К. Шеннон ввел параметр

называемый теперь шенноновской емкостью графа G. Из предыдущего следует, что 0 (G) ≥ a₀(G) и что в общем случае это неравенство не превращается в равенство.

Вычисление шенноновской емкости является очень трудной задачей даже для графов с небольшим числом вершин. Шенноном доказано, что если число кликового покрытия c(G) (см. § 26) удовлетворяет равенству c(G) = a₀ (G), то 0(G) = a₀(G). Таковы, например, все совершенные графы (см. § 61). Однако последнее равенство неверно уже для простейшего графа, не являющегося совершенным, а именно для цикла С₅. Л.Ловас доказал, что 9 (C₅) = Получение этого частного результата потребовало немалых ухищрений, развитая при этом техника позволяет находить шенноновские емкости ряда других графов.

С понятием независимости в графе связано понятие доминирования. Подмножество V вершин графа G называется доминирующим (или внешне устойчивым), если каждая вершина из VG\V' смежна с некоторой вершиной из V'. Иначе говоря, каждая вершина графа находится на расстоянии не более 1 от доминирующего множества. Доминирующее множество называется минимальным, если никакое его собственное подмножество не является доминирующим. Доминирующее множество, имеющее наименьшую мощность, называется наименьшим.

Иллюстрацией к только что введенным понятиям может служить следующая занимательная

Задача о пяти ферзях: требуется расставить на шахматной доске наименьшее число ферзей так, чтобы каждая клетка доски была под боем.

Очевидно, что всякой такой расстановке ферзей соответствует наименьшее доминирующее множество в графе, введенном выше в связи с задачей о восьми ферзях. Одно из решений задачи о пяти ферзях приведено на рис. 25.7.

Подмножество вершин графа, являющееся как независимым, так и доминирующим, называется ядром.

Очевидно, что независимое множество является максимальным (не обязательно наибольшим) тогда и только тогда, когда оно доминирующее. Таким образом, ядра графа — это максимальные независимые множества вершин. С другой стороны, доминирующее множество не обязательно независимо. Например, множества вершин (1, 2, 3, 7}, (1, 2, 3, 8}, {2, 3, 5, 7}, (2, 3, 5, 8}, {4, 7} являются ядрами графа, изображенного на рис. 25.2. Наименьшие доминирующее множество вершин цепи Р4 состоит из двух смежных вершин. Понятия доминирующего множества и ядра естественным образом переносятся и на случай ориентированных графов. Получаемые при этом результаты более интересны, чем в случае неориентированных графов (см. § 67).

Отыскание в графе наименьшего доминирующего множества является содержанием многих прикладных задач. Типичная ситуация, в которой возникает подобная задача, такова. Имеется множество населенных пунктов, связанных дорожной сетью. В некоторых из них надо разместить предприятия обслуживания так, чтобы расстояние от каждого из населенных пунктов до какого-либо из предприятий не превосходило заданной величины. Размещение следует выполнить так, чтобы обойтись минимальным количеством предприятий. Если поставить в соответствие населенным пунктам вершины графа, в котором две вершины смежны тогда и только тогда, когда расстояние между соответствующими пунктами не превышает заданной величины, то задача очевидно сводится с построению в графе наименьшего доминирующего множества.

Введем еще одно понятие, связанное с понятием независимости. Будем говорить, что вершина и ребро графа скрывают друг друга, если они инцидентны. Таким образом, ребро е = аb покрывает вершины а и b, а каждая из этих вершин покрывает ребро е. Подмножество V'  VG называется покрытием (вершинным покрытием, опорой) графа G, если каждое ребро из EG инцидентно хотя бы одной вершине из V'. Покрытие графа G называется минимальным, если оно не содержит покрытия с меньшим числом вершин, и наименьшим, если число вершин в нем наименьшее среди всех покрытий графа G. Число вершин в наименьшем покрытии графа G называется числом покрытия (или числом вершинного покрытия) графа G и обозначается через β₀(G).

Например, на рис. 25.2 каждое из множеств Х₁ = {4, 5, 6, 8}, Х₂ = {4, 5, 6, 7}, Х₃ = {1, 2, 3, 5, 6, 8} является покрытием, причем Х₁ и Х₂ — наименьшие покрытия, а X₃ — минимальное покрытие.

Следующая теорема указывает на тесную связь между покрытиями и независимыми множествами графа.

Теорема 25.5. Множество U вершин графа G является (наименьшим, минимальным) покрытием тогда и только тогда, когда U— VG\U — (наибольшее, максимальное) независимое множество. Следовательно,

► По определению множество U* независимо тогда и только тогда, когда в графе нет ребра, оба конца которого содержатся в U* , т. е. когда хотя бы один из концов каждого ребра принадлежит U. Последнее означает, что U — вершинное покрытие.

Поскольку |U| + |U*|= |G|, то, очевидно, наибольшим U соответствуют наименьшие U и наоборот.

С помощью этой теоремы все приведенные выше оценки числа a₀(G) очевидным образом преобразуются в оценки для β₀(G).