матан экзамен

Темы, выносимые на итоговый экзамен по курсу «Математический анализ»

1. Последовательности

Сходящиеся, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности, супремум и инфимум последовательности. Монотонные последовательности, теорема Вейерштрасса. Фундаментальные последовательности. Подпоследовательности, верхний и нижний пределы последовательностей. Существование предела последовательностей. Общие приемы вычисления пределов (пределы №58-66 из Демидовича, а

также lim n n ! ).

n®¥

2. Функции одного переменного

Предельная точка множества; предел функции в предельной точке (по Коши и Гейне). Односторонние пределы и их связь с пределом функции в точке. Свойства пределов. Замечательные пределы и их следствия.

Исследование локального поведения функции. Символы Ландау и их свойства. Главная часть функции. Асимптотическое разложение функции, формулы асимптотических разложений для функций sin x , cos x , ex , ln (1+ x) , (1+ x)α , 1−1 x , 1+1 x .

Вычисление предела функции в точке (применение асимптотических разложений, раскрытие неопределенностей 00, 1¥, ¥0, 00 , ¥¥, 0 ×¥, ¥ - ¥ ).

Непрерывность функции в точке (по Гейне и по Коши), непрерывность слева (справа), разностная форма непрерывности. Классификация точек разрыва. Свойства непрерывных функций. Непрерывность суперпозиции. Существование и непрерывность обратной функции.

Непрерывные на множестве функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы Больцано-Коши – об обращении в ноль и о промежуточном значении непрерывной функции,

теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении непрерывной функцией точных верхней и нижней граней.

Равномерная непрерывность и ее геометрическая интерпретация. Теорема Кантора.

3. Дифференцируемые функции

Дифференцируемость функции в точке (определение производной, односторонней производной, обобщенной односторонней производной). Геометрический смысл производной и дифференциала. Производные сложной и обратной функций. Производные высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Формулы Тейлора и Маклорена. Правило Лопиталя. Исследование функций методом дифференциального исчисления: промежутки монотонности, локальный экстремум, выпуклость, точки перегиба.

Построение графиков плоских кривых, заданных явно или параметрически; алгоритм их исследования: асимптоты, промежутки монотонности и выпуклости, характер особых точек.

4. Неопределенный интеграл

Определения, свойства. Общие приемы интегрирования. Интегрирование рациональных, иррациональных и трансцендентных функций.

5. Интеграл Римана

Основные определения: интегральная сумма, предел интегральной суммы. Классы интегрируемых функций, критерий Лебега интегрируемости по Риману. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование

заменой переменных и по частям. Интеграл от (не)четной функции по отрезку [−a, a], от

периодичной функции по полному периоду.

Площадь криволинейной трапеции, криволинейного сектора; площадь фигуры. Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции в декартовой системе координат.

6. Несобственный интеграл

Определения несобственного интеграла I-го и II-го рода. Общее понятие несобственного интеграла. Основные теоремы: линейность, интегрирование неравенств, формула Ньютона- Лейбница, интегрирование по частям, замена переменных, связь между несобственными интегралами.

Сходимость несобственных интегралов от неотрицательной функции. Теоремы сравнения. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость. Абсолютно интегрируемые функции: определение и теорема об интегрировании произведения. Общие признаки сходимости: признак Дирихле и признак Абеля.

7. Интегралы, зависящие от параметра

Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности,

предельном переходе, интегрировании и дифференцировании по параметру. Признаки равномерной сходимости.

8. Числовые ряды.

Определение сходимости числовых рядов. Обобщенный гармонический и геометрический ряды. Свойства сходящихся рядов, критерий Коши. Необходимое и достаточное условие сходимости рядов с неотрицательными членами, признаки сравнения. Признаки сходимости: Даламбера, Коши. Сходимость рядов с произвольными членами: абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса абсолютной сходимости рядов. Признаки сходимости для произвольных рядов: Лейбница, Абеля, Дирихле. Оценка остатка ряда Лейбницевского типа.

9. Функциональные последовательности и ряды

Равномерная сходимость функциональных рядов, критерий Коши. Признаки равномерной сходимости: Вейерштрасса, Дирихле, Абеля. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании.

10. Степенные ряды

Множество сходимости, радиус сходимости и интервал сходимости. Теорема Коши–Адамара о радиусе сходимости степенного ряда. Теорема Абеля о равномерной сходимости СР. Свойства суммы степенного ряда. Ряд Тейлора. Основные приемы разложения функции в степенной ряд. Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами.

11. Функции многих переменных

Предел и повторные пределы функции в точке. Непрерывность функции: в точке, на множестве, по кривой. Свойства непрерывных функций: локальные, непрерывность сложной функции, теорема о сохранении знака, теорема о промежуточных значениях, теоремы Вейерштрасса.

Дифференцируемые функции: определение, необходимые и достаточные условия дифференцируемости, свойства. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Производная по направлению, частные производные. Градиент функции и его геометрический смысл. Свойства производных по направлению.

Геометрический смысл дифференциала функции 2-х переменных: касательная плоскость, нормальная плоскость, касательный вектор, нормальный вектор. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Производные и дифференциалы высших порядков. Символическая формула для вычисления дифференциала. Теорема о непрерывных смешанных производных. Правило дифференцирования сложной функции, теорема о неявной функции, теорема об обратной функции. Зависимость функций. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

12. Теория неявных функций

Теоремы о существовании и дифференцируемости неявной функции. Теорема о векторной неявной функции. Вычисление производных неявно заданных функций.

Взаимно однозначное отображение множеств. Зависимость функций: определение, достаточное условие независимости функций.

