Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Teoria_uprugosti_Ch2_Ledovskoy_12

.pdf
Скачиваний:
193
Добавлен:
29.03.2015
Размер:
650.8 Кб
Скачать

Теория упругости. Часть II

2ε

x

 

 

2ε

y

 

 

2 γ

xy

 

 

2ε

x

 

 

 

 

 

∂γ

xz

 

 

 

∂γ

xy

 

 

 

∂γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

yz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

y

2

x

2

 

x y

y z

 

 

 

y

 

 

z

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ε

y

 

 

2

εz

 

 

2 γ

yz

 

 

2 ε

y

 

 

 

 

 

 

∂γ

yx

 

 

 

 

∂γ

yz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

∂γzx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

;

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

(3.3)

z

2

 

y

 

y z

z x

 

 

 

 

 

z

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

εz

 

 

2

εx

 

2

γzx

 

 

2

εz

 

 

 

 

 

∂γ

zy

 

 

∂γzx

 

 

∂γ

xy

 

 

 

 

+

 

=

 

;

2

 

=

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

z

2

 

z x

x y

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Физические уравнения (обобщенный закон Гука для изотропного тела) могут быть выписаны в форме соотношений, где деформации выражены через напряжения:

εx =

1

 

[σx −µ(σy + σz )];

γxy =

1

 

τxy ;

 

E

G

 

 

 

 

[σy −µ(σz + σx )];

 

 

 

 

εy =

1

 

γyz =

1

 

τyz ;

(3.4)

E

 

 

G

 

 

 

 

[σz −µ(σx y )];

 

 

 

 

 

εz =

 

1

 

γzx =

1

 

τzx ,

 

 

E

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и в форме равенств, где, наоборот, напряжения выражены через деформации:

 

µ

 

 

 

1

 

 

 

 

σx = G εx +

 

 

εV

;

γxy =

 

 

 

 

τxy ;

 

1 2µ

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ

 

 

 

1

 

 

 

σy = G εy +

 

 

εV

;

γyz =

 

 

 

 

τyz ;

(3.5)

1 2µ

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ

 

 

 

1

 

 

 

 

σz = G εz +

 

 

εV

;

γzx =

 

 

 

τzx ,

 

1 2µ

G

 

 

 

 

 

 

 

 

где εV – объемная деформация, вычисляемая по формуле (1.28).

При выводе уравнений закона Гука использованы допущения о сплошности, упругости, изотропности материала, а также о малости деформаций. Статические уравнения (3.1), связывающие компо-

Задача 3. Решение простейших задач в теории упругости обратным методом. ...

ненты напряжения с проекциями интенсивности объемной силы X ,Y, Z , должны удовлетворяться во всех точках внутритела. Напря-

жения по объему тела изменяются непрерывно; при переходе к поверхности они должны находиться в равновесии с внешними нагрузками, действующими на поверхности тела.

Уравнения равновесия на поверхности имеют вид

 

 

 

 

= σx l + τxy m + τxz n;

 

X

 

 

 

= τyx l + σy m + τyz n;

 

Y

(3.6)

 

 

= τzx l + τzy m + σz n,

 

X

 

где l, m, n – направляющие косинусы внешней нормали к поверхнос-

титела врассматриваемойточке.Уравненияравновесия(3.6)называ-

ют статическими граничными условиями в случае объемного напря-

женного состояния.

Чтобыопределитьнапряженноесостояниевтелепод действием заданныхнагрузок, необходимонайтишестькомпонент напряжений. Трех статических уравнений (3.1), содержащих шесть компонент

напряжений σx ,σy ,σz , τxy , τyz , τzx , недостаточно для их определе-

ния. Задача является статически неопределимой. Чтобы получить решение задачи, необходимо рассмотреть упругие деформации тела. Для раскрытия статической неопределимости используются шесть геометрических уравнений Коши (3.2), связывающих перемещения с деформациями, а также шесть физических соотношений между напряжениямиидеформациямив виде (3.4) или (3.5). В итоге для определения 15 неизвестных функций

σx ,σy ,σz , τxy , τyz , τzx, εx , εy ,εz , γxy , γyz , γzx ,u, v, w

имеется 15 уравнений (3.1), (3.2), (3.4) или (3.5). При этом напряжения должны удовлетворять граничным условиям (3.6), деформации – условиям сплошности или неразрывности (3.3), а перемещения – кинематическим граничным условиям (условиям закрепления тела).

