§ 32. Паросочетания и покрытия

Как отмечалось в § 25, определение числа βo(G) и, тем более, построение наименьшего вершинного покрытия для произвольного графа G — сложные алгоритмические задачи. Эффективных алгоритмов для их решения, видимо, не существует.

Очевидно, что для каждого графа G числа вершин в любом покрытии не меньше числа ребер в произвольном паросочетании, в частности,

Последние два числа могут как совпадать, так и не совпадать. Например, βo (К₃)=2 α1(К₃)=1. Для двудольного же графа эти числа всегда равны, т.е. верна следующая

Теорема 32.1. Для любого двудольного графа G число вершин в наименьшем вершинном покрытии равно

ПустьG = (X, У, Е) — двудольный граф. Вначале редположим, что в G нет изолированных вершин. Очевидно, что для любого подмножества А лежит X множество является покрытием графа G. С другой стороны, пусть D — произвольное минимальное покрытие. Представим множество D в виде

иположим А =Х\Х₁. Тогда N(A)Y₁. Но как замечено выше, множество Х₁ U N(A) само является покрытием. Поскольку покрытие D минимально, то D = Х₁ U N (А). Итак, всякое минимальное покрытие графа G имеет вид (1), и потому

Для графов без изолированных вершин теорема доказана.

Очевидно, что при добавлении к графу G изолированной вершины не меняется ни βo(G), ни a₁>(G), так что теорема верна и для графов с изолированными вершинами. Поскольку для любого графа G верны равенства a₀(G)+ βo(G)=\G\ (теорема 25.5) и α1(G)+ β1(G)= \G\ (теорема 29.1), то из теоремы 32.1 вытекает

Следствие 32.2 (Д. Кёниг, 1916). Для любого двудольного графа G верны равенства

Как показано в § 77, для построения наибольшего паросочетания и наименьшего вершинного покрытия в двудольном графе существуют эффективные алгоритмы. Следовательно, и сложнейшая в общей ситуации задача нахождения наибольшего независимого множества в классе двудольных графов решается эффективно.

Как следствие из теоремы 32.1 получим один важный факт из теории бинарных матриц, доказанный Д. Кёнигом в 1931 году. Под линией матрицы будем понимать ее строку или столбец. Два элемента матрицы назовем независимыми, если они не лежат на одной линии.

Теорема К ё н и г а. Максимальное число попарно независимых единиц бинарной матрицы равно минимальному числу ее линий, содержащих все единицы матрицы.

С одной стороны, произвольная бинарная матрица А может истолковываться как приведенная матрица смежности некоторого двудольного графа G =(Х, Y, Е). Тогда независимость двух единиц матрицы означает, что соответствующая им пара ребер графа G несмежна. Поэтому максимальное число независимых единиц матрицы А равно числу паросочетания a₁(G).

С другой стороны, каждой строке матрицы А соответствует вершина из X, каждому столбцу — вершина из У, а единицам линии — ребра, инцидентные соответствующим вершинам. При этом множеству линий матрицы А, содержащих все ее единицы, соответствует множество вершин графа G, являющееся покрытием. Следовательно, минимальное число элементов в покрытиях графа G равно минимальному количеству линий матрицы А, содержащих все ее единицы. Но согласно теореме 32.1 число вершин в наименьшем покрытии графа G также равно α1(G)