Свойства

1. Пусть на отрезке задана функцияидля всех. Криволинейную фигуру ограниченную графиком функции, осью, прямымииназовем криволинейной трапецией. Для вычисления площади трапеции разобьем отрезокпроизвольным образом точками. На каждом отрезке построим прямоугольник высоты, где– произвольная точка отрезка. Получим ступенчатую фигуру. Ее площадь равна

,

где . Приплощадь ступенчатой фигуры стремится к– площади криволинейной трапеции. Если функция, то, следовательно,

.

Итак, площадь криволинейной трапеции, ограниченной положительной функцией равна

Если функция на отрезке, то по оценке интегралов, а по абсолютной величине интеграл равен площади криволинейной трапеции, лежащей ниже оси, поэтому можно считать, что в этом случае

Если функция принимает на участках отрезка значения разных знаков, то площадь фигуры лежащей между графиком функции и осьючисленно равна площади фигуры, ограниченной графиком модуля этой функции, т.е.

Площадь фигуры ограниченной графиками двух непрерывных функций и, непрерывных на отрезке, и таких, что, равна разности площадей криволинейных трапеций ограниченных сверху графиками функцийи:

Полученная формула верна как для случая , так и для случая, когда обе функции не являются неотрицательными. Действительно, еслиинепрерывны, то они ограничены на отрезке, следовательно, найдется число, такое, что функцииибудут неотрицательными и площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций будет равна площади искомой фигуры, при этом

2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой, заданной параметрически уравнениями вычислим по формуле (1), заменив переменныеинаисоответственно. При этом будем считать, что функциявозрастает на отрезкеи,:

Если убывает на отрезкеи,, то

.

3. Площадь криволинейного сектора. Вычислим площадь сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах и лучами. Разобьем уголлучамитак, что

,

в каждом углу зафиксируем произвольным образом , вычислими построим круговой сектор радиуса. Площадь каждого такого кругового сектора вычислим по формуле

.

Таким образом, получим веерообразную фигуру, площадь которой приближенно равна площади криволинейного сектора:

.

Полученная сумма является интегральной суммой для функции . Если функциянепрерывна на, то существует и конечен предел этой суммы при:

.

Таким образом,

1. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости задана кривая уравнением . Найдем длину дугиэтой кривой, заключенной между вертикальными прямымии. Возьмем на дугеточкис абсциссамии проведем отрезки, длины которых обозначим соответственно через. Тогда получим ломаную, вписанную в дугу. Длина ломаной равна

.

Обозначим – параметр разбиения дуги. Длиной дуги называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, при:

.

Пусть . Найдем длину одного сегмента ломаной, координаты концов которой,.

.

По теореме Лагранжа , такая, что. Обозначим, тогда

и длина ломаной равна

.

Полученную сумму можно считать интегральной суммой функции . Так как функциянепрерывна, то существует конечный предели он равен определенному интегралу:

.

Итак, получили формулу для вычисления длины дуги:

2. Найдем теперь длину дуги кривой заданной параметрически уравнениями , где функции, причем. Пусть. В этом случае на отрезкеопределена некоторая функция, непрерывно дифференцируемая на этом отрезке, и ее производная. В интеграле (1) сделаем подстановку, получим

или

3. Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением , и. Для нахождения длины дуги воспользуемся формулой (2). Для этого представим декартовы координаты через полярные по формулам, в которые вместоподставим:

.

Найдем производные от ипо параметру:

.

Тогда

.

Следовательно,

(1)

(2)