Различают прямой, обратныйиполуобратный методырешения задач в теории упругости.

1. Прямой метод – метод непосредственного интегрирования уравнений(3.1)и(3.2)длятелазаданнойконфигурации,нагруженно-

20

21

Теория упругости. Часть II

го заданными нагрузками. Точное решение получить или невозможно, или очень трудно. Основные затруднения заключаются в точном удовлетворении кинематическим граничным условиям и уравнениям (3.6). Эти трудности исчезают при решении задачи обратным методом.

2. Решение задачи обратным методом является сравнительно более простым, так как этот метод связан с дифференцированием функций. При этом методе, например, задаются перемещениями как

функциямикоординат (x, y, z) и отыскиваются на основании уравне-

ний (3.4) деформации, а по ним находят и напряжения на основании уравнений (3.5); знание последних позволяет при помощи уравнений (3.6)определитьповерхностныевнешниенагрузки,которымсоответствуют заданные перемещения.

Имеянесколькотакихрешений,каждоеизкоторыхсоответствует определенным граничным условиям, можно комбинированием этих решений получить решение и для некоторых задач, которые не решаются прямым методом.

3. Полуобратный метод решения уравнений был предложен Сен-Венаном. При этом методе задают часть перемещений и часть внешней нагрузки и отыскивают остальные компоненты напряжен- но-деформированногосостоянияизусловиявыполнениясоответству- ющих уравнений, приведенных выше.

Рассмотримобратныйспособнапримеререшения простейшей задачи теории упругости. Характерной особенностью простейших задач является то, что напряжения и деформации – постоянные величины или линейные функции координат.

В этом случае условия сплошности (или неразрывности) Сен-Венана (3.3) тождественно удовлетворяются, так как в эти уравнения входят слагаемые в виде вторых производных функций деформации по координатам.

К задачам такого рода относятся:

центральное растяжение (сжатие) стержней силами, приложенными на торцах;

растяжение (сжатие) стержня под действием собственного

веса;

чистый изгиб призматического стержня;

кручение стержня круглого поперечного сечения.

Задача 3. Решение простейших задач в теории упругости обратным методом. ...

К простейшим задачам относятся и комбинации указанных четырех задач: например, изгиб с кручением или изгиб с растяжением под действием собственного веса.

3.2.Пример решения задачи

3.2.1.Постановка задачи

Рассматривается стержень круглого поперечного сечения диаметром 2 r (рис. 12).

Рис. 12

При нагружении в результате деформаций точки стержня получат перемещения

u = −

q

x;

v = µ

q

y;

w = µ

q

z ,

(3.7)

 

E

 

 

E

 

 

 

E

 

где E иµ – соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Требуется определить:

поверхностные и объемные нагрузки, приложенные к этому стержню;

кинематические граничные условия, препятствующие перемещению стержня как абсолютно твердого тела.

3.2.2. Определение компонент деформаций

Выражения для компонент деформаций в произвольной точке получим из уравнений Коши (3.2), подставляя в эти уравнения заданные функции перемещений u, v, w (3.7):

22

23

Теория упругости. Часть II

εx = ux = − Eq ; γxy = ux + vx = 0 ;

εy = yv = µ Eq ; γyz = vz + wy = 0;

εz = wz = µ Eq ; γzx = wx + uz = 0.

Объемную деформацию εV находим, подставляя в выражение (1.28) вычисленные компоненты относительной линейной деформации εx ,εy ,εz :

εV

= εx y + εz = −

q

(12µ) < 0.

(3.8)

E

 

 

 

 

Следовательно, в результате деформаций возникло уменьшение объема тела.

