
Одномерное рассеяние
Рассеяние – это изменение состояния частицы при взаимодействии с препятствием в виде потенциального барьера.
Частица с энергией
движется вдоль
оси x
в состоянии
плоской волны
с единичной амплитудойи
попадает в поле барьера с потенциальной
энергией
.
В результате взаимодействия возникают
отраженная и проходящая волны. При
одномерном рассеянии отраженная волна
движется против осиx,
проходящая – вдоль оси x.
Рассеянные волны отличаются амплитудами
и фазами.
Рассеянные волны и их токи вероятности. Используем стационарное уравнение Шредингера (3.2) на больших расстояниях от барьера
,
где
– волновые числа
при
.
Частные решения уравнения:
при
падающая
волна
(3.62)
и отраженная волна
;
(3.63)
при
проходящая
волна
.
(3.64)
Амплитуды отраженной и проходящей волн r и t – комплексные, поскольку рассеянные волны получают фазовые сдвиги.
Из (2.72)
находим проекции плотности тока вероятности падающей, отраженной и проходящей волн
,
,
.
(3.65)
Токи регистрируются детекторами в физическом эксперименте.
Коэффициент отражения (reflection) определяем в виде
,
(3.66)
где учтены (3.65), (3.62) и (3.63)
,
,
,
.
Тогда
.
(3.67)
Коэффициент прохождения (transmission) определяем в виде
,
(3.68)
тогда
,
(3.69)
где .
Условие унитарности. Из уравнения непрерывности тока вероятности
,
(2.73)
с учетом того, что на барьере частицы не рождаются и не накапливаются, получаем
,
тогда
.
Следовательно, сумма модулей подходящих к барьеру токов равна сумме модулей уходящих токов
– аналог первого правила Кирхгофа. Для проекций токов
.
(3.70)
Используя (3.67) и (3.69)
,
,
получаем условие унитарности, от лат. unítas – «одно целое»:
(3.72)
– сумма вероятностей всех возможных процессов в системе, т. е. отражения и прохождения, равна единице.
Туннельный эффект
Если полная энергия частицы меньше потенциальной энергии барьера, то классическая частица не проходит через барьер, за барьером ее импульс становится мнимым, а кинетическая энергия – отрицательной. В квантовой механике частица имеет вероятность пройти барьер. Явление называется туннельным эффектом. Его описал Георгий Антонович Гамов в 1928 г. и объяснил парадокс, связанный с α-распадом ядра урана
.
Два протона и два
нейтрона ядра урана объединяются в
кластер и образуют α-частицу с энергией
4,18 МэВ. Задерживающий потенциал ядра
урана составляет 8,57 МэВ. Тем не менее,
α-частица имеет вероятность выхода из
ядра благодаря туннельному эффекту и
ядро распадается за время полураспада
.
Причина распада в том, что волновая
функция не равна нулю в области не
доступной для классической частицы.
Термин туннельный эффект ввел Вальтер
Шоттки в 1931 г.
Туннельный эффект лежит в основе множества явлений квантовой механики. На его основе разработан туннельный микроскоп и туннельный транзистор. Рассмотрим эффект, используя метод ВКБ.
Движение частицы
через барьер.
Частица с энергией
в виде бегущей волны
движется вдоль
оси x
и встречает барьер
,
превышающий ее полную энергию:
,
,
где
и
– точки остановки классической частицы.
Возникает отраженная волна
.
Внутри барьера используем приближение ВКБ (3.60) в виде затухающей волны
.
За барьером возникает бегущая волна
.
Коэффициент прохождения барьера получаем из (3.68)
.
При
находим
,
где в случае малости отраженной волны учтены условия сшивания (3.11)
,
.
Используем
,
,
из
находим
,
.
С точностью до
слабо меняющегося и близкого к единице
предэкспоненциального множителя из
получаем формулу
Гамова
.
(3.73)
Для прямоугольного
барьера шириной
и высотой
из (3.73) находим
,
(3.73а)
где
– работа выхода;
– коэффициент затухания волны.
