![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Локализация Андерсона
Примесный атом. В периодическом поле кристалла электрон с энергией в разрешенной зоне, описывается волной Блоха и рассматривается как свободная квазичастица, обнаруживаемая в любом месте кристалла. Примесный атом нарушает периодичность кристалла, происходит захват электрона атомом. Энергия электрона оказывается в запрещенной зоне. Явление описал Филипп Уорен Андерсон в 1958 г.
Спектральное
уравнение.
Примесный атом внедрения в точке x0
кристалла дает вклад в потенциальную
энергию электрона
.
Уравнение Шредингера получает вид
,
(3.88)
где
– гамильтониан электрона в невозмущенной
решетке конечного размера. Решение
разлагаем по базису
N
невозмущенных функций дискретного
спектра разрешенной зоны
.
(3.89)
Невозмущенные
функции
являются ортами базиса и удовлетворяют
.
Подставляем (3.89) в (3.88) и получаем одно уравнение с N + 1 неизвестными
.
Найдем значения
энергии E,
проектируя уравнение на орт m.
Для этого умножаем уравнение на
,
интегрируем по объему кристалла и
используем:
1) Ортонормированность ортов базиса
;
2) Фильтрующее свойство дельта-функции
;
3) Фильтрующее свойство символа Кронекера.
Получаем
.
(3.90)
В (3.90) сумма равна
согласно (3.89). Находим коэффициент
разложения
.
(3.91)
Подстановка
и
в (3.90) дает
.
Составляющие, показанные одинаковым цветом, сокращаются. В результате
.
Приводим сумму к общему знаменателю и получаем алгебраическое уравнение для энергии электрона Е
.
(3.92)
Анализ уравнения. Неизвестное Е имеет степень N, поэтому уравнение имеет N решений для энергий возмущенных уровней.
В левой стороне находится полином по Е степени N, в правой – степени (N – 1).
При
правая сторона (3.92) равна нулю. В левой
стороне энергия принимает одно из
невозмущенных значений
.При слабом
возмущении спектр не изменяется.
При сильном
возмущении в виде отталкивания
,
или притяжения
энергия
растет. В левой стороне (3.92) главный
вклад дает наибольшая степень
,
тогда для одного из решений получаем
.
Остальные
решений конечные. Если левая сторона
(3.92) конечная, а справаV
неограниченно растет, то его сомножитель
должен стремиться к нулю. Получаем
уравнение степени
.
В результате
решений для
близки корням невозмущенного уравнения.
Следовательно, при
локальном возмущении кристаллической
решетки один уровень разрешенной зоны
отщепляется и при
поднимается
вверх, при
опускается
вниз. В
запрещенной зоне появляется состояние
л.
Остальные
уровни практически не меняют своего
положения.
Состояние в
запрещенной зоне
согласно (3.89) разлагается в ряд по базису
невозмущенных функций дискретного
спектра разрешенной зоны
.
Коэффициенты находим из (3.91)
,
где учтено
и
при
.
Подставляем коэффициенты в разложение
,
где использована
полнота базиса
в виде
.
Следовательно,
при сильном
возмущении электрон в запрещенной зоне
локализован в области возмущения
.
Чем слабее
возмущение,
тем ближе
энергия электрона к разрешенной зоне
и больше область локализации.
При
локализованное состояние переходит в
нелокализованное состояние разрешенной
зоны, обнаруживаемое в любом месте
кристалла.