§ 31. Двудольные графы и семейства подмножеств

Обсудим связь между двудольными графами и их паросочетаниями, с одной стороны, и семействами подмножеств и их трансверсалями — с другой.

Пусть G — (X, У, Е) — двудольный граф без изолированных вершин. Будем считать, что X = {1, 2, ..., m}, и определим семейство S_G= (S1, S2,….., S_m) непустых подмножеств множества Y условием S_t = N(i) (i = 1, m)

С другой стороны, пусть S = (S1, s2, ..., S_m)—семейcтво непустых подмножеств произвольного конечного множества У. Определим двудольный граф G_B=(X, Y, E), положив X =(1, 2, ..., m), N(i} = S_t (i = 1, т). Очевидно, что S_GS = S и соответствие G-> S_G является биекцией между классом всех двудольных графов (X, Y, Е) с фиксированными долями X = (1, 2, ..., m} и Y и классом всех m-членных семейств непустых подмножеств множества Y.

Если М — паросочетание двудольного графа G ==(Х, Y, E), то обозначим через Y_M множество вершин из доли Г, покрываемых ребрами этого паросочетания, а через T(G)— множество, элементами которого служат все Y_M, где М — произвольное паросочетание графа G, и пустое множество. Как подтверждает очевидная проверка, верно следующее

Утверждение 31.1. Если G =(X, Y, Е)—двудольный граф без изолированных вершин и 0 перечеркнуть0 = Z лежит Y, то Z T(G) тогда и только тогда, когда множество Z является частичной трансверсалью семейства подмножеств S_G.

Поскольку все частичные трансверсали произвольного семейства непустых подмножеств и & составляют набор независимых множеств матроида трансверсалей, то верно

Следствие 31.2. Для любого двудольного графа G = (X, Y, Е) без изолированных вершин пара (Y, T(G)) — матроид, совпадающий с матроидом трансверсалей семейства S_G. При этом число паросочетания a1(G] равно рангу ро(Y, T(G)).

Итак, условие существования в графе G паросочетания фиксированной мощности t совпадает с условием существования соответствующей трансверсали. Поскольку в рассматриваемой ситуации

для любого подмножества A  X, то теорема Холла превращается в теорему 30.1, а следствие 22.3 — в следствие 30.4.

Как показывают примеры, максимальное паросочетание в графе может оказаться не наибольшим, и это свидетельствует о том, что совокупность всех паросочетаний произвольного графа, вообще говоря, нельзя принять в качестве набора независимых множеств матроида. Тем не менее задача нахождения в двудольном графе наибольшего паросочетания связана с матроидами. Ее можно сформулировать как задачу о пересечении двух матроидов разбиения, или, что то же, как задачу о выборе рансверсали максимальной мощности, общей для двух разбиений некоторого множества. В самом деле, разобьем множество ребер двудольного графа G=(X, Y, Е) на классы, отнеся в один класс все ребра, покрывающие однy и ту же вершину из X. Пусть М_х — матроид этого разбиения. Аналогично определим матроид M_Y- Очевидно, что подмножество ребер графа G является паросочетанием тогда и только тогда, когда оно независимо как относительно матроида М_х, так и относительно M_Y. Следовательно, наибольшее паросочетание в графе G — это наибольшее по мощности множество ребер, независимое как относительно матроида М_X, так и относительно матроида М_Y- Именно на последнем обстоятельстве основан успех процедуры построения наибольшего паросочетания в двудольном графе, приведенной в § 77.