Проницаемость барьера существенна при
,
тогда
,
и это ограничивает ширину барьера
.
(3.74)
Чем меньше
масса частицы, тем более широкий и
высокий барьер она преодолевает.
Массы электрона и протона отличаются
в 1840 раз, тогда коэффициенты прохождения
с одинаковой энергией через один и тот
же барьер согласно (3.73а) различаются в
раза. Для макроскопического тела
туннельный эффект не проявляется.
Объяснение туннельного эффекта. Используем соотношение неопределенностей между импульсом и координатой
.
Если частица
обнаруживается внутри барьера шириной
l,
то
,
и частица получает случайное возмущение
импульса
.
Это изменяет ее кинетическую энергию на величину
.
Если энергия добавляется
,
то преодолевается барьер шириной (3.74).
Сканирующий туннельный микроскоп (СТМ) измеряет микрорельеф поверхности проводящего предмета с помощью туннельного эффекта. Работа СТМ основана на сильной зависимости туннельного тока от ширины барьера. Игла из платины, вольфрама или иридия с атомарным острием подводится к поверхности сначала двигателем грубого перемещения, затем пьезосканером на расстояние ≤ 1 нм, которое контролируется с высокой точностью по величине туннельного тока. На иглу подается потенциал (0,01–10) В по отношению к поверхности. Туннельный ток I через вакуумный промежуток размером l пропорционален коэффициенту прохождения (3.73а)
и экспоненциально
зависит от l.
При
ток
.
Перемещение иглы на
меняет ток в 10 раз. Игла периодически
передвигается вдоль поверхности. Ток
поддерживается на одном уровне за счет
перемещения иглы перпендикулярно
поверхности. Регистрируемые перемещения
иглы дают рельеф поверхности.
При использовании
высокого вакуума и низких температур
достигается разрешение по нормали к
поверхности ~0,005 нм, в плоскости ~0,2 нм.
Изменение расстояния на 0,1 нм изменяет
туннельный ток на порядок. Возможно
наблюдение отдельных атомов. Атом
водорода в основном состоянии имеет
размер ~0,1 нм. Фактически СТМ отображает
рельеф плотности электронных состояний
на поверхности объекта. Малая величина
используемого потенциала не разрушает
объект. СТМ может работать при нормальной
температуре на воздухе, что снижает
разрешение до ~1 нм, но требует изоляции
от вибраций. СТМ разработали в 1981 г. Герд
Биннинг (на фото слева) и Генрих Рорер
(справа). На фото перед ними находится
СТМ. Нобелевская премия 1986 г.
1– пьезо-сканер; 2 – игла; 3 – исследуемый образец;
4 – изображение на дисплее; 5 – электронное управление.
Поверхность Si(111)
(размытость изображения вызвана тепловыми флуктуациями)
Поверхность Cu(111)
Игла СТМ позволяет измерить потенциал точки поверхности проводника со сложной структурой и протекающим током.
При помощи СТМ
измеряется распределение
тока,
протекающего между двумя контактами в
плоскости двумерного проводника.
Отрицательный потенциал иглы, касающейся
проводника в точке
,
рассеивает упорядоченно движущиеся
электроны, и проводимость проводника
уменьшается тем сильнее, чем больше
плотность тока в изучаемой точке.
Распределение изменений проводимости
,
где
– проводимость без касания иглы, дает
распределение тока по проводнику. Метод
предложенM.A.
Topinca
et
al.
Science
289,
2323 (2000).
СТМ измеряет также энергетическую плотность состояний поверхности проводника путем вариации приложенного к игле напряжения. Теория метода будет далее рассмотрена.
Повышение туннельного напряжения до ~10 В позволяет достичь в области острия с атомарными размерами электрического поля напряженностью до ~108 В/см и плотности тока до ~108 А/см2. Такое поле может оторвать атом и перенести его на поверхность, или с поверхности. Это позволяет манипулировать атомами и молекулами с целью преобразования поверхности.