Основы квантовой механики

Согласно полуклассической квантовой механике:

• состояние микрочастицы описывается комплексной волновой функцией, удовлетворяющей условию нормировки. Квадрат ее модуля равен плотности вероятности обнаружения частицы;

• допустима суперпозиция состояний;

• физические величины – энергия, импульс, момент импульса и другие квантуются;

• существуют пары физических величин, не измеримых одновременно с неограниченной точностью.

Теория, не ограниченная полуклассическим приближением, строится на новом математическом основании:

• возможные состояния частицы образуют гильбертого пространство функций, то есть множество функций, для которых определено скалярное произведение в интегральной форме;

• физическая величина, характеризующая частицу, описывается оператором, действующим в гильбертовом пространстве состояний;

• из принципа суперпозиции состояний и вещественности физических величин следуют линейность и эрмитовость операторов.

Математические основы квантовой механики разработал Шредингер в 1926 г.

Эрвин Шредингер (1887–1961)

Основные положения

Состояние частицы описывается комплексной волновой функцией, несущей информацию об амплитуде и фазе волны в каждой точке пространства и в каждый момент времени. Множество возможных волновых функций образует гильбертого пространство. Волновая функция получается в результате решения линейного уравнения Шредингера.

Физическая величина описывается оператором, действующим в гильбертовом пространстве. Если состояние частицы является собственной функцией оператора, то есть функция восстанавливается при действии оператора, то результатом измерения величины является собственное значение оператора. Множество собственных волновых функций оператора с разными собственными значениями образует ортонормированный базис в гильбертовом пространстве. Разложение функции состояния частицы по ортонормированному базису собственных функций оператора дает вероятности возможных результатов измерения физической величины.

Квантовая механика не дает однозначных результатов для характеристик частицы, но лишь вероятности этих результатов.

Волновая функция

Состояние частицы описывает функция

,

являющаяся амплитудой вероятности обнаружения частицы. Квадрат модуля волновой функции

равен плотности вероятности, то есть вероятности обнаружения частицы в момент t в единичном объеме около точки r

.

Вероятность обнаружения частицы в момент t в объеме около точкиравна

.

Волновая функция удовлетворяет нормировке вероятности

.

Шредингер называл волновую функцию «каталогом информации» о всевозможных результатах экспериментов с частицей.

Волновая функция:

1) Квадратично интегрируема, т. е. существует ;

2) Удовлетворяет принципу суперпозиции – если возможны состояния и, то возможно состояние

,

где – комплексные числа, определяющие вероятность обнаружения состояний 1 и 2;

3) Определена не полностью, остается произвол в выборе постоянного фазового множителя. Состояния и, где, физически не различимы, плотность вероятности для них одинакова.