ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

С.Н. Стребуляев, д.Ю. Васин

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ

АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ MAPLE

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Рекомендовано методической комиссией

факультета вычислительной математики и кибернетики

для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по направлению подготовки

010501, 010500.62 «Прикладная математика и информатика»

Нижний Новгород

2007

УДК 519. (075)

ББК В19

С-84

С-84 Стребуляев С.Н., Васин Д.Ю. Использование системы аналитических вычислений Maple для решения задач прикладной математики: Учебное пособие. – Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007. с.

Рецензент: доктор физ.-мат. наук, профессор Ю.Л. Кетков

В пособии приведены алгоритмы, программные средства, подходы, которые в течение нескольких лет использовались авторами пособия для решения конкретных задач прикладной математики при проведении лабораторных занятий и самостоятельной работы со студентами дневного и вечернего отделений факультета ВМК ННГУ. Представленный материал служит для закрепления лекционного материала и способствует более эффективному использованию вычислительной техники при решении конкретных задач динамики систем, теории колебаний и теории автоматического регулирования при выполнении лабораторных работ, курсовых и дипломных проектов, а также, в процессе научных исследований при моделировании динамических систем и процессов.

УДК 519. (075)

ББК В19

© Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского, 2007

Оглавление

Введение 4

1. Основные пакеты, операторы и функции системы аналитических вычислений Maple 6

1.1. Пакеты функций 6

1.2. Способы задания функций и построения их графиков 11

1.3. Вычисление пределов 28

1.4. Вычисление производных 30

1.5. Вычисление интегралов 36

1.6. Операции с рядами 43

1.7. Решение уравнений, неравенств и их систем 54

1.8. Анализ функций 63

1.9. Решение дифференциальных уравнений и их систем 72

1.10. Операции с векторами и матрицами 90

1.11. Преобразование комплексных чисел, аналитических выражений и функций комплексного переменного 101

2. Примеры использования САВ Maple для решения прикладных задач 107

2.1. Расчет показателей динамического качества системы электропривода 108

2.2. Расчет собственных и вынужденных колебаний легкового автомобиля 118

2.3. Изучение фазового портрета математического маятника. Исследование явления резонанса 133

3. Контрольные задания для выполнения лабораторной работы на ЭВМ 142

Список использованных источников 190

Приложение 192

Введение

Одним из этапов процесса математического моделирования является разработка программного обеспечения. Этому этапу в цепочке «объект — расчетная схема — математическая модель — программное обеспечение — анализ результатов на ЭВМ» уделяется всегда много внимания. При разработке программного обеспечения на первом этапе проводится отладка собственно этого обеспечения. На втором этапе, с использованием этого обеспечения, выполняется наиболее ответственная работа — идентификация параметров математической модели. Поэтому к программному обеспечению предъявляются повышенные требования при работе с ним пользователя: удобный интерфейс, высокая скорость при проведении расчетов, наличие синтаксического и семантического контроля при задании входных параметров и другие. Современные возможности персональных ЭВМ по быстродействию, объему памяти, насыщенности программными средствами позволяют моделировать сложные динамические системы, избегая упрощения (иногда необоснованного) их математических моделей.

Динамика роста вычислительных возможностей современных компьютеров достаточно высока и позволяет надеяться на успешное решение все более сложных задач. Наряду с языками программирования, появились и системы аналитических вычислений (САВ): Maple, Mathematica, Matlab и другие. Использование САВ (систем компьютерной алгебры с расширенными возможностями в области символьных вычислений) еще в большей степени, чем языки программирования, позволяет автоматизировать процесс написания программ.

Особое место среди САВ занимает система Maple /1/. Системы компьютерной математики класса Maple были созданы корпорацией Waterlo Maple, Inc. (Канада) как системы компьютерной алгебры с расширенными возможностями в области символьных вычислений. Maple — типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:

— мощный язык программирования;

— редактор для подготовки и редактирования документов и программ;

— современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностями работы в диалоговом режиме;

— мощную справочную систему со многими тысячами примеров;

— ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;

— численный и символьный процессоры;

— систему диагностики;

— библиотеки встроенных и дополнительных функций;

— пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

При рассмотрении большого числа публикаций, посвященных описанию САВ Maple, часто употребляется термин «…мощный язык, справочная система…» и другие, что на самом деле соответствует действительности. Опыт работы авторов настоящего пособия подтверждает это. Например, при решении ряда сложных задач динамики систем, связанных с преобразованием громоздких выражений, пришлось отказаться от использования языка программирования Fortran в пользу системы аналитических вычислений Maple.

При написании настоящего пособия использованы материалы, приведенные в списке использованных источников, описаны примеры использования системы, полученные авторами, при решении конкретных задач. В первом разделе дается краткое описание возможностей системы и примеры их использования. Во втором — рассматриваются математические модели конкретных систем и комплексы программ их расчета. В третьем разделе приведены контрольные задания к лабораторной работе