Упражнения

1. Найдите наибольшее независимое множество вершин в гра- фе Петерсена.

2.Докажите, что если G — дерево, то α 0(G)>=n/2.

3.Докажите, что если α o(G) = a₀(G³), то граф G является М-графом.

4.Приведите пример графа, в котором наименьшее домини- рующее множество не является независимым.

5. Пусть G — граф без изолированных вершин. Докажите, что содержит такое доминирующее множество D, что VG\D — тоже

доминирующее.

6.Пусть эпсиланд(G) —мощность наименьшего доминирующего мно- жества в графе G. Покажите, что если в G нет изолированных вер- шин, то эпсиланд(G) n/2. В случае, когда n — произвольное четное чис- ло, приведите пример связного графа порядка n, для которого (G) = п/2.

6. Приведите пример связного n-вершинного графа G, у кото- рого число β1 (G) максимально среди всех графов порядка п.

7. Верно ли, что любое паросочетание графа содержится в наи- болыпем паросочетаиии?

8. Покажите, что дерево Т имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда po(v) = 1 для всех вершин из Т, где ро(v) —число компонент нечетного порядка графа Т — v.

10. Пусть М и N — непересекающиеся паросочетания графа G_t причём|М| > |N|. Покажите, что в графе G существуют непере- секающиеся паросочетания М' и N^/, удовлетворяющие условиям |М'| = |М| — 1, |N'| = |N| +1,M' N' = M N.

11. Докажите, что бинарную матрицу, в каждой строке и в каждом столбце которой ровно k единиц, можно представить в виде суммы k бинарных матриц, в каждой строке и в каждом столбце которых ровно одна единица.