Радиоавтоматика / Радиоавтоматика
.pdf
Переходная характеристика используется для анализа качества работы системы (рис. 1.4).
Основными показателями, определяемыми по виду переходной характеристики, являются:
а) время переходного процесса tп (или время регулирования). Это важнейший показатель, характеризующий быстродействие системы. Для его определения на графике характеристики проводят две прямые, параллельные оси 0t, отстоящие от установившегося значения
hуст на величину 0,05hуст в ту и другую сторону (трубка 5 %). tп – это момент времени, когда переходная характеристика входит в трубку
5 % и больше из нее не выходит;
б) перерегулирование:
σ hmax hуст 100 %.
hуст
Переходный процесс может быть апериодическим или колебательным. Для систем радиоавтоматики он чаще всего имеет колебательный характер. Для инерционных систем уровень колебательности ограничивают, для электронных систем радиоавтоматики колебательность допускается, но ее приходится ограничивать, так как она
является косвенной характеристикой запаса устойчивости системы.
Перерегулирование σ характеризует степень удаления системы от колебательной границы устойчивости (в случае нахождения системы на колебательной границе в системе наблюдаются незатухающие колебания и σ = 100 %). Запас устойчивости считается достаточным, если
σ 10 30 %;
в) число колебаний r за время переходного процесса. Этот пока-
затель колебательности исключительно легко определяется по виду переходной характеристики. Допустимое число колебаний обычно не превышает r 2 3, для слабоколебательной системы – меньше одно-
го колебания.
В табл. 1.1 приведены приближенные соотношения, определяющие зависимость между рассматриваемыми показателями качества систем не выше четвертого порядка. M – показатель колебательности, который будет введен позже.
Аналитическими методами вычислять временные характеристики достаточно трудоемко (особенно для систем высокого порядка). Поэтому часто выводы, сделанные в ходе анализа систем первого и
11
второго порядков, распространяются на системы более высоких порядков (третьего, четвертого).
|
|
|
Таблица 1.1 |
|
|
|
|
|
|
Вид системы |
σ |
M |
r |
|
Слабоколебательная |
< 15 % |
<1,2 |
<1 |
|
Среднеколебательная |
15 30 % |
1,2 1,7 |
1 2 |
|
Сильноколебательная |
30 50 % |
1,7 2,5 |
3 4 |
|
Частотные характеристики
Косвенные методы анализа линейных непрерывных систем основаны на применении критерия устойчивости Найквиста, позволяющего по характеристикам системы в разомкнутом состоянии судить о свойствах замкнутой системы. Наиболее часто используемые в дальнейшем частотные характеристики являются характеристиками комплексного коэффициента передачи системы в разомкнутом состоянии:
K ( j ) W (s) |
|
s j |
A( ) e j ( ), |
0 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
где A A( ), |
( ) – амплитудная и фазовая частотные характе- |
||||
ристики. |
|
|
|
|
|
Амплитудно - фазовая характеристика ( АФХ )
Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) – это годограф комплексного коэффициента передачи, изображенный в масштабе на комплексной плоскости. Значения частот при этом изменяются в диапазоне от нуля до (0 ). В тех случаях, когда передаточная
функция системы в разомкнутом состоянии W(s) содержит интегрирующие звенья, АФХ дополняется дугой бесконечно большого радиуса, поворачивающей низкочастотную часть характеристики против часовой стрелки на угол, равный девяноста градусам, помноженный на число интегрирующих звеньев.
Логарифмические частотные характеристики (ЛАХ)
Логарифмические частотные характеристики (ЛАХ) – это сово-
купность логарифмических амплитудно-частотной L(ω) 20 lg(А(ωT )) и фазочастотной ( ) характеристик, графики которых изобра-
12
жаются обязательно один под другим с применением логарифмического масштаба по оси ω (рис. 1.5).
а L(ω)
ωср
ω
б |
φ(ω) |
ωкр |
ω |
|
Рис. 1.5. Логарифмические амплитудно-частотная (а)
и фазочастотная (б) характеристики
Эти характеристики позволяют определить значения амплитуды и фазы в полярной системе координат и построить приближенный график амплитудно-фазовой характеристики (АФХ).
Анализ системы стараются проводить на основе изучения логарифмических частотных характеристик (ЛАХ). Но во всех случаях, вызывающих какие-либо сомнения, необходимо использовать (хотя бы качественную) амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) в разомкнутом состоянии.
Построение ЛАХ типовых звеньев
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии W(s) представляется произведением передаточных функций устойчивых типовых звеньев: усилительных, интегрирующих, инерционных, форсирующих.
1. Идеальное усилительное звено
W(s) = k, k = const; L( ) 20 lg(k), ( ) 0.
13
График L = L( ) логарифмической амплитудно-частотной характеристики усилительного звена представляет собой прямую, параллельную оси ω. Логарифмическая фазочастотная характеристика во всей области частот равна нулю.
