Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Teoria_uprugosti_Ch2_Ledovskoy_12

.pdf
Скачиваний:
189
Добавлен:
29.03.2015
Размер:
650.8 Кб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

И. В. ЛЕДОВСКОЙ, В. В. РОЩИН, О. Б. ХАЛЕЦКАЯ, Г. С. ШУЛЬМАН

ТЕОРИЯУПРУГОСТИ

Учебно-методическое пособие

Часть II

Санкт-Петербург

2012

1

Теория упругости. Часть II

УДК539.3/8(07)

Рецензенты:

д-р техн. наук, профессор В. Б. Шпильман (СПбГПУ); канд. техн. наук, доцент Н. Б. Левченко (СПбГАСУ)

Ледовской, И. В.

Теория упругости: учеб.-метод. пособие. В 2 ч. Ч. II / И. В. Ледовской, В. В. Рощин, О. Б. Халецкая, Г. С. Шульман; СПбГАСУ. –

СПб., 2012. – 83 с.

ISBN 978-5-9227-0349-9

Пособиесостоитиздвухчастей:впервой–текстызадачкурсовойработы, во второй – методические указания по решению этих задач.

Предназначено для выполнения курсовой работы студентами, обучающимися по специальностям 270205 – автомобильные дороги и аэродромы и 270201 – мосты и тоннели, а также может быть использовано студентами других строительных специальностей при изучении основ теории упругости.

Табл. 4. Ил. 41. Библиогр.: 6 назв.

РекомендованоРедакционно-издательскимсоветомСПбГАСУ в качестве учебного пособия.

ISBN978-5-9227-0349-9

И. В. Ледовской, В. В. Рощин,

 

О. Б. Халецкая, Г. С. Шульман, 2012

 

Санкт-Петербургский государственный

 

архитектурно-строительный университет, 2012

Предисловие

Курсоваяработапотеорииупругостипредполагаетрешениеряда задач, и студенты должны представить эту работу до экзамена (зачета) в установленные сроки. Методические указания должны облегчить выполнение этих задач и повысить эффективность изучения теории упругости.

Вовторойчастиучебно-методическогопособияприведеныпри- меры решения следующих задач:

исследование напряженно-деформированного состояния

вточке;

определение статических и кинематических граничных условий на контуре пластинки;

определение внешних нагрузок, приложенных к телу, в простейших задачах теории упругости обратным методом;

исследование изгиба прямоугольной полосы;

исследование поперечного изгиба тонких плит. Теоретический материал, необходимыйдля решения этих задач,

изложен в ряде учебников, список которых приведен в конце второй частиучебногопособия.Таккаквтеорииупругостииспользуютсяразличные обозначения даже в одной и той же системе координат, в методических указаниях приведенасистема обозначений,котораярекомендуется студентам при выполнении указанной работы (см. ч. 1).

Перед выполнением каждой задачи рекомендуется ответить на вопросы по самоконтролю, приведенные в первой части.

2

3

Теория упругости. Часть II

Задача 1. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ ТЕЛА

Цель решения задачи – усвоение основ теории напряжений и деформаций. При этом предполагается, что напряженно-деформи- рованное состояние тела было определено ранее расчетами или экспериментально.

1.1. Напряженное состояние в точке тела

Мысленно вырежем в окрестности произвольной точки М нагруженного телаэлементарный (бесконечно малый) параллелепипед, грани которого перпендикулярны координатным осям x, y, z (рис. 1).

Условиезадачи.Компонентынапряжений,действующиепограням параллелепипеда, равны следующим величинам:

σx = 40 МПа;

τxy = τyx = −40 МПа;

 

σy =80 МПа;

τyz = τzy = 0;

(1.1)

σz = −60 МПа;

τzx = τxz = −50 МПа.

 

Эти компоненты напряженного состояния показаны на рис. 1

 

сучетомправилазнаков,принятоговте-

 

ории упругости (см. ч. 1).

 

 

Совокупностьнормальныхикаса-

 

тельных напряжений на трех взаимно

 

перпендикулярных площадках

 

 

 

σx, τxy

 

 

 

 

 

, τxz

 

 

τyx, σy

, τyz

 

 

τ

zx,

τ

zy

, σ

z

 

Рис. 1

 

 

 

 

 

называют тензором напряжений.

