позволяют определить:
1. Характерные частоты системы: частоту среза ср и кри-
тическую частоту кр в соответствии с выражениями:
A( ср) = 1, L( ср) = 20 ∙ lg(A( ср)) = 0, ( кр) = − .
24
Частота среза – это частота, на которой кривая L( ) пересекает ось ω. Критическая частота – частота, на которой фазовая ха-
рактеристика ( ) равна −180˚.
В большинстве случаев для устойчивых в разомкнутом состоя-
нии систем условие ср < кр означает, что в соответствии с критерием Найквиста рассматриваемая система устойчива.
2. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе определяются соотношениями:
L = L( кр) − L( ср) = L( кр) , |
= − ( ср) . |
3.Переходный процесс имеет апериодический или слабоколе-
бательный характер, если частота среза ср попадает на участок логарифмической амплитудно-частотной характеристики с наклоном
−20 дБ/дек.
4.Быстродействие двух однотипных систем (например, два варианта одной системы) можно оценить по частоте среза, посколь-
ку частота среза ср приближенно определяет полосу пропускания си-
стемы. Чем шире полоса пропускания, тем выше быстродействие системы.
5. Для сильно колебательных систем частота среза ср близка к частоте колебаний переходного процесса и, следовательно, период колебания переходной характеристики можно приближенно оценить
следующим образом: Tкол 2 / ср .
Показатели точности системы автоматического управления
В настоящей работе точность системы оценивается только по величине ошибок по регулярному задающему воздействию x(t) (вли-
яние случайных ошибок не учитывается).
Точность системы определяется величиной ошибки (t). Определить закон изменения функции = (t) в течение времени переходного процесса (динамическую ошибку) так же сложно, как и временные характеристики. Гораздо проще найти ошибку в установившемся режиме работы системы (для моментов времени много больших времени переходного процесса, т. е. t >> tn) В дальнейшем будут рассмотрены
только ошибки в установившемся режиме работы системы.
Регулярное задающее воздействие удобно представить в виде его разложения по степеням времени t:
25
x(t) a vt w t2 .
2
Точность системы характеризуется значениями ошибок, вычисляемых для трех пробных регулярных входных воздействий:
x(t) a 1 t , a = const – постоянная составляющая;
x(t) v t 1(t), v = const – скорость входного воздействия;
|
x(t) w |
t2 |
1(t) , w = const – ускорение входного воздей- |
|
|||
|
2 |
|
|
ствия.
Передаточная функция W(s) системы третьего порядка (n = 3) в разомкнутом состоянии представляется как отношение полиномов
(здесь m = 1):
W (s) = |
B(s) |
|
b0s b1 |
C(s) |
c0s3 c1s2 c2s c3 |
Тогда в соответствии со структурной схемой рис. 1.1 передаточ-
ная функция ошибки системы по регулярному задающему воздействию представляется в виде:
W s |
|
s |
|
1 |
|
|
C s |
|
C(s) |
. |
(2.1) |
|||
|
|
1 W s |
B s C s |
|
||||||||||
x |
|
|
|
X s |
|
|
A(s) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Передаточная функция ошибки системы позволяет определить |
||||||||||||||
изображение ошибки |
(s) W x (s) X (s) и после применения обрат- |
|||||||||||||
ного преобразования Лапласа – ошибку уст (t) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
уст |
(t) L 1[ (s)] L 1[W |
|
(s) X (s)]. |
(2.2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
Для расчета характеристик точности системы используется достаточно простой, приближенный метод – метод коэффициентов
ошибок.
Преобразование (2.2) значительно упрощается, если передаточ-
ную функцию ошибки W x(s) приближенно представить в виде разложения ее по степеням s относительно точки s = 0 (в установившем-
ся режиме работы системы, |
когда |
|
t , |
s 0). |
|
|
W |
s γ |
0 |
γ s γ |
s2 , |
(2.3) |
|
x |
|
1 |
2 |
|
|
|
где 0, 1, 2 – коэффициенты ошибок по постоянной составляющей задающего воздействия x(t), по его скорости и ускорению соответственно.