Локальный относительный (условный) экстремум: определение, необходимое и достаточное условия. Методы нахождения условных экстремумов: метод Лагранжа и метод исключения

переменных. Нахождение для непрерывной функции f (x) ее точных граней sup f (x) , inf f (x) на

A A

замкнутых и открытых множествах.

13. Пространство ¡3

Кривая и поверхность в пространстве R3 . Особые точки кривой и поверхности. Касательная к кривой и нормаль к поверхности для различных способов задания кривой и поверхности.

Криволинейные координаты. Полярная, цилиндрическая, сферическая системы координат. Поверхности второго порядка (сфера, эллипсоид, цилиндрическая, коническая) в декартовой, цилиндрической и сферической системе координат. Ориентация кривых и поверхностей. Регулярное преобразование кривых и поверхностей.

14. Кратные интегралы

Измеримые по Жордану множества: понятие меры, свойства. Приведение кратного интеграла к последовательности однократных. Замена переменных в кратных интегралах. Геометрические приложения интеграла Римана.

15. Интегралы по многообразиям

Криволинейные интегралы I и II рода и их свойства. Формула Грина для связной и несвязной ограниченной области. Применение формулы Грина для вычисления площади области. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Связь криволинейного интеграла с точным дифференциалом.

Понятие поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Площадь поверхности. Ориентация гладкой поверхности. Поверхностные интегралы I и II рода, формула Остроградского-Гаусса, формула Стокса.

16. Теория поля

Скалярные и векторные поля. Дифференциальные характеристики поля: градиент и производная по направлению скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона. Векторный дифференциал длины и площади. Производная поля по направлению l . Дивергенция поля в точке, ротор векторного поля и их представление в декартовых координатах.

Циркуляция векторного поля, поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса. Теорема Стокса. Соленоидальные и потенциальные векторные поля. Формула Грина интегрирования по частям.

17. Ряды Фурье

Ортогональные системы функций, коэффициенты Фурье, аппроксимация вектора элементами подпространства, минимальное свойство коэффициентов Фурье (с доказательством), неравенство Бесселя. Ряд Фурье и полнота ортогональных систем. Тригонометрический ряд Фурье: вывод коэффициентов, лемма Римана (с доказательством для функций, интегрируемых с квадратом, и абсолютно-интегрируемых функций), принцип локализации (с доказательством), достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке. Равномерная сходимость рядов Фурье. Интегрирование и дифференцирование ряда Фурье. Коэффициенты ряда Фурье для четной и нечетной функций.

18. Элементы теории комплексных чисел

Модуль и аргумент комплексного числа, тригонометрическая форма комплексного числа. Арифметические действия над комплексными числами. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, расширенная комплексная плоскость, сфера Римана и ее стереографическая проекция.

Окрестность комплексного числа, окрестность бесконечной точки. Предел последовательности комплексных чисел. Существование предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности и их свойства.

Предел и непрерывность функции комплексной переменной. Непрерывность: в точке, на множестве, на кривой. Расстояние по области и непрерывность вплоть до границы. Равномерная непрерывность. Функция arg z : приращение аргумента вдоль кривой, непрерывные ветви.

Понятие производной. Условия Коши-Римана. Свойства аналитических функций. Гармонические и сопряженные функции, теорема о связи действительной и мнимой части дифференцируемой функции (с доказательством). Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Дифференцирование элементарных функций. Площадь образа области и длина образа кривой.

Интегрирование по кривой комплекснозначной функции действительного аргумента. Свойства интеграла по кривой. Понятие первообразной. Интегральная теорема Коши (об интегрировании по замкнутой кривой). Интегральная формула Коши.

Область сходимости степенного ряда, теорема Коши-Адамара. Теорема Абеля. Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда. Основные приемы разложения в ряд Тейлора.

Линейная, дробно-линейная, степенная, показательная, тригонометрические и гиперболические функции и обратные к ним функции.

19. Элементы теории меры. Интегралы Лебега и Стилтьеса.

Меры Лебега и Жордана и их свойства. Измеримые множества (по Лебегу и по Жордану) и их свойства. Измеримые функции и их свойства. Сходимость почти всюду, ее связь с равномерной сходимостью. Сходимость по мере, ее связь со сходимостью почти всюду.

Определение интеграла Лебега на множестве конечной меры и интегрируемой по Лебегу функции. Свойства интеграла Лебега на множестве конечной меры. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры. Вычисление интеграла Лебега. Cравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.

Вариация функции. Классы функций ограниченной вариации. Интеграл Стилтьеса: свойства, классы интегрируемых функций, вычисление.

20. Основы функционального анализа

Понятия: расстояние, норма, скалярное произведение. Аксиомы метрики, нормы и скалярного произведения.

Фундаментальные и сходящиеся последовательности и их свойства.

Подчиненность и эквивалентность норм. Теорема о нормах конечномерных пространств. Понятие подпространства. Приближение элементами подпространства (проекция элемента на

подпространство). Существование и единственность наилучшего элемента. Теоремы Вейерштрасса. Полные пространства. Теорема о вложенных шарах. Ряды в нормированных и банаховых

пространствах и их свойства. Гильбертово пространство: слабая и сильная сходимость, свойства слабо сходящихся последовательностей.

Оператор, функционал. Линейность, непрерывность и ограниченность операторов. Норма оператора. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы гильбертовых пространств. Обобщенные функции. Функция Дирака (дельта-функция). Функция Хевисайда. Дифференцирование обобщенных функций.

Пополнение пространств со скалярным произведением, пространства Лебега и Соболева.