Уравнение Паули

С магнитным полем В взаимодействует спиновый магнитный момент электрона

,

где – магнетон Бора;g – множитель Ланде. Гамильтониан взаимодействия

.

С учетом взаимодействия уравнение Шредингера переходит в уравнение, полученное Вольфгангом Паули в 1927 г.

Гамильтониан электрона с зарядом в магнитном поле с векторным потенциалом А без учета спина имеет вид

.

С учетом взаимодействия спина с магнитным полем получаем гамильтониан Паули в матричной форме

, (7.20)

где

,

. (7.21)

Уравнение Паули. Подставляем (7.20) в волновое уравнение Шредингера

,

получаем уравнение Паули

(7.22)

для спинора , где– состояния с проекциями спинана осьz. Рассмотрим частный случай.

Однородное поле В. Слагаемое в (7.22) не зависит от спина, ане зависит от координат, поэтому спиновые и координатные переменные разделяются

,

где

–координатная функция;

–спиновая функция;

–состояния с проекциями спина на осьz.

Делим (7.22) слева на

,

подставляем , и получаем

.

Уравнения для координатной и спиновой функций разделяются, получаем традиционное уравнение для координатной функции

, (7.23)

и уравнение для спинора

. (7.24)

Взаимодействие спина с однородным магнитным полем не влияет на координатную часть волновой функции .

При спиновая функция не зависит от времени.

При используем (7.21)

, .

Для спиновых функций с противоположными проекциями спина на ось z из (7.24) получаем

(7.25)

Направляем ось z вдоль поля, тогда ,и уравнения разделяются

, (7.26)

где спиновый сдвиг энергии

.

Стационарное состояние. Если магнитное поле В и потенциальная энергия U не зависят от времени, тогда из (7.23) и (7.26) следует, что состояния

удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера

.

Учитывая

,

получаем

. (7.27)

Если спин электрона направлен по полю, то его спиновый магнитный момент – против поля и энергия состояния изменяется на

.

Если спин направлен против поля, то магнитный момент – по полю и энергия состояния изменяется на

.

Однородное стационарное магнитное поле расщепляет уровень энергии, снимая вырождение по спиновому числу . Расщепление в магнитном поле уровней атома с разными значениями магнитного квантового числа и нулевым спином исследовал Зееман в 1896 г. Спиновое расщепление

называется аномальным эффектом Зеемана. Его описал Ланде в 1922 г.

Спиновое расщепление уровня

Питер Зееман Альфред Ланде

(1865–1943) (1888–1976)

Найдем поведение вектора спина с течением времени в однородном стационарном магнитном поле. Уравнению спиновых функций (7.26)

удовлетворяют

,

,

где

; (7.28)

–циклотронная частота. Получаем спиновую функцию

(7.29)

с условием нормировки

.

Ищем среднюю проекцию спина (7.15)

.

Используя

, ,

и (7.29), получаем

,

,

, (7.30)

где использованы проекции в начальный момент

, .

В постоянном магнитном поле сохраняется средняя проекция спина электрона на направление поля, вектор спина вращается вокруг направления поля с частотой .

При вектор спина находится в плоскости (x,y) и в начальный момент направлен вдоль оси x. С течение времени спин вращается вокруг оси z по часовой стрелки, если смотреть вдоль вектора магнитного поля, частота прецессии при равна циклотронной частоте. Вектор спина дырки, имеющей положительный заряд, вращается в противоположную сторону. При,спин направлен вдоль магнитного поля, вращение отсутствует.