26
Тогда изображение ошибки приобретает вид:
s 0 X s 1sX s 2s2 X s ,
что позволяет, применяя обратное преобразование Лапласа к обеим частям полученного уравнения, получить формулу для вычисления регулярных ошибок системы:
уст t
Следовательно, воздействий имеем: x(t)
x(t)
x(t)
γ |
x t γ |
dx |
γ |
|
d 2 x |
, |
t t . |
|
2 d 2t |
||||||
0 |
1 |
dt |
|
|
n |
||
для трех введенных ранее пробных входных
a const уст 0 a ,
v(t), v const уст 1 v ,
w t2 , w const уст 2 w. 2
Для нахождения коэффициентов ошибок 0, 1, 2 составляются уравнения, получаемые приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях s левой и правой частей соотношения, получаемого из выражений (2.1) и (2.3):
|
s γ |
|
|
|
|
|
c s3 |
c s2 |
c s c |
||
W |
|
γ s γ |
s2 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
. |
||
|
a s3 |
a s2 |
|
|
|||||||
x |
|
0 |
1 |
2 |
|
|
c s a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
a0s3 a1s2 a2s a3 γ0 |
γ1s γ2s2 c0s3 |
c1s2 |
c2s c3 . (2.4) |
||||||||
Итак, формируются три уравнения для определения коэффици-
ентов ошибок 0, 1, 2:
а3 0 c3 ,
(a3 1 a2 0 ) c2 ,
(a3 2 a2 1 a1 0 ) c1.
1.Для статической системы соотношение (2.4) представляется
ввиде:
k 1 sT |
1 sT |
1 sT |
|
|
γ |
0 |
γ s γ |
s2 |
|
1 sT |
1 sT |
1 sT |
|
||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|||
Таким образом:
k 1 γ0 1,
(T1 T2 T3 ) γ0 k 1 γ1 T1 T2 T3 ,
T1T2 T1T3 T2T3 γ0 T1 T2 T3 γ1 k 1 γ2 T1T2 T1T3 T2T3
27
и, после некоторых преобразований имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
0 |
|
1 |
, |
|
|
|
γ |
k T1 T2 T3 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 2 |
1 3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
1 |
|||||||||||||||
|
γ |
|
|
|
k |
1 |
|
T T |
T T |
T T |
|
1 γ |
|
|
|
|
|
T |
T |
|
T |
|
|
γ |
. |
|||||||||||||||||
2. |
Для астатической системы первого порядка астатизма соот- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ношение (2.4) имеет вид: |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
k s |
1 sT |
|
1 sT |
|
|
γ |
|
|
|
γ s γ |
|
|
|
s 1 sT |
1 sT |
|||||||||||||||||||||||||||
и, следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
kγ0 0, γ0 kγ1 1,(T1 T2 )γ0 |
γ1 k 2 T1 T2 , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0, γ1 |
|
|
1 |
, |
γ2 |
k |
T1 |
T2 1 |
. |
|
|
|
(2.5) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Для астатической системы второго порядка астатизма для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выражения (2.4) получим |
|
|
|
|
|
|
γ0 γ1s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
sτ |
s |
2 |
1 sT |
|
|
γ2s |
2 |
s |
2 |
1 sT , |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ0 0 , |
|
|
|
|
γ1 0, |
|
γ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.6) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:
1. Для повышения точности системы следует повышать ее порядок астатизма. В соответствии с формулами (2.5) и (2.6) стати-
ческие ошибки астатических систем всегда равны нулю, так как
0 = 0 (статической называется ошибка по постоянной составляющей
входного воздействия, то есть при х(t) a). Для астатической системы второго порядка ошибка и по скорости входного воздействия равна
нулю, так как и 1 = 0.