3.2.3. Определение компонент напряжений

Компонентынапряжениянаходимизфизическихуравнений(3.5), связывающих между собой напряжения и деформации. Для этого подставим в (3.5) найденные значения компонент деформации

εx , εy , εz , γxy , γyz , γzx , объемной деформации εV и G = 2(1Е). Итак,

 

 

 

E

 

 

q

 

µ

 

 

q

 

 

 

= −q;

σx = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

2µ)

 

 

 

E

(1 2µ)

 

E

 

2 (1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

q

 

µ

 

 

 

q

 

 

 

 

σy = 2

 

 

 

µ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12µ)

= 0;

 

 

 

 

E

 

(12µ)

 

 

E

 

 

 

2(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

q

 

µ

 

 

 

q

 

 

 

 

σz = 2

 

 

 

µ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

2µ)

= 0;

 

 

 

 

E

 

(1 2µ) E

 

 

2 (1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

τxy = Gγxy = 0;

 

τyz = Gγyz = 0;

τzx = Gγzx = 0.

Задача 3. Решение простейших задач в теории упругости обратным методом. ...

По площадкам, перпендикулярным осям координат x, y, z , касательные напряжения равны нулю. Следовательно, эти площадки

являются главными, а напряжения σx , σy , σz – главными напряже-

ниями. Поскольку из трех главных напряжений два равны нулю, то имеет место линейное напряженное состояние.

3.2.4. Определение объемных нагрузок

Составляющие объемной силы X ,Y, Z входят в дифференци-

альные уравнения равновесия (3.1). Подставляем в уравнения (3.1) вычисленные значения компонентов напряжений:

∂σxx + ∂τyxy + ∂τzxz + X = 0 X = 0; τxyx + σyy + τzyz +Y = 0 Y = 0; ∂τxzx + ∂τyzy + σzz + Z = 0 Z = 0.

Следовательно, при заданных перемещениях u, v, w объемные нагрузки на стержень не действуют.

3.2.5. Определение поверхностных нагрузок

Поверхностные силы могут быть приложены к боковой поверхности стержня, а также на правом и левом его торцах (см. рис. 12). Определим поверхностные внешние нагрузки, под действием которых возникли найденные выше деформации и напряжения.

На боковой поверхности стержня вокруг произвольной точки с координатами y, z выделим площадку, ориентацию которой относительно осей координат x, y, z зададим направляющими косинуса-

ми внешней нормали ν1 к этой площадке (рис. 12 и 13)

l = 0;

m1

=

y

;

n1

=

z

.

(3.9)

r

 

1

 

 

 

 

 

r

 

24

25

26
Рис. 13

Теория упругости. Часть II

Подставим в (3.6) найденные компоненты напряжения

σx ,σy ,σz , τxy , τyz , τzx

и направляющие косинусы l1 , m1 , n1 . Так

как правые части уравнений (3.6) обращаются в ноль, то и левые части уравнений также должны быть равны нулю. Следовательно, боковая поверхность стержня свободна от нагрузок.

Далееопределимналичиевнешнихсилнаправомторце,длячего к малой площадке, лежащей на правом торце, проведем внешнюю

нормаль ν2 (см. рис. 12). Эта нормаль совпадает с положительным направлением оси x и перпендикулярна осям y и z. Направляющие косинусы нормали ν2 :

l2 =1; m2 = n2 = 0.

Подставляя значения l2 , m2 , n2 в граничные условия (3.6), получим

 

 

 

 

 

 

 

(3.10)

X

= σx; Y

= τxy ; Z = τxz .

Таккаквточкахтелауправоготорца приx = L напряженияравны

σx = −q, τxy = τxz = 0,

(3.1)1)

то, подставляя в уравнения (3.10) вместо напряжений их значения в виде (3.11), получим

 

 

 

 

 

 

 

(3.12)

X

 

= −q; Y

= Z = 0.

Наконец, определим наличие поверхностных нагрузок на левом торце. Направляющие косинусы внешней нормали ν3 (см. рис. 12):

l3 = −1; m3 = n3 = 0.

Подставляя эти направляющие косинусы в граничные условия

(3.6), найдем поверхностные нагрузки:

 

 

 

 

 

 

 

 

= −τxy ;

 

 

 

(3.13)

X

= −σx ; Y

Z = −τxz .

