Рассеяние на двух локальных барьерах

Частица с волновым числом k проходит через барьеры 1 и 2, сосредоточенные при и. Амплитуду прохождения системы барьеровt выразим через амплитуды прохождения ,и отражения,каждого из барьеров по отдельности.

Используем амплитуды бегущих волн около барьера. Фиксируем величину падающих волни, тогда для локальных барьеров

, ,

, .

Для системы барьеров

,

где учтен набег фазы при перемещении волны между входом и выходом.

Падающая волна в промежутке между барьерами складывается из волныи волны, отразившейся от барьера 1, тогда

,

где учены изменения фаз волн на пути между барьерами и амплитуда отражения волныот барьера 1. Из последнего уравнения находим

и получаем

,

где амплитуда прохождения системы барьеров

. (П.4.4)

Для комплексного числа выполняется соотношение

.

Полагаем

, ,,

находим коэффициент прохождения системы барьеров

, (П.4.4а)

где

; ;

;

; .

Для симметричной системы барьеров

,

,

из (П.4.4а) получаем

. (П.4.4б)

Если энергия частицы удовлетворяет условию резонанса

, , (П.4.4в)

то ,,исистема барьеров не отражает частицу при любом . Волны, отраженные от двух барьеров, при сложении интерферируют и гасят друг друга.

Вдали от резонанса при из (П.4.4а) получаем

.

При малой проницаемости барьеров ,находим

.

Рассеяние на прямоугольном барьере

Для частицы с энергией найдем коэффициент прохождения барьераПолучим условие отсутствия отражения. Рассмотрим туннельный эффект при, и перевернутый барьер. Система реализуется на практике при контакте двух металлов, разделенных диэлектриком или полупроводником.

Стандартное решение. Выделяем области 1, 2 и 3. Из уравнения Шредингера

,

получаем

, ,

, ,

с неизвестными r, t, a, b. Используем условия сшивания

, ,

, .

Получаем систему алгебраических уравнений

,

,

,

Решив их и вычислив t, найдем

.

Вычисления громоздкие. Рассмотрим другой путь.

Решение на основе системы барьеров. Барьер рассматриваем как состоящий из двух ступенчатых барьеров со своими амплитудами прохождения и отражения.

Для левого барьера используем (П.4.2)

, ,

для правого барьера – (П.4.3)

, .

Для системы барьеров – (П.4.4)

.

Подстановка дает амплитуду прохождения системы барьеров

. (П.4.5)

Для вычисления коэффициента прохождения используем

с вещественными

, , , .

Находим коэффициент прохождения системы барьеров

, (П.4.6)

где параметры ε и ν в единицах описывают энергию частицы и высоту барьера, выраженные в электрон-вольтах:

;

.

При энергия частицы равна высоте барьера, и из (П.4.6) получаем

. (П.4.6а)

На рисунке показана зависимость коэффициента прохождения от энергии частицы для барьера шириной 5 нм, высотой 1,51 эВ.

Частные случаи:

При ,имеем–туннельный эффект.

При ,,, ... функция синуса равна нулю, получаем–резонансное прохождение без отражения.

Резонансное прохождение. Частица с энергией не отражается

.

Из (П.4.6)

получаем

,

тогда

, ,

,

длина волны де Бройля удовлетворяет условию

(П.4.6б)

– в пределах барьера укладывается целое число полуволн и возникает квазисвязанное состояние с энергией

.

Падающая волна проходит барьер и набирает ход , часть волны в результате отражений проходит путь три раза и набирает ход. Волны интерферируют с разностью хода. Если длина волны де Бройля электрона удовлетворяет условию максимума интерференции , где , то выполняется (П.4.6б), и выходящие из барьера волны усиливаются. Внутри барьера образуется квазисвязанное состояние и частица там задерживается. Она делает неограниченное число попыток пройти барьер и достигается . В оптике прохождение барьера без ослабления света называется просветлением оптики.

Туннельный эффект происходит при .

Уравнение Шредингера для областей 1, 2, 3 дает

, ,

,

;

, ,

.

Для коэффициента прохождения используем (П.4.6)

.

Сравниваем

, ,

получаем

.

Учитываем

,

где использовано

, .

Находим

, (П.4.7)

где

;

.

Для сильного барьера с учетом

из (П.4.7) получаем

. (П.4.8)

Выражение (П.4.8) согласуется с квазиклассическим результатом (3.73а)

с точностью до множителя перед экспонентой.

Рассеяние на прямоугольной яме.

Используем (П.4.6) с заменой . Получаем

.