Методичка Maple, Стребуляев

> C:=matrix(3,3,[[4,8,2],[6,2,3],[3,7,11]]);

> B:=matrix(3,1,[5,6,1]);

X := array(1 .. 3, 1 .. 1, [ ])

> X:=evalm((C^(-1))*B);# Первый способ;

> X:=multiply(inverse(C),B); # Второй способ;

> X:=linsolve(C,B); # Третий способ;

># Интерактивный ввод матрицы;

>restart;

>with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

>#A:=array(1..3,1..3);

>#entermatrix(A);

101

> 1;

1

> 3;

3

> 2;

2

> 5;

5

> 7;

7

> 5;

5

> 2;

2

> 5;

5

> 9;

9

>

1.11.Преобразование комплексных чисел, аналитических выражений и функций комплексного переменного

Операции с комплексными числами:

>restart: with(linalg): with(plots):

>z::complex:# Объявлдение z - комплексным числом;

>z:=3+4*I;

z := 3 4 I

> Im(z);# Мнимая часть комплексного числа;

4

> Re(z);# Вещественная часть комплексного числа;

3

> abs(z);#Модуль комплексного числа;

5

102

> argument(z); # Аргумент комплексного числа; arctan 43

> evalf(%);

0.9272952179

> conjugate(z);# Сопряженное комплексному числу;

3 4 I

> AA:=polar(z);# Тригонометрическая форма комплекс-

ного числа;

AA:= polar 5, arctan 4

3

> exp(z);# Экспонента комплексного числа;

e(3 4 I)

> A:=evalf(evalc(exp(z)));

A := -13.12878308 15.20078446 I

> Re(A);

-13.12878308

> Im(A);

-15.20078446

Функции комплексного переменного:

> restart:with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

>w,p::complex:

>w:=(p)->(1+p^4)/(1+2*p+p^3);

w := p 1 p4 3 1 2 p p

> p:=I*omega;

p := I

> complexplot(w(p),omega=0..10,thickness=2);

103

># Построение в (Re w, Im w) годографа:

>restart: with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> w:=(1+0.1*p)/(1+0.01*p^2+p^3);p:=I*omega:

>

complexplot(w,omega=0..100,color=black,thickness=2);

>restart:

>p:=I*omega;

p := I

> w:=(1+0.1*p+p^2)/(1+0.01*p^2+p^3);

104

plot([Re(w),Im(w),omega=0..100],thickness=2);

>restart: with(plots):

>u,v,w,p::complex:

>p:=I*omega;

p := I

> u:=(4+0.1*p)/(1+0.01*p^2);

>v:=(3+p)/(1+0.01*p^5);

v 3 I

:= 1 0.01 I 5

>w:=(1+0.1*p)/(1+0.01*p^4);

>

complexplot([u,v,w],omega=0..5,color=[RED,GREEN ,GOLD],style=[line,point,line], thickness=3);

105

Преобразование комплексных выражений: > restart:

> p:=I*omega;

p := I

> w:=(a[1]+a[2]*p+a[3]*exp(p*tau)*p^2+a[4]*p^5)/

(b[1]+b[2]*p^2+b[3]*p^3);

> simplify(evalf(evalc(w)));

1. ( 1. a1 b1 a1 b2 2 a3 cos( ) 2 b1 1. a3 cos( ) 4 b2 4 b3 a2

1. 5 b3 a3 sin( ) 8 b3 a4 1. I a2 b1 1. I 3 a2 b2 1. I 2 a3 sin( ) b11. I 4 a3 sin( ) b2 1. I 5 a4 b1 1. I 7 a4 b2 1. I 3 b3 a1

1. I 5 b3 a3 cos( )) (b12 2. b1 b2 2 b22 4 b32 6 )

> simplify(evalf(evalc(conjugate(w))));#

Сопряженное от w;

(a1 b1 1. a1 b2 2 1. a3 cos( ) 2 b1 a3 cos( ) 4 b2 1. 4 b3 a2

5 b3 a3 sin( ) 1. 8 b3 a4 1. I a2 b1 1. I 3 a2 b2 1. I 2 a3 sin( ) b11. I 4 a3 sin( ) b2 1. I 5 a4 b1 1. I 7 a4 b2 1. I 3 b3 a1

1. I 5 b3 a3 cos( )) (b12 2. b1 b2 2 b22 4 b32 6 )

>

> evalf(evalc(Re(w)));

106

> evalf(evalc(Im(w)));

>

Работа с комплексными функциями

>

> # Найти образ единичной окружности комплексной

плоскости z(t)=exp(I*t) c помощью преобразования w(t)=(z(t)-0.5*z(Pi/4))/(1-0.5*z(- Pi/4)*z(t));

> restart;

> z(t),w(t)::complex;

z(t ), w(t )::complex

> z:=(t)->exp(I*t);

z := t e(t I ) plot([

>evalc(Re(z(t))),evalc(Im(z(t))),t=0..2*Pi],thickness=2);