2. Идеальное интегрирующее звено
W (s) |
k |
|
1 |
, |
k |
|
1 |
, |
|
s |
sT |
T |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
где k – коэффициент усиления; T – постоянная времени звена.
A(ω) ω1T , f (ω) 90 , L(ω) 20 lg(ωT) , lg(ω) .
График L = L( ) логарифмической амплитудно-частотной характеристики интегрирующего звена (учитывая логарифмический мас-
штаб по оси ) представляет собой прямую с наклоном −20 дБ/дек во всей области частот (0 < ), пересекающую ось на часто-
те = k.
Рис. 1.6. ЛАХ интегрирующего звена
Наклон −20 дБ/дек означает, что при увеличении частоты в 10 раз
(на декаду) величина L( ) уменьшится на 20 дБ.
Логарифмическая фазочастотная характеристика во всей обла-
сти частот равна −90˚ ( ( ) = −90˚). На рис. 1.6 точно один под другим изображены графики ЛАХ интегрирующего звена.
14
3. Инерционное звено имеет передаточную функцию
W (s) |
k |
, |
(1.4) |
1 sT |
где k – коэффициент усиления, T – постоянная времени звена. Значения этих параметров k и T для инерционного звена не зави-
сят друг от друга. Для идеального инерционного звена коэффициент усиления k = 1.
Комплексный коэффициент передачи звена и его характеристики:
|
|
k |
|
k |
, (ω) arctg( T ), |
|
|
K ( jω) |
|
|
, |
A(ω) |
|
|
|
|
1 jω |
1 ω2T 2 |
|
||||
|
|
L(ω) 20 lg(k) 20 lg |
1 2T 2 . |
|
|||
Второе слагаемое в выражении (1.4) (т. е. L( ) при k = 1) |
имеет |
||||||
хорошее приближение в виде линейно-ломаной кривой, к которой истинная кривая асимптотически приближается на малых и больших частотах.
Таким образом, асимптотические логарифмические характери-
стики идеального инерционного звена имеют вид (учитывая единичный коэффициент усиления и постоянную времени T):
|
|
|
1 |
|
|
0, |
0 ω |
|
; |
||
T |
|||||
L( ) = 20 ∙ lg(A( )) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 lg(ωT ), |
|
|
ω . |
||
|
|
T |
|
|
|
( ) = –arctg(T).
График асимптотической амплитудно-частотной характеристики
L( ) идеального инерционного звена представляет собой кривую, со-
держащую два участка. На первом участке она совпадает с осью в диапазоне изменения частот от нуля до частоты сопряжения con= T1 ,
на втором – наклонная прямая с наклоном −20 дБ/дек для частот,
больших частоты сопряжения (см. рис. 1.7).
График фазочастотной характеристики инерционного звена ( ) = −arctg(T) строится в соответствии с табл. 1.2.
15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
5 |
|
10 |
|
|
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( ) |
0 |
−6˚ |
−11˚ |
−26˚ |
−45˚ |
−90˚ + 26˚ |
−90˚ + 11˚ |
−90˚ + 6˚ |
−90˚ |
|||||||
Рис. 1.7. ЛАХ идеального инерционного звена
4. Форсирующее звено
Передаточная функция форсирующего звена имеет вид:
W (s) k(1 sT ),
где k – коэффициент усиления, T – постоянная времени звена.
Значения этих параметров для форсирующего звена не зависят друг от друга. Для идеального форсирующего звена коэффициент усиления k = 1.
Характеристики комплексного коэффициента передачи звена:
A( ) k |
|
1 2T 2 |
, |
( ) arctg( T). |
|
||
|
L(ω) 20 lg(k) 20 lg( |
|
). |
(1.5) |
|||
|
1 ω2T 2 |
||||||
Второе слагаемое выражения (1.5) или L(ω) при k = 1 |
аппрокси- |
||||||
мируется линейно-ломаной кривой: 16
|
|
|
1 |
|
|
0, |
0 |
|
|
, |
|
T |
|||||
L( ) = 20 ∙ lg(ωT )= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+20 lg( T ), |
|
. |
|||
|
|
T |
|
|
|
( ) = +arctg( T).
Таким образом, график L = L( ) идеального форсирующего звена совпадает с осью на частотах, величина которых меньше
частоты сопряжения < T1 , а на частотах, превышающих эту ча-
стоту, является прямой с наклоном +20 дБ/дек (увеличение значения L( ) на 20дБ при увеличении частоты в 10 раз, рис. 1.8).
Рис. 1.8. ЛАХ идеального форсирующего звена
График |
фазочастотной |
|
|
характеристики форсирующего |
звена |
|||||||||||||
( ) = +arctg( T) соответствует табл. 1.3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
0,1 |
|
0,2 |
0,5 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
5 |
|
10 |
|
|
T |
|
T |
T |
|
T |
T |
T |
T |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ϕ( ) |
0 |
6˚ |
|
11˚ |
26˚ |
|
45˚ |
90˚ − 26˚ |
90˚ − 11˚ |
90˚ − 6˚ |
|
90˚ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Показатели качества, определяемые по частотным характеристикам
1.В соответствии с критерием Найквиста устойчивая в разомкнутом состоянии система будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если ее амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) не охваты-
вает точку с координатами (−1; 0) на комплексной плоскости.