 

 

Напряженноесостояние НС в точ-

ке полностью определено, если известны шесть компонентов тензо-

ранапряжений σx ,σy , σz , τxy , τyz , τzx (см. рис. 1), т. е., зная эти шесть компонентов напряжений в точке, можно вычислить напряжения на

любой площадке, проходящей через эту точку.

4

Задача 1. Исследование напряженно-деформированного состояния в точке тела

1.1.1. Полное, нормальное и касательные напряжения на наклонной площадке

Найдем напряжения на некоторойнаклонной к осям x, y, z площадке, проходящей через заданную точку. Положение площадки относительно осей координат определяется направляющими косинусами l, m, n внешней нормали ν к этой площадке. Вначале вычисляем значения проекций на оси координат x, y, z полного напряжения pν по формулам

pνx = σx l + τxy m + τxz n;

 

pνy = τyx l + σy m + τyz n;

(1.2)

pνz = τzx l + τzy m + σz n.

 

Затем находим величину полного напряжения:

 

pν =

 

.

 

pν2x + pν2y + pν2z

(1.3)

Зная проекции pνx , pνy , pνz полного напряжения, действующегопонаклоннойплощадке,можноопределить нормальное σν и касательное τν напряжения по формулам

σν = pνx l + pνy m + pνz n =

= σx l2 y m2 z n2 +2(τxy l m yz mn zx nl);

(1.4)

 

 

.

(1.5)

τν =

(pν2 −σν2 )

Рассмотримприменениеформул(1.2)–(1.5),используяисходные

данные (1.1).

 

 

 

Пустьположениевнешнейнор-

 

мали к площадке ABCD (рис. 2) от-

 

носительно координатных осейx, y, z

 

определено следующими значениями

 

направляющихкосинусов(см.табл.1.2

 

учебного пособия, ч. 1):

 

 

 

l = cos(νx) = cos90 = 0;

 

 

 

m = cos(νy) = cos30 = 0,866;

 

cos(νz) = cos60 = 0,5.

 

Рис. 2

 

 

5

 

 

Теория упругости. Часть II

Полезно проверить правильность величин направляющих косинусов подстановкой их в выражение

l 2 + m2 + n2 =1,

(1.6)

которое должно превращаться в тождество.

Подставляя значения напряжений и направляющих косинусов в формулы (1.2), получим:

pνx = 40 0 40 0,86650 0,5 = −59,6 МПа;

pνy = −40 0 +80 0,866+0 0,5= 69,3 МПа;

(1.7)

pνz = −40 0 +0 0,86660 0,5= −30,0 МПа.

Составляющие полного напряжения, имеющие знак «минус», противоположны направлениям осей x и z . Положительная состав-

ляющая pνy направлена вдоль положительной оси y (см. рис. 2).

Значения pν , σν и τν , вычисленные по формулам

(1.3)–(1.5) с учетом заданных напряжений (1.1) и направляющих косинусов, имеют следующие значения:

pν = 96,2 МПа, σν = 44,8МПa;

τν =85,0 МПа.

Напряжение σν имеет

знак «плюс». Следовательно, Рис. 3 оно будет направлено от сече-

ния (рис. 3).

1.1.2. Вычисление проекции касательного напряжения на заданное направление

Направление касательного напряжения τν в плоскости сечения

свнешнейнормалью ν относительнолюбыхдвухортогональныхосей

ξи χ, лежащих в той же плоскости, определяется следующим образом..

Задача 1. Исследование напряженно-деформированного состояния в точке тела

Вначале определяются проек-

 

ции полного напряжения pν на оси

 

ξ и χ в виде τνξ и τνχ (рис. 4).

χ

Затем угол α между касатель-

 

ным напряжением τν и, например,

 

осью χ найдем по формуле

 

α = arctg(τνξ /τνχ).

Рис. 4

Напомним, как найти, напри-

 

мер, τνξ – проекцию полного напряжения pν на ось ξ. Обозначим

направляющие косинусы оси ξ как l1 , m1 , n1 и спроектируем

pνx , pνy , pνz на ось ξ:

 

τν ξ = pνx l1 + pνy m1 + pνz n1.

