§ 28. Интерпретации независимых множеств

Независимые множества вершин графа связаны с самыми разными вопросами, на первый взгляд кажущимися далекими от теории графов. Рассмотрим некоторые из этих связей. Поскольку клики графа суть независимые множества вершин его дополнения, то все сказанное ниже о независимых множествах в равной мере относится к кликам.

1. Связь с многогранниками.

Пусть А — бинарная m*n-матрица без нулевых столбцов. Рассмотрим многогранник

Р(А) = (х: Ах<=1,х>=0}

— множество всех n-мерных векторов х с неотрицательными вещественными координатами, удовлетворяющих системе линейных неравенств

Ах<=1. (1)

Здесь 1 (0) — столбец соответствующей высоты, каждая компонента которого равна

1 (0). Нас будут интересовать целые точки многогранника Р(А), т. е. такие решения системы (1), координаты которых — целые неотрицательные числа. Поскольку все столбцы матрицы А ненулевые, то очевидно, что все решения системы (1) удовлетворяют и системе неравенств x1. Следовательно,

целыми точками многогранника Р(А) служат все (0, 1) pешения системы (1) и только они.

Определим граф G = G_A — граф пересечений столбцов матрицы А — положив VG =

={1, 2, ..., n} и объявив вершны i и j смежными тогда и только тогда, когда неиз-вестные Xi и Xj вместе входят в какое-либо из неравенств , т. е. хотя бы в одной из строк матрицы А позиции i и j занимают 1.

Для произвольного подмножества UVG следующим образом введем характеристический вектор х_и =(x₁, x₂, ... ., х_п):

очевидно, что U -> x_u — биективное соответствие между подмножествами множества VG и n-мерными бинарными векторами.

Набор всех независимых подмножеств вершин графа обозначим через IG. Удобно считать, что пустое множество содержится IG, т. е. о пустое множество вершин независимо.

Теперь очевидно, что подмножество U VG является сегментом множества IG тогда и только тогда, когда вектор х_и является решением системы (1). Следовательно точки многогранника Р(А) можно трактовать как характеристические векторы независимых подмножеств вершин графа G_А.

С другой стороны, легко видеть, что для произвольного графа G существует такая матрица А, что G_A = G.

На самом деле, в качестве А можно взять матрицу клик G. Заметим, что матрица А определяется графом G однозначно. Так, при непустом G в качестве А можно взять транспонированную матрицу инцидентности G^T. В общей ситуации одному графу соответствует несколько матриц А, их многогранники Р(А) могут быть различны, но множества целых точек этих многогранников совпадают.

2. Связь с булевыми функциями.

Другая интерпретация независимых множеств связана с булевыми функциями. Пусть В = {0, 1), Вⁿ — множество всех бинарных векторов длины п. Произвольное изображение из Вⁿ в В называется булевой функцией п переменных. Положив х<=у для х=(х₁, x₂, ...,х_n), у =(y₁,y₂, ..., y_n), если х_i <= y_i для всех i = 1,n, определим в множестве Вⁿ частичный порядок . Булева функция

называется монотонной, если истинна импликация (x<=y)=>(f(x)<=f(y)).

Пусть f— булева функция п переменных, х принадлежит Вⁿ. Если f(х)=1, то х называется единицей функции f. Если, к тому же, истинна импликация (y<x)=>(f(y)=0}, то х называется нижней единицей функции. Аналогично определяются нуль и верхний нуль: если f(х) = 0), то х называется нулем функции ; если при этом истинна импликация (у > х) => (f(y) = 1), то х называется верхним нулем.

Очевидно, что монотонная булева функция определяется множеством всех своих нижних единиц (верхних нулей), причем роль множества нижних единиц монотонной булевой функции может играть любая система попарно не сравнимых элементов из Вⁿ.

Число координат бинарного вектора, равных единице, называется его нормой. Монотонная булева функция называется графической, если норма каждой ее нижней единицы равна 2, либо если эта функция тождественно равна нулю.