2.Характерные частоты системы: частота среза ср и критическая частота кр определяются согласно выражениям:
A(ср) = 1, L(ср) = 20 ∙ lg(A(ср)) = 0, (кр) = − .
Таким образом, частота среза – это частота, на которой кривая L( )
пересекает ось ω. Критическая частота – частота, на которой фазо-
вая характеристика ( ) равна −180˚.
В большинстве случаев условие ср < кр означает, что в соответствии с критерием Найквиста рассматриваемая система устойчива (в общем случае заключение об устойчивости следует проводить на основе анализа АФХ системы).
3. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе определяются соотношениями:
L =L(ср) − L(кр)=L(кр), = − (ср).
Обычно желательно иметь L 12 дБ, 30˚.
4.Есть основания считать, что переходный процесс системы
имеет апериодический характер, если частота среза ср попадает на участок с наклоном −20 дБ/дек.
5.Быстродействие двух однотипных систем (например, два варианта одной системы) можно оценить по частоте среза, поскольку
ср определяет полосу пропускания системы. Чем шире полоса про-
пускания, тем выше быстродействие.
6. Характерные частоты ср и кр и запасы устойчивости A и
могут быть определены также и по АФХ и, естественно, их значения должны совпадать с полученными ранее с использованием ЛАХ.
Подготовка к лабораторной работе
Рассматривается задача изучения влияния коэффициента усиления k системы в разомкнутом состоянии на динамические свойства системы (в замкнутом состоянии). Система задается передаточной
18
функцией в разомкнутом состоянии W (s) |
k |
. Сопоставляются |
|
||
s(1 sT ) |
два варианта системы с разными коэффициентами усиления и одной и той же постоянной времени T инерционного звена.
W (s) |
k |
, k1 |
= 200 1/c, k2 = 2000 1/c, T = 0,001 c. |
s(1 sT ) |
Требуется для представленных вариантов системы оценить качество ее переходного процесса, используя характеристики системы,
полученные в ходе подготовки к лабораторной работе:
по расположению корней характеристического уравнения системы на комплексной плоскости;
по виду логарифмических частотных характеристик (ЛАХ). Во всех рассматриваемых случаях требуется:
1) определить значения показателей качества системы;
2) описать характер переходного процесса;
3) сравнить между собой рассматриваемые варианты системы;
В ходе выполнения лабораторной работы с помощью про-
граммного продукта Lab1 требуется определить временные характеристики (импульсно-переходную и переходную). По виду этих характеристик необходимо определить:
1)показатели качества системы;
2)оценить свойства переходного процесса;
3)сравнить эти выводы с выводами, полученными ранее на основе анализа частотных характеристик.
Контрольные вопросы
1.Дать определение переходной и импульсно-переходной характеристикам системы.
2.Сформулировать условия устойчивости, определяемые:
по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости;
по виду временных характеристик;
по ЛАХ системы.
3.Перечислить показатели качества, определяемые по виду переходной характеристики системы.
4.Оценить показатели колебательности системы по разным характеристикам.
19
5. Как увеличение коэффициента усиления k системы в разомкнутом состоянии влияет на динамические свойства системы?
Задание на эксперимент
1.Осуществить самопроверку задания, выполняемого в ходе подготовки к лабораторной работе.
2.Оценить влияние постоянной времени Т на вид переходной характеристики реального интегрирующего звена. Обосновать полученные заключения изображением семейства переходных характеристик (не менее трех-четырех кривых, изображенных на графике в масштабе с указанием значений как изменяемого, так и неизменяемых параметров).
3.Определить наилучшее значение коэффициента k усиления системы в разомкнутом состоянии, обеспечивающего системе макси-
мальное быстродействие. Обосновать полученные заключения изоб-
ражением семейства переходных характеристик. Кроме графика ха-
рактеристики с оптимальным значением коэффициента k (для доказательства оптимальности) следует привести хотя бы по одному графику с большими и меньшими значениями этого коэффициента.
4. В соответствии с табл. 1.1 вводятся три градации колебатель-
ности системы: слабоколебательная, среднеколебательная и сильно-
колебательная системы. Требуется определить для каждой приведен-
ной градации диапазон изменения коэффициента демпфирования ξ
колебательного звена.
Требования к отчету
Отчет должен содержать:
1.Результаты подготовки к лабораторной работе. В соответ-
ствии с заданием представить графики характеристик:
расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости;
логарифмические частотные характеристики (ЛАХ).
2.Заключения по всем пунктам выполненного задания на экспе-
римент с представлением графиков семейств переходных характеристик, полученных в ходе выполнения пунктов и 2, 3 задания на эксперимент.
3.Привести значения диапазонов изменения коэффициента демпфирования ξ колебательного звена для систем разной степени колебательности (см. табл. 1.1).
20