(1.8)

Подставляя в (1.8) вместо pνx , pνy, pνz их значения в виде (1.2),

получим

 

τνξ = σxl l1 ymm1 + σznn1 +

 

+ τxy (l m1 +l1 m)+ τyz (mn1 + m1 n)+ τzx (nl1 + n1 l).

(1.9)

Здесь l, m, n – направляющие косинусы внешней нормали ν

к площадке, по которой действует касательное напряжение τν . Рассмотрим вновь трехгранную призму, показанную на рис. 3.

Найдем проекцию касательного напряжения τx , действующую по

площадкеВСКнаось ξ, т.е. касательноенапряжение τx ξ (см. рис.3). Внешняя нормаль к площадке ВСК совпадает с положительной

осью x, и ее направляющие косинусы

 

l =1; m = 0;

n = 0.

(1.10)

Направляющие косинусы оси ξ имеют следующие значения:

l1 = 0; m1 = 0,5;

n1 = −0,866.

(1.11)

Вычислим касательное напряжение τxξ по формуле (1.9) с уче-

том (1.1), (1.10) и (1.11):

τx ξ = 40 1 0 +80 0 0,560 0 (0,866)(40)[1 0,5+0 0] +

+0[0 (0,866)+0 0] +50[0 0 +(0,866) 1] = −63,3 МПа.

6

7

 

 

Теория упругости. Часть II

Поскольку внешняя нормаль к площадке совпадает с положитель-

ной осью x , то отрицательное касательное напряжение τxξ будет на-

правленовсторону,противоположнуюнаправлениюосиξ (см.рис.3).

1.1.3. Главные напряжения, определение положения

 

 

главных площадок

Однойизважнейшихзадачинженерныхрасчетовявляетсяоцен-

ка прочности материалов в наиболее напряженных точках конструк-

ций. Для решения этой задачи применяют теории прочности, в кото-

рых используются главные напряжения.

 

3

σ2

В окрестностях любой точки на-

3

груженного тела всегда имеются три

 

 

 

 

взаимно перпендикулярные площад-

 

σ1

σ1

ки, на которых касательные напряже-

 

нияобращаютсяв ноль,асоответству-

 

σ2

 

 

 

ющие полные напряжения перпенди-

 

 

 

 

σ3

1

кулярны этим площадкам. Такие

2

 

 

площадкиназываютсяглавными, нор-

 

Рис. 5

 

мали к ним – главными осями, а нор-

 

 

мальные напряжения – главными на-

 

 

 

пряжениями (рис. 5). Главные напряжения обозначим в порядке убы-

вания σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 .

 

 

Полные напряжения, действующие по множеству площадок,

проходящих в окрестности исследуемой точки, находятся в интерва-

ле σ1 pν ≥ σ3 . Величины главных напряжений являются корнями кубического уравнения

 

σ3 I1σ2 + I2σ − I3 = 0,

(1.12)

где

I1 = σx + σy + σz ;

 

I 2

= σ x σ y + σ y σ z + σ z σ x − τ2xy − τ2yz − τ2zx ;

(1.13)

I3 = σxσyσz + 2τxyτyzτzx −τ2xyσz −τ2yzσx −τ2zxσy .

I1, I2 , I3 – инварианты напряженного состояния, которые не меняются при повороте координатных осей.

Задача 1. Исследование напряженно-деформированного состояния в точке тела

Используя заданные напряжения (1.1), вычислим инвариан-

ты (1.13):

I = 60 МПа;

I

2

= −8100 МПа2 ;

I

3

= −296 000 МПа3.

(1.14)

1

 

 

 

 

 

Подставим значения инвариантов в кубическое уравнение (1.12)

и получим:

 

 

 

 

 

 

 

σ3 60σ2 8100σ + 296000 = 0.

(1.15)

Чтобыуменьшить величиныкоэффициентов вуравнении(1.15),

воспользуемсяподстановкой σ =10x .Послепреобразованийполучим уравнение

x3 6x2 81x 296 = 0.

(1.16)

Для отыскания корнейкубического уравнения имеются готовые формулы (см. справочники по математике), но ими пользоваться неудобно. В наше время можно пользоваться какой-либо вычислительной программой, например Mathcad. В этой программе очень просто построить график функции:

f (x) = x3 6x2 81x 296.