Пусть I — графическая булева функция n переменных. Следующим образом определим граф G_f. Его множество вершин VG_f = {l, 2, ..., n}', вершины i и j смежны тогда и только тогда, когда бинарный вектор нормы 2, i-я и j-я координаты которого равны единице, является единицей функции /. Очевидно, что если х_и — характеристический вектор подмножества U  VG_f, то f(хu)=>0 тогда и только тогда, когда U  G_f. Следовательно, нули графической булевой функции I можно трактовать как характеристические векторы независимых подмножеств вершин графа G_f.

С другой стороны, легко видеть, что для каждого графа G существует графическая булева функция , удовлетворяющая условию Gj=G. В самом деле если G О_п, то нижними единицами подходящей графической булевой функции I служат все характеристические векторы ребер этого графа.

3. Связь с пересечением матроидов.

Пусть G — граф. В определенных ситуациях удобно, чтобы множество IG оказалось набором независимых множеств матроида. Тогда с помощью «жадного» алгоритма легко найти наибольшее независимое множество вершин графа G. К сожалению, такие графы редки.

Граф, каждая компонента которого является полным графом, назовем М-графом.

Утверждение 28.1. Пара (VG, IG) является матроидом с набором независимых множеств IG тогда и толъко тогда, когда граф G есть М-граф.

Пусть M = (VG, IG) — матроид с набором независимых множеств IG. Очевидно, что циклами матроида M служат двухэлементные подмножества смежных вершин. Пусть теперь ab, bс  EG. Тогда {а, b} и {b, с}— циклы матроида М. Согласно аксиоме С.2, множество {а, с} также является циклом и, следовательно, ас  EG. Доказано, что каждая связная компонента графа G —полный граф.

Обратное очевидно: если G является М-графом, то

IG — набор независимых множеств матроида разбиения множества VG на области связности графа G.

Поскольку граф с одним ребром является М-графом, то очевидно, что любой граф G можно представить в виде объединения

М-графов Gi с совпадающими множествами вершин. Назовем такое представление графа G его матроидным разложением. Минимальное число μ компонент в матроидных разложениях графа G обозначим через μ (G) и назовем его матроидным числом.

Рассмотрим, например, граф G, изображенный на рис. 28.1. Этот граф можно представить в виде объединения G =G₁ U G₂ двух М-графов G₁ и G₂, каждый из которых является дизъюнктным объединением двух полных графов:

G₁=G(1, 2, 3,4)U G(5, 6, 7),

G₂=G(1,2, 5, 6)U G(3, 4,7).

Очевидно, чтоG не является М-графом, поэтому μ (G)=2. Если (2)—матроидное разложение графа G, то где IG — набор независимых множеств матроида М_а = (VG, IG_a), являющегося матроидом разбиения множества VG на области связности графа G_a. Другими словами, непустые элементы множества IG_a — это все частичные трансверсали разбиения множества VG на области связности графа G_a.

Верно и обратное. Пусть дано μ , разбиений множества VG. Если G_k --объединение i_k полных графов с множествами вершин v_{k1 ,} v_{k2 ,} ..., V_kik , а G — объединение всех графов G_k, то независимыми подмножествами вершин графа G служат частичные трансверсали, общие для всех разбиений (3), и только они.

Итак, набор всех независимых подмножеств вершин произвольного графа G при (G), можно трактовать как набор всех частичных трансверсалей, общих для μ разбиений вида (3). В частности, нахождение в графе наибольшего независимого множества вершин есть в точности задача о пересечении нескольких матроидов разбиений.

Задача определения числа μ(G) для произвольного графа G, по-видимому, очень сложна. Тем более сложно построение соответствующего матроидного разложения. Определенный интерес имеет характеризация графов, для

которых μ (G) = 2. Задача определения числа независимости a0(G) для графов этого класса может формулироваться как задача о наибольшей мощности трансверсали разбиения, независимой относительно матроида некоторого разбиения.

Приведем без доказательства характеризацию графов с матроидным числом, равным 2, в терминах запрещенных порожденных подграфов.

Теорема 28.2. Для связного графа G, не являющегося полным, следующие два утверждения равносильны:

1. μ (G)=2;

2) граф G не содержит простых циклов нечетной длины l≥5, звезды К_1,3, колеса W₄ и графа W₄ — e (рис. 28.2) как порожденных подграфов.

Некоторые оценки числа μ (G) см. в § 57.