2. Для системы любой структуры для повышения точности сле-
дует повышать коэффициент усиления k системы в разомкнутом со-
стоянии.
Подготовка к лабораторной работе
Изучаются три типа систем, заданных передаточными функциями в разомкнутом состоянии. Известны значения всех параметров систем и ряд значений изменяемого параметра.
28
1. Статическая система.
W (s) |
|
k |
|
∙T1 |
= 0,05 c; T2 |
= 0,002 c; T3 = |
|
||||||
(1 sT )(1 sT )(1 sT ) |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
= 0,0005 c.
Изменяемый параметр – коэффициент усиления k. k = 20, 50, 100, 200.
2. Астатическая система первого порядка астатизма.
W (s) |
k |
|
, k = 500 1/c; T2 |
= 0,005 c. |
|
||||
s(1 sT )(1 sT ) |
||||
1 |
2 |
|
|
|
Изменяемый параметр – наибольшая постоянная времени T1.
T1 = 0,05 c; 0,01 c; 0,002 c.
3. Астатическая система второго порядка астатизма.
|
k(1 s) |
|
|
4 2 |
W (s) |
|
, |
k = 4 10 |
1/c , T = 0,001 c. |
s2 (1 sT ) |
Изменяемый параметр – постоянная времени форсирующего звена . = 0, 05 c; 0,01 c; 0,002 c.
Как уже отмечалось, цель данной работы заключается в изуче-
нии влияния наиболее значимых параметров рассматриваемых систем на качество этих систем.
Эта задача решается в два этапа.
На первом этапе в качестве подготовки к лабораторной работе задача решается с применением частотных методов исследования.
Показатели качества, характеризующие динамику переходного процесса, определяются по виду логарифмических частотных характеристик (ЛАХ) и, если требуется, по приближенно построенным ам- плитудно-фазовым характеристикам (АФХ). Используя графические методы исследования, на одном чертеже в масштабе изображаются графики ЛАХ для всех значений изменяемого параметра системы. Для всех характеристик полученного семейства определяются показатели качества, демонстрируемые на графиках. Их значения заносятся в таблицу результатов.
Для оценки точности систем, признанных устойчивыми, необходимо:
1) определить значения коэффициентов ошибок и с их помо-
щью записать выражения для регулярной составляющей ошибки
системыдля трех пробных входных воздействий в установившемся режиме ее работы;
29
2) вычислить значения дисперсий случайных составляющих ошибок системы и шумовой полосы.
В соответствии с полученными данными необходимо описать характер влияния исследуемых параметров на качество изучаемой системы.
На втором этапев ходе выполнения лабораторной работы проводится эксперимент. Используется программный продукт LaB2.new, разработанный на кафедре, позволяющий решить описанную выше задачу с применение временных характеристик системы.
Контрольные вопросы
1.Дать определение статической и астатической систем.Как определяется порядок астатизма?
2.Как по виду логарифмической частотной характеристике оце-
нить:
устойчивость системы,
запасы устойчивости по амплитуде L и фазе ,
колебательность,
быстродействие?
3.Какие показатели качества системы можно оценить по виду ее переходной характеристики?
4.Перечислить способы повышения точности системы по регулярному задающему воздействию.
Задание на эксперимент
1.Самопроверка выполненного на первом подготовительном этапе задания.
Программный продукт LaB2.new позволяет построить семейство переходных характеристик изучаемых систем. Используя эти характеристики, необходимо оценить показатели качества динамики и связать их с подобными показателями, полученными ранее по частотным характеристикам. Кроме того, программный продукт для каждой системы позволяет определить значения коэффициентов ошибоки сравнить их с рассчитанными ранее данными.
2.Продолжить начатую на подготовительном этапе работу по выбору наилучшего значения исследуемого параметра для рассматриваемого типа системы. Задать ряд значений исследуемого параметра с использованием программного продукта LaB2.new, построить
30