Точки пересечения графика этой функции с осью абсцисс дадут корни полинома, т. е. значения, как это показано на рис. 6.

Рис. 6

Если устудента нет компьютераилион неумеетпользоваться комплексом Mathcad, то можно решить уравнение (1.15) «вручную», т. е. сначала путем подбора надо найти одно значение, обращающее в ноль полином в правой части (1.16). Допустим, этоx = 3,29. Затем де-

ление полинома (1.16) на (y 3,29) приводит к квадратномууравнению

8

9

Теория упругости. Часть II

x2 2,71x 89,916 = 0.

(1.17)

Корнями этого уравнения будут два числа: –8,22 и 10,9. Следовательно, корнями уравнения (1.16) являются числа

x1 =3,29; x2 = −8,22;

x3 =10,9.

 

Числа x1, x2 , x3 ,

увеличенные в 10 раз, являются главными на-

пряжениями σ1 , σ2 , σ3 . Полагая σ1 > σ2 > σ3 , получим

 

σ1 =109 МПа;

σ2 = 32,9 МПа; σ3 = −82,2 МПа.

(1.18)

Выполним проверку найденных значений главных напряжений, вычисливинварианты напряженного состоянияи сравнивих сисходными значениями (1.14):

I1 = σ1 2 3 = 60;

I2 = σ1σ2 2σ3 3σ1 8090;

I3 = σ1σ2σ3 296 000.

Разница междуинвариантамиприповороте осейкоординатвозникает за счет приближенного вычисления напряжений (1.18), и в нашем случае она меньше 1 %.

Если площадка, наклонная к осям x, y, z , является главной, то полное напряжение, действующее по этой площадке, будет перпен-

дикулярно к ней, т. е. pν = σν и его составляющие по осям координат

x, y, z равны

 

pνx = σν l; pνy = σν m; pνz = σν n,

(1.19)

где l, m, n – направляющие косинусы нормалиν к главной площадке. Направляющие косинусы нормали ν к главной площадки найдем следующим образом. Подставим в уравнения (1.5) вместо pνx ,

pνy , pνz их выражения в виде (1.19) и получим систему уравнений

(σx −σν)l + τxy m + τxz n = 0;

 

τyz l +(σy −σν ) m + τyz n = 0;

(1.20)

τzx l + τzy m + (σz −σν) n = 0.

Тривиальное решение системы уравнений (1.20) в виде l = m = n = 0 не может быть искомым решением, так как не будет выполняться соотношение (1.6)

Задача 1. Исследование напряженно-деформированного состояния в точке тела

l 2 + m2 + n2 =1.

Найдем искомые значения l, m, n , решая систему, состоящую из уравнения (1.6) и любых двух уравнений (1.20) (например, первых двух) при условии, что σν = σ1 =109МПа, а компоненты напряжения имеют значения в виде (1.1):

l2 + m2 + n2 =1;

 

(40109,3)l 40 m +50 n = 0;

(1.21)

40l +(80109,3) m = 0.

Используя два последних уравнения (1.21), выразим l и n через m иподставим ихв первое уравнение (1.21). Такимобразом, получим квадратное уравнение относительно m, из которого определяем два значения m. После определения l и n из двух последних уравнений (1.20) получим окончательное решение системы уравнений (1.21) в виде

l = −0,582;

m = 0,789;

n = −0,171

или

 

 

l1 = 0,582;

m1 = −0,789;

n1 = 0,171.

Возникновение двух наборов направляющих косинусов в качестве решения уравнений (1.21) связано с тем, что при повороте на 180° нормали к любой главной площадке изменяются только знаки направляющих косинусов этойнормали(рис.7).Точ-

ность вычисления l, m, n – направляющих косинусов нормали к первой главной площадке – проверяется путем подстановки в урав-

нение (1.6).

Таким образом, два набора направляющих косинусов соответствуют противоположным граням

элементарного параллелепипеда. Рис. 7

10

11

Теория упругости. Часть II

1.2. Деформированное состояние в точке тела

При нагружении в теле возникнут не только напряжения, но и деформации – изменения взаимногорасположения точектела. Рас-

смотрим деформации элементарного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz в окрестности точки тела М (рис. 8), по граням которого

действуют заданные компоненты тензора напряжений (1.1).

