Методичка Maple, Стребуляев

Ищем радиусы предельных циклов

> h:=R*alpha/2-(3*delta*R^3)/8;

> solve(h,R);

>mu:=0.01:alpha:=0;beta:=0.5;delta:=0.3;sys;

:= 0

:= 0.5

:= 0.3

{ddt y(t ) x(t ) 0.01 (1.0 x(t ) 0.9 x(t )2 ) y(t ), ddt x(t ) y(t )}

>phaseportrait(sys,[x(t),y(t)],t=-6..6, [[x(0)=0.3,y(0)=0.3], [x(0)=1,y(0)=1]],stepsize=0.1,scene=[x(t),y(t)] ,method=classical[foreuler],linecolor=[black,bl ue]);

1.10. Операции с векторами и матрицами

91

Уникальной возможностью системы Maple является возможность решения задач линейной алгебры в символьном виде. Однако такое решение представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку даже при небольших размерах матриц символьные результаты оказываются очень громоздкими и необозримыми. Они полезны только при решении специфических аналитических задач. Поэтому, разработчиками Maple, наряду с символьными, реализованы и численные методы решения задач линейной алгебры, которые широко используются при моделировании различных технических систем. Основным из пакетов решения задач линейной алгебры является пакет linalg. В основе его положены функции, реализующие операции с векторами и матрицами.

Способы задания векторов:

>restart;with(linalg):with(LinearAlgebra):

>v[1]:=array(1..3,[-3,0,4]);

v1 := [-3, 0, 4]

> v[2]:=array(1..3,[1,2,7]);

v2 := [1, 2, 7]

> v[3]:=array(1..3,[3,4,-8]);

v3 := [3, 4, -8]

> u[1]:=<3|-2|0>;

u1 := [3, -2, 0]

> u[2]:=<13|-22|0.1>;

u2 := [13, -22, 0.1]

> u[3]:=<23|-29|54>;

u3 := [23, -29, 54]

> s[1]:=vector[row]([-3,0,4]);

s1 := [-3, 0, 4]

> s[2]:=vector[row]([1,2,7]);

s2 := [1, 2, 7]

> s[3]:=vector[row]([3,4,-8]);

92

s3 := [3, 4, -8]

> alpha[1]:=vector(3,[-3,0,4]);

1 := [-3, 0, 4]

> alpha[2]:=vector(3,[1,2,7]);

2 := [1, 2, 7]

> alpha[3]:=vector(3,[3,4,-8]);

3 := [3, 4, -8]

Операции с векторами:

># Скалярное произведение векторов;

>dotprod(v[1],v[2]);

25

> dotprod(s[1],s[2]);