> w:=(t)->(z(t)-0.5*z(Pi/4))/(1-0.5*z(-Pi/4)*z(t));

> w(t):=simplify(evalc(w(t)));

107

w(t ) := (0.250000000109 sin(t ) 0.10000000001010 I sin(t )

0.10000000001010 cos(t ) 0.250000000109 I cos(t )0.707106781109 0.707106781109 I) (

0.707106781109 sin(t ) 0.12500000001010 0.707106781109 cos(t ))

> wRe(t):=simplify(evalc(Re(w(t))));

wRe(t ) := 1. (0.250000000 109 sin(t ) 0.1000000000 1010 cos(t ) 0.707106781 109 )

0.707106781 109 sin(t ) 0.1250000000 1010 0.707106781 109 cos(t )

> wIm(t):=simplify(evalc(Im(w(t))));

wIm(t ) := 1. (0.1000000000 1010 sin(t ) 0.250000000 109 cos(t ) 0.707106781 109 )

0.707106781 109 sin(t ) 0.1250000000 1010 0.707106781 109 cos(t )

plot([wRe(t),wIm(t),t=0..2*Pi],thickness=2);

Таким образом, в настоящем разделе приведены пакеты функций системы аналитических вычислений Maple, способы задания функциональных зависимостей и способы построения их графиков, примеры вычисления пределов, производных и интегралов, операции с рядами, решение уравнений, неравенств и их систем, анализ функций, решения дифференциальных уравнений и их систем, операции с векторами и матрицами, преобразование комплексных чисел, выражений и функций комплексного переменного. В каждом случае приведены простейшие примеры, иллюстрирующие использования функций системы Maple. Приведенный в этом разделе набор функций. Этого набора функций достаточно для моделирования на ЭВМ конкретных динамических систем, рассматривавшихся авторами пособия в разное время. Примеры моделирования таких систем приведены в следующем разделе.

108

2.Примеры использования САВ Maple для решения прикладных задач

Внастоящем разделе приведены примеры использования функций САВ Maple для решения конкретных задач: расчета

показателей динамического качества электроприводов, расчета собственных и вынужденных колебаний автомобиля и изучение фазового портрета математического маятника.

2.1.Расчет показателей динамического качества системы электропривода

Методы исследования динамики электропривода (ЭП) базируются на общих методах теории автоматического регулирования. Расчёт на ЭВМ показателей качества систем электроприводов является важным этапом в процессе их проектирования. Система электроприводов является сложной многоконтурной системой с несколькими цепями обратной связи. Поэтому актуальна задача создания программного и математического обеспечения расчёта показателей динамического качества исследуемых си-

стем.

Приведена обобщённая структурная схема электроприводов /7/. Для автоматизации получения главной передаточной функции и проведения расчетов используется система для аналитических вычислений Maple. Рассматривается аналитическое выражение главное передаточной функции, определяется расположение корней на комплексной плоскости, рассчитывается кривая переходного процесса и анализируются границы областей устойчивости в плоскостях различных параметров рассматриваемой динамической системы. Для расчета границ областей устойчивости используется корневой метод /6/.

Анализ структурных схем электроприводов, используемых на металлорежущих станках с числовым программным управлением, показывает, что они имеют достаточно сложную, разветвлённую структуру с многочисленными обратными связями. На

109

Эта схема состоит из двух частей: собственно электропривода (ЭП) и двигателя (Д). Сигнал от устройства числового программного управления поступает на вход регулятора скорости (коэффициент передачи в изображении по Лапласу W1 ( p) , p j ). При наличии рассогласования U 2 на входе регулятора ско-

рости, на его выходе формируется сигнал пропорциональный этому рассогласованию, который, сравниваясь с текущим значением тока якоря, поступает на вход регулятора тока (W2 ( p) ).

Регулятор тока усиливает эту разность и подает управляющее напряжение на схему формирования управляющих импульсов. По мере уменьшения рассогласования (под действием отрицательной обратной связи по частоте вращения) происходит стабилизация частоты вращения двигателя на уровне, пропорциональном напряжению задания. На рис. 1 W3 ( p) , W4 ( p) и W5 ( p)

передаточные функции тиристорного преобразователя, цепи якоря и двигателя, K1 , K 2 — коэффициенты усиления в цепи обратной связи контура тока и скорости; Cm , Ce — коэффициенты усиления по моменту и ЭДС. K1 , K 2 , Cm , Ce являются усилительными безынарционными звеньями, W1 ( p) и W2 ( p) — позиционными, W3 ( p) и W4 ( p) — апериодическими, а W5 ( p) — ин-

тегрирующим.

Передаточные функции отдельных звеньев системы двигателя хорошо известны из теории автоматического регулирования /6/ и имеют вид:

110