Связь между деформациями и напряжениями определяется линейными соотношениями обобщенного закона Гука:

εx =

1

 

[ σx −µ(σy + σz )];

γxy =

 

1

 

τxy ;

 

E

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

εy =

1

 

[ σy − µ(σz + σx )] ;

γyz =

1

 

τyz ;

(1.22)

E

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

εz =

1

 

[ σz −µ(σx + σy )] ;

γzx =

1

 

τzx ,

 

E

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где E – модуль упругости материала; µ – коэффициент Пуассона,

модуль сдвига G = 2(1E).

По формулам(1.22) компоненты деформации в точке при задан-

ныхкомпонентахнапряжений(1.1)и E = 2 105 МПa, µ = 0,25 имеют следующие значения:

εx =1,75 104;

εy = 4,25 104;

εz

= −4,5 104;

(1.23)

γxy = −5 104;

γyz = 0;

γzx

= 6,25 104.

(1.24)

Согласно результатам вычислений отрезки MK и MD, направленные соответственно вдоль осей x и y на рис. 8, удлинятся, а отрезок МА укоротится; прямой угол между ребрами параллелепипеда вплоскости xy увеличится, вплоскости xz уменьшится, а в плоскости yz останется без изменений.

Рис. 8

Задача 1. Исследование напряженно-деформированного состояния в точке тела

Если известны три компоненты линейнойдеформации εx , εy , εz итрикомпо-

ненты угловой деформации γxy , γyz , γzx

в данной точке, то можно определить линейную деформацию в любом направлении и искажение угла между любыми взаимно перпендикулярными бесконечно малыми отрезками, проведенными из этой

точки. Рис. 9 Например,пустьизнекоторойточкиM

(рис. 9) нагруженного тела проведены три луча ν1,ν2 ,ν3 , имеющие соответствующие направляющие косинусы:

ν1(l1, m1, n1), ν2 (l2 , m2 , n2 ), ν3 (l3 , m3 , n3 ).

Ни один из этих лучей не параллелен осям x, y, z и, кроме того, лучи ν2 иν3 взаимноперпендикулярны,т.е.имеетместосоотношение

l2 l3 + m2 m3 + n1 n2 = 0.

Линейная деформация εν1 в направлении луча ν1 вычисляется по формуле

ε

ν

= ε

l 2

y

m2

n2 +

 

 

 

x 1

1

z 1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

+ γxy l1 m1 + γyz m1 n1 + γzx n1 l1.

(1.25)

Деформация сдвига между лучами ν2 и ν3 определяется из сле-

дующего выражения:

 

 

 

 

 

 

 

γν2,ν3 = 2(εxl2l3 ym2m3 zn2n3 )+

 

+ γxy (l2m3 +l3m2 )+ γyz (m2n3 + m3n2 )+ γzx (n2l3 + n3l2 ).

(1.26)

1.2.1. Определение линейной, угловой и объемной деформаций

Компоненты деформаций в точке тела M имеют, например, значения (1.23) и (1.24). Требуется вычислить линейную деформацию в

направлении ν1 (см. рис. 9), заданном направляющими косинусами относительно осей x, y, z (см. табл. 1.2 пособия, ч. 1):

12

13

Теория упругости. Часть II

l = 0,8;

m = 0,5;

n = −0,332.

(1.27)

Подставляявформулу(1.25)значениякомпонентовдеформации (1.23) и направляющих косинусов (1.27), получим

εν =1,75 104 0,82 + 4,25 104 0,52 4,5 104(0,332)2 − −5 104 0,8 0,5+6,25 104 0,5(0,332) = −1,35 104.

Знак «минус»означает, что в направлении ν1 произойдет укоро-

чение бесконечно малого отрезка, проведенного из точки М.

ДляопределенияугласдвигамеждуотрезкамиBAи BCна рис. 2

совместим с этими отрезками оси ξ

и η:

для оси

ξ

l1 = 0;

m1 = 0,5;

n1 = −0,866;

для оси

η

l3 = −1;

m3 = 0;

n3 = 0.

Подставляязначениякомпонентовдеформацииинаправляющих косинусов в (1.26), получим

γηξ = 2[1,75 104 0(1)+ 4,25 104 0,5 0 4,5 104(0,866)0]

5 104[0 0 +(1)0,5] +6,25 104[(0,866)(1)+ 0 0] = 7,91 104.

По закону Гука (1.22)

τηξ = Gγηξ = 0,8 10+5 7,9125 104 = 63,3 MПа.

 

Поскольку деформация сдвига поло-

 

жительна, то произойдет уменьшение пря-

 

мого угла междуBA и BC на величину γηξ

 

(см. рис. 2). Угловая деформация γηξ по-

 

казана на рис. 10 при условии, что в про-

 

цессе деформации положение отрезка BA

Рис. 10

остается неизменным.

Ранее было вычислено касательное

напряжение τxξ = −63,3 МПа (см.рис.3),прикоторомуголмеждуося-

ми х и ξ увеличился. Так как ось η имеет направление, противоположное направлению оси х, то и

τηξ = −τxξ.

Задача 1. Исследование напряженно-деформированного состояния в точке тела

Объемная деформация

 

εV = εx + εy + εz

(1.28)

не зависит от ориентации осей x, y, z . Если подставить в (1.28) вместо εx , εy , εz их значения в виде (1.23), то получим εV =1,5 104 . Так

как эта деформация оказалась положительной, то в окрестности рассматриваемой точки произойдет увеличение объема.

14

15

Теория упругости. Часть II

Задача 2. ПОСТАНОВКА КИНЕМАТИЧЕСКИХ И СТАТИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Задачей теории упругости является определение напряжений, деформаций и перемещений в любой точке тела, возникающих при заданных объемных и поверхностных нагрузках, а также кинематических граничных условиях на его поверхности.

Рассмотрим вопрос о том, как задаются граничные условия на поверхности тела.

На тонкую пластинку, показанную на рис. 11, наложены связи, препятствующие перемещению пластинки как жесткого тела в плоскости xy . Любые перемещения точек пластинки происходят лишь за счет ее деформации. Эти перемещения разложим на составляющие u, v, w, параллельные соответствующим осям координат x, y, z . Ограничения, которыесвязинакладываютнаперемещенияточекконту-

ра пластинки, называют кинематическими граничными условиями.

a)

c

 

б)

в)

q1 =1 кН/м2

 

 

 

h

 

 

q2 = 2 кН/м2

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

a

2r

2a

t

 

Рис. 11

На участке AK контура пластинки (рис. 11, а) имеется жесткая связьпластинкиснеподвижнымиабсолютнотвердымтелом,длявсех точекконтактаобоихтелсоблюдаютсяусловия u = v = 0 .Контурпластинки в точках C и D имеет дискретные связи с тем же абсолютно твердымтелом.ПеремещенияточкиD контурапластинкиравнынулю, т. е. u = v = 0 . Из двух перемещений точки C в плоскости пластинки лишь одно, параллельное оси y , равно нулю, а другое, параллельное осиx,врезультатедеформацийпластинкиможетиметьместо(табл.2.1).

Задача 2. Постановка кинематических и статических граничных условий

 

 

 

Таблица 2.1

 

Кинематическиеграничныеусловия

 

 

 

 

Участок

Уравнения участка

Перемещение

 

контура

контура

 

 

 

АK

x = 0;

0 y h

u = v = 0

 

 

y = 0;

x =3a + 2r

uC 0; vC = 0

 

Точка C

 

 

y = 0; x = a + 2r

uD = vD = 0

 

Точка D

 

Кпластинке приложены поверхностные нагрузки, параллельные

ееплоскости ираспределенныеравномерно по ее толщинеt (рис. 11,б). Проекция интенсивности поверхностных нагрузок вдоль оси z равна

нулю, т. е. Z = 0 ; кроме того, равны нулю и объемные силы X =Y = Z = 0 . В связи с этим напряженное состояние в любой точке

определяется только тремя компонентами напряжения: σx ,σy , τxy , лежащимиводнойплоскости.Этинапряженияможносчитатьпостоянными по толщине (составляющие напряжения σz , τzx , τzy равны

нулю в точках, прилегающих к боковым поверхностям пластинки, и без существенной ошибки можно предположить, что они обращаются в нуль и по толщине пластинки). Таким образом, в пластинке имеет место плоское напряженное состояние.