Таккакнапряжениявнутрителаулевоготорцавточкахскоорди-

натой x = 0 имеют значения σx = −q;

τxy = τxz = 0 , то проекции ин-

тенсивности поверхностных нагрузок имеют следующие величины:

 

 

 

 

 

 

 

(3.14)

X

 

= q; Y

= Z = 0.

Задача 3. Решение простейших задач в теории упругости обратным методом. ...

На рис. 14 показаны поверхностные нагрузки, приложенные к стержню.

Рис. 14

Выводы

1.Перемещения u, v, w (3.7)вызванысжатиемстержняпродольными внешними нагрузками, равномерно распределенными по торцам (см. рис. 14).

2.Перемещения (3.7) обращаются в ноль при x = 0, y = 0, z = 0. Следовательно, стержень закреплен от перемещений как абсолютно твердоготелатольковточкепересечениялевоготорцасосьюстержня.

27

Теория упругости. Часть II

Задача 4. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

При проектировании сооружений возникает большой класс задач, в которых одну из трех прямоугольных координат можно отбросить и решение задач рассматривать как бы в одной плоскости. Этот класс задач носит название плоской задачи теории упругости, кото-

рая рассматривает как плоскую деформацию, так и плоское напряженное состояние.

Обе задачи различны по постановке. Однако если в качестве основных неизвестных выбрать напряжения, то математический аппарат решения обеих задач одинаков. Для этих задач характерно следующее: число неизвестных равно 3, а все неизвестные являются функциями не трех, а двух координат.

4.1. Плоская деформация

Еслипри нагружениитела перемещения всехточек в результате деформации происходят только в двух направлениях, т. е. в одной плоскости, то такую деформацию называют плоской.

Рассмотрим стержень постоянного поперечного сечения, длина которого в направлении, например, вдоль оси z велика по сравнению с размерами вдоль осей x и y. Предположим, что стержень помещен между гладкими и абсолютно жесткими плоскостями и перемещения наторцахвдольосиz отсутствуют (рис. 15). Эффект удаления этих плоскостей будет рассмотрен ниже. Объемные и поверхностные нагрузки перпендикулярны продольной осиz и не меняются по длине стержня:

 

=

 

(x, y);

 

=

 

(x, y);

 

= 0;

(4.1)

X

X

Y

Y

Z

X = X (x, y);

Y =Y (x, y);

Z = 0.

(4.2)

Тогда в силу симметрии нет перемещений w в среднем сечении. Тоже самоесправедливодля любогосечения. Деформациииперемещения могут происходить только в двух направлениях, т. е. только в плоскости xy возникает деформация, при которой имеет место

w = 0; v = v(x, y); u = u(x, y).

(4.3)

Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений

Рис. 15

Существуетмноговажных

 

прикладных задач такого рода,

 

например,дляплотиныподдей-

 

ствием напора воды (рис. 16),

 

тоннеля или подземного трубо-

γ0

провода, цилиндрического ро-

 

лика, сжимаемого силами в ди-

q =γ0 y

аметральной плоскости. При

 

этом нагрузка не должна изме-

 

няться вдоль длины тела.

 

Рассмотрим основные

 

уравнения теории упругости с

Рис. 16

учетомсоотношений(4.1)–(4.3).

 

4.1.1. Геометрические уравнения Коши

Из уравнений Коши (3.2) видно, что в произвольной точке стержня три компоненты деформации не равны нулю:

εx =

u

;

εy =

v

;

γxy =

u

+

v

,

(4.4)

x

y

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

а остальные три компоненты – равны:

εz =

w

= 0;

γyz =

v

+

w

= 0;

γzx =

w

+

u

= 0.

(4.5)

 

z

 

 

z

 

y

 

 

x

 

z

 

 

Из-за того, что компоненты перемещений (4.3) не зависят от переменной z, компонентыдеформаций(4.4) инапряженийбудуттакже функциями только двух переменных x, y .

28

29

Теория упругости. Часть II

4.1.2. Физические уравнения – закон Гука

 

 

 

 

εx =

1

 

[σx −µ(σy z )];

 

 

 

γxy

=

1

τxy ;

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

εy =

1

 

[σy −µ(σz x )];

 

 

 

γyz

= 0;

 

 

 

 

 

(4.6)

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

εz =

 

1

 

[σz −µ(σx y )]= 0;

γxz = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из третьего уравнения в первом столбце (4.6) найдем напряже-

ние σz :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σz

= µ(σx

+ σy ).

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.7)

Исключим σz из уравнений (4.6):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

εx =

1

[σx −µ(µ(σx y )+ σy )]=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

−µ2

 

 

 

µ

 

 

 

 

=

 

 

[(1−µ

 

 

)σx −µ(1)σy ] =

 

 

 

σx

 

 

 

σy .

 

 

E

 

 

 

 

E

1

−µ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−µ2

 

 

 

 

 

µ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

εy =

 

 

E

 

σy

 

 

 

 

 

σx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−µ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примем обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−µ2

 

1

;

 

 

µ

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

= µ

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

E

1

−µ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

εx =

 

1

[σx −µ σy ];

 

εy =

1

[σy −µ σx ];

γxy

=

1

τxy.

(4.8)

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

Отметим, что G =

 

 

 

 

E

 

 

 

= G.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1.3. Статические уравнения Навье

Из дифференциальных уравнений равновесия внутри тела (3.1) остается два:

Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений

 

∂σ

x

+

∂τ

xy

 

+ X = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

x

 

 

 

 

 

 

∂τyx

 

+

∂σy

+Y = 0.

(4.9)

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

Третье уравнение (3.1) обращается в тождество, так как входя-

щие в него напряжения имеют следующий вид:

 

τzx = τzy = 0; σz = f (x, y),

(4.10)

аинтенсивностьобъемныхнагрузок,параллельныхосиz, равна нулю,

т. е. Z = 0.

Три уравнения равновесия на поверхности тела (3.6) (учитывая, что для боковой поверхности n = cos(νz) = 0 и выполняется условие (4.10)) превращаются в два условия:

X

= σx l + τxy m;

(4.11)

 

 

 

Y = τyx l + σy m.

 

Итак, восемь уравнений (4.4), (4.8), (4.9) содержат восемь неиз-

вестных функций: σx ,σx , τxy , εx ,εy , γxy ,u, v.

Три компоненты деформации выражаются через две функции u, v. Следовательно,онинемогутвыбиратьсяпроизвольноидолжны удовлетворятьуравнениямсплошностидеформацийСен-Венана(3.3). Дважды дифференцируя первое уравнение (4.4) по y , а второе – по x, а затем складывая их, получим

2ε

x +

2εy

 

2u

 

2v

 

2

 

u

 

v

,

 

 

 

 

=

 

 

 

+

 

 

 

=

 

 

 

+

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2

 

 

 

 

y

2

x

 

y

x

 

x

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

x

 

которое, еслиучесть третье уравнение(4.4), являетсяоднимизшести условий сплошности Сен-Венана

2 ε

x +

2 ε

y

=

2 γ

xy

.

(4.12)

 

y2

 

 

x2

 

x y

 

Из шести условий сплошности (неразрывности деформаций) Сен-Венанаостаетсятолькоуравнение(4.12),аостальныетождествен- ноудовлетворяются.Длятела,подчиняющегосязаконуГука(4.8),это условие можно выразить в напряжениях:

30

31

Теория упругости. Часть II

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

X

 

Y

 

 

 

(σ

x

y

) = −

 

 

 

 

 

+

,

(4.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−µ

 

y

 

 

2

 

2

 

 

2

 

 

называется оператором Лапласа или

гармо-

где

=

 

 

+

 

 

 

 

 

 

2

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

ническим оператором.

Если ограничиться исследованиями задач, в которых объемные силы не зависят от координат, то условие сплошности (4.13) упроща-

ется и принимает вид

 

2 (σx y ) = 0.

(4.14)

Таким образом, для трех компонент напряжений σx ,σy , τxy при

плоской деформации в случае объемных нагрузок X = const; Y = const имеем три уравнения:

∂σ

x

 

+

∂τ

xy

 

+ X = 0;

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

∂τyx

 

+

∂σy

+Y = 0;

(4.15)

x

 

y

 

2 (σx + σy ) = 0.

Для цилиндрического тела большой длины, к которому приложены нагрузки (4.1) и (4.2), решение задачи о плоской деформации имеет значение даже и в том случае, если концы стержня будут перемещаться в направлении оси z.

Действительно,еслиопределенынапряжениявсеченияхстержняпри w = 0 , то можно определитьглавныйвектор иглавныймомент внешних сил, приложенных к торцам. Теперь наложим на решение, соответствующее плоской деформации, решение задачи методами сопротивления материалов под действием сил, равных по величине и противоположных по направлению главному вектору и главному моменту сил, возникающих при плоской деформации, на торцах.

Очевидно, что при этом получаем решение задачи о напряжениях в теле, к которому приложены нагрузки по боковой поверхности (4.1) и по объему (4.2), а на торцах нагрузки статически эквивалент-

Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений

ны нулю. Согласно принципу Сен-Венана для достаточно длинного тела на участках, удаленных от торцов, полученное решение будет справедливо и в том случае, если торцы тела будут свободны и от закреплений, и от нагрузок.

4.2. Плоское напряженное состояние

Рассмотрим другой предельный случай, когда размер тела в направлении оси z мал по сравнению с размерами по осям x и y . Например, тонкая пластинка постоянной толщины нагружена силами, приложеннымипоконтурупластинкипараллельноеесрединнойплоскости xy и распределенными равномерно по ее толщине h (рис. 17).

Пусть a – наименьший размер пластинки и h << a .

Рис. 17

Тогда, как и в случае плоской деформации, возможно упрощение основных уравнений теории упругости.

Поскольку поверхностные нагрузки по боковым плоскостям отсутствуют, то и компоненты напряжения σz , τzx , τzy по этим поверхностям пластинки также равны нулю.

Нарис. 18показаныэпюрыдлянапряжений σz и τz потолщине h при точном решении задачи. Кроме того, должно существовать изменение напряжений σx ,σy , τxy по координате z. Однако, как отме-

32

33

Теория упругости. Часть II

чает С. П. Тимошенко, «в достаточно тонкой пластинкеимможнопренебречьподобнотому, как пренебрегают существованием мениска на вершине столбика жидкости в капиллярной трубке термометра» [2]. Поэтому при малой толщине пластинки принимают

σz 0; τzx 0; τzy 0,

(4.16)

т. е. они равны нулю и внутри пластинки. Тог- Рис. 18 да остальные компоненты напряжения также

будут функциями только координат x и y:

σx

= σx (x, y);

 

σy

= σy (x, y);

(4.17)

τxy = τxy (x, y).

 

На основании (4.16) напряженное состояние пластинки, котороеопределяетсятольконапряжениями σx ,σy , τxy ,называется плос-

ким напряженным состоянием.

Рассмотрим общие уравнения теории упругости в случае плоского напряженного состояния, полагая, что поверхностные и объемные нагрузки определяются, как и при плоской деформации, соотно-

шениями (4.1) и (4.2):

 

X

=

 

X

(x, y);

X = X (x, y);

 

 

 

=

 

(x, y);

Y = Y (x, y);

(4.18)

Y

Y

 

 

= 0;

Z = 0.

 

 

Z

 

Из трех дифференциальных уравнений равновесия для плоского напряженного состояния остаются только два, которые полностью совпадают с аналогичными уравнениями (4.9):

∂σ

x

+

∂τ

x y

+ X = 0;

∂τ

y x

+

∂σ

y

+Y = 0.

(4.19)

 

 

 

 

 

 

y

 

 

y

x

 

x

 

 

Напряжения непрерывно изменяются по объему рассматриваемой пластинки. Уравнения (4.19) должны удовлетворяться во всех точках по объему нагруженного тела. При достижении его границ

Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений

напряжения должны быть такими, чтобы находиться в равновесии с поверхностными нагрузками, приложенными на границе пластинки. Поэтому внешние нагрузки можно рассматривать как продолжение внутренних сил. Условия равновесия на поверхности имеют вид (3.6). Из трех уравнений (3.6) останутся только два:

X = σx l + τxy m;

 

 

 

(4.20)

Y = τyx l y m.

 

После введенных допущений закон Гука примет вид

εx =

1

 

[σx −µσy ];

γxy =

1

τxy ;

E

G

 

 

 

 

 

 

 

εy =

1

 

[σy −µσx ];

γzy = 0;

(4.21)

E

 

 

 

 

1

 

 

 

 

εz = −µ

[σx + σy ];

γzx = 0.

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

Как видно, функции деформаций зависят только от координат x и y. Из шести уравнений Коши (3.2) для плоского напряженного состояния останутся только три уравнения:

εx =

u

;

εy

=

v

;

γxy

=

u

+

v

,

(4.22)

x

y

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

совпадающие с уравнениями (4.4).

Три компоненты деформаций выражаются через две функции u и y . Поэтому деформации не могут задаваться независимо друг от друга. Дважды дифференцируя первое уравнение (4.22) по y , а второе – по x, а затем их складывая, получим уравнение

2ε

x

 

2

εy

 

2u

 

2v

 

2v

 

u

 

v

 

 

 

+

 

 

 

=

 

 

 

+

 

 

 

=

 

 

 

+

 

 

,

 

2

 

 

2

 

2

 

 

2

 

 

 

 

y

 

x

 

y

x

 

x

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

x

 

которое, если учесть третье уравнение (4.22), совпадает с одним из шести условий сплошности Сен-Венана (3.3)

2 ε

2 ε

 

2 γ

xy

 

 

 

2x +

 

y

=

 

.

(4.23)

x

y

2

 

 

 

 

 

x y

 

34

35

Теория упругости. Часть II

Таким образом, как и в случае плоской деформации, имеем восемь неизвестных

σx , σy , τxy , εx , εy , γxy ,u, v.

Если исключить из уравнения (4.23) компоненты деформации εx , εy , γxy , используя уравнения (4.19) и (4.22), то получим уравнение, совпадающее с (4.13),

2 (σ

 

+ σ

 

) = −(1

 

X

+

Y

x

y

)

 

.

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

При постоянных объемных нагрузках для компонент напряжения σx ,σy , τxy получим систему уравнений

∂σ

x

+

∂τ

xy

 

+ X =

0;

 

 

 

 

 

y

x

 

 

 

 

(4.24а)

∂τyx

 

 

 

∂σy

+Y =

 

+

0,

x

 

y

 

 

 

 

 

2 (σx y ) = 0,

(4.24б)

котораяаналогичнасистемеуравнений(4.15)дляплоскойдеформации. На поверхности тела компоненты напряжения σx ,σy , τxy долж-

ны удовлетворять статическим граничным условиям (4.20).

4.3. Функция напряжений

Итак, решение двумерных задач сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия (4.24а) вместе с уравнением совместности деформаций (4.24б). Эти уравнения следует дополнить граничными статическими условиями. В дальнейшем полагаем, что объемными силами является только сила тяжести.

При решении уравнений (4.24а) и (4.24б) вводится новая функция, называемая функцией напряжений, которая была предложена Эри. Уравнения (4.24а) тождественно удовлетворяются, если компоненты напряжений выразить через функцию ϕ следующим образом:

σx =

2ϕ

; σy =

2ϕ

; τxy = −

2ϕ

X y Y x.

(4.25)

x2

y2

x y

 

 

 

 

 

Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений

Таким образом, получают множество решений уравнений (4.24а). Искомоерешение,во-первых,должноудовлетворятьуравнению совместности (4.24б), которое с учетом выражений для компонентов

напряжений (4.25) получит следующий вид:

 

4ϕ

+ 2

4ϕ

+

4ϕ

= 0

 

x4

x2y2

y4

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

2 2ϕ = 4ϕ = 0.

(4.26)

Во-вторых, искомое решение должно удовлетворять статическим граничным условиям (4.20).

Функцию, удовлетворяющую уравнению (4.26), можно задать в некоторых задачах (например, в виде алгебраических полиномов с постоянными коэффициентами, а эти коэффициенты определяются из условий нагружения на поверхности тела).

Рассмотрим применение этого метода решения на нескольких примерах.

4.4. Изгиб прямоугольной полосы под действием поверхностной нагрузки

4.4.1. Постановка задачи

Прямоугольнаяполосасузкимпоперечнымсечением,опертаяпо концам, изгибается равномерно распределенной нагрузкой (рис. 19).

Рис. 19

Поскольку h = 2c << L и толщина b мала по сравнению с высотой h, то напряженное состояние полосы можно рассматривать как

36

37

Теория упругости. Часть II

плоское напряженное состояние, т. е. полагать, что напряжения

σx , σy , τxy не зависят от координаты z. Поэтому ширину сечения b примем равной единице.

qL

По торцам действуют касательные нагрузки, равные 2 , а воп-

рос о распределении касательных нагрузок по торцам будет рассмотрен далее.

Также полагаем, что полоса невесома, т. е. объемные нагрузки равны нулю:

X = Y = Z = 0.

(4.27)

Задачаонагруженииполосыобъемнойнагрузкойбудетрассмотрена отдельно. (Решение задачи об изгибе полосы одновременно поверхностной и объемной нагрузками получим, используя принцип суперпозиции или наложения.)

Требуется определить напряжения в полосе методами теории упругости и сравнить их с напряжениями, полученными методами сопротивления материалов.

4.4.2. Решение задачи

Решение плоской задачи осуществим обратным методом, задаваясь сначала функцией напряжений, удовлетворяющей уравнению совместности деформаций Сен-Венана (4.26)

4ϕ

+ 2

4ϕ

+

4ϕ

= 0

x4

x2y2

y4

и статическим граничным условиям (4.20) на контуре полосы

X = σx l + τxy m; Y = τyx l + σy m.

Рассмотрим функцию напряжений в виде суммы алгебраических полиномов

 

a

2

 

2

 

b

 

2

 

d

3

 

 

3

x2 y3

 

y5

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ =

 

 

x

 

+

 

x

 

y +

 

 

 

y

 

+ d5

 

 

.

(4.28)

2

 

2

 

2 3

 

6

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений

Каждому полиному соответствуют определенные внешние нагрузки на поверхности полосы. Выбирая полиномы разных степеней и подбирая для них соответствующие коэффициенты, можно решить много практически важных задач.

Убедимся втом, что, например, функция(4.28) при соответствующем подборе коэффициентов a2 ,b3, d3, d5 дает решение задачи об

изгибе полосы под действием равномерно распределенной нагрузки.

Проверка выполнения уравнения сплошности. Вначале най-

демчастныепроизводныеотфункцииϕ,входящиевуравнениесплошности Сен-Венана:

2ϕ

 

 

 

 

d

5

 

 

2ϕ

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

= a

 

+b y +

 

 

y3 ;

 

 

 

= d

 

y + d

 

x2

y

 

y3

 

;

x2

 

3

 

y2

 

 

3

 

2

3

 

 

 

 

3

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4ϕ

 

= 0;

 

4ϕ

= −4d5 y;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

y4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x24ϕy2 = 2 d5 y.

Подставляя в условие сплошности (4.26) производные, получим

0 + 2 (2 d5 y)4d5 y = 0.

(4.29)

Следовательно, условие сплошности деформаций удовлетворяется при любых значениях коэффициентов a2 ,b3 , d3 , d5.

Определение напряжений через заданную функцию ϕ. Если в(4.25)вместо функции ϕ подставитьеевыражение(4.28),тополучим

 

 

 

2ϕ

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

3

 

σx =

 

 

 

 

= d3

y

+ d5 x

 

y

 

y

 

;

y2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

y

=

2ϕ

= a

 

+b y +

1 d

 

y3;

(4.30)

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

2

3

 

3

 

5

 

 

τ

xy

=

 

2ϕ

 

 

= −b x d

 

xy2.

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

5

 

 

 

 

Уравнения равновесия внутри тела выполняются, если искомые напряжения выражены через функцию ϕ в виде (4.25). Неизвестные

38

39

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]