В дальнейшем обсуждении толщина пластинки не имеет значения, и этот размер полагается равным единице. Компоненты напря-

жения σx ,σy , τxy меняются непрерывно от точки к точке по всей

пластинке; при достижении границ последней они должны быть такими, чтобы уравновесить внешние силы, приложенные по контуру. Рассмотрим малую трехгранную призму TSL (рис. 11, в). Ее грань TS совпадаетсграницейпластинки(см.рис.11,а).Проекциинаоси x и y интенсивности поверхностных нагрузок, приложенных к контуру

пластинки,равнысоответственно X иY .Условияравновесиянаконтуре пластинки будут иметь следующий вид (см. рис. 11, в):

 

 

 

= σx l + τxy m;

 

X

(2.1)

 

 

 

 

Y

= τxy l + σy m,

 

где l и m – направляющие косинусы нормали ν к контуру пластинки.

16

17

Теория упругости. Часть II

Уравнения (2.1) называютсястатическимиграничнымиусловиями.

Контур пластинки состоит из пяти прямолинейных участков и полуокружности. Значения проекции поверхностных нагрузок

X иY и направляющих косинусов l и m нормалей ν к отдельным

участкам контура пластинки приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Значения X,Y , l, m наконтурепластинки

Уча-

Уравнение участка контура

l

m

 

 

 

 

 

 

 

X

 

Y

 

сток

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

y = h; 0 x c

0

 

1

0

 

–1

BC

y =(3a + 2r x) tg α,

sin α

cos α

2sin α

2cos α

c x (3a + 2r)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CD

y = 0;(a + 2r) < x < (3a + 2r)

0

 

–1

0

 

0

 

 

 

 

y2 +[х(a + r)]2 = r2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ED

y

(a + r)x

0

 

0

 

a x (a + 2r)

r

 

r

 

 

KE

y = 0 при0 x < a

0

 

–1

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проекция интенсивности поверхностных нагрузок X (Y ) имеет знак «плюс», если совпадает с положительной осью координат x (y), и знак «минус», если противоположна положительной оси x (y).

Такимобразом,рольграничныхусловийвтеорииупругостизаключается в следующем:

при помощи статических граничных условий(2.1) обеспечивается равновесие внутренних и внешних сил на поверхности нагруженного тела (см. рис. 11, в);

при помощи кинематических граничных условий соблюдается совместимость перемещений точек тела в результате деформаций с наложенными на тело связями (см. рис. 11, а);

при интегрировании дифференциальных уравнений теории упругости появляются постоянные интегрирования (или функции интегрирования), которые определяются из граничных условий.

Задача 3. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ОБРАТНЫМ МЕТОДОМ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗОК, ПРИЛОЖЕННЫХ К ТЕЛУ

3.1.Основные уравнения теории упругости

1.Статические уравнения (дифференциальные уравнения равновесия внутри тела – уравнения Навье):

∂σ

x

+

∂τxy

+

∂τ

xz

+ X = 0;

 

 

 

 

y

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

z

 

 

∂τyx

+

 

∂σy

 

+

 

∂τyz

+Y = 0;

(3.1)

x

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

∂τ

zx

+

 

∂τzy

 

 

+

 

∂σ

z

+ Z = 0.

 

 

 

y

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

z

 

 

При выводе уравнений (3.1) использованы допущения о сплошности материала и малости деформаций.

2. Геометрические уравнения (соотношения между деформациями и перемещениями – уравнения Коши):

εx =

u

;

γxy =

u

+

 

v

;

 

 

x

 

 

y

 

 

x

 

 

εx =

v

;

γyz =

v

+

w

;

(3.2)

 

y

 

 

z

 

 

y

 

 

εx =

w ;

γzx =

w +

u .

 

 

z

 

 

x

 

 

z

 

 

При выводе уравнений (3.2) также использованы допущения о сплошности материала и малости деформаций.

Таккакшесть компонент деформацийвыражаютсятолькочерез три компоненты смешения u, v, w, то деформации не могут быть независимымидруготдруга.Зависимости,выражающиенепрерывность деформаций тела без трещин, – это условия сплошности Сен-Венана в виде шести уравнений совместности деформаций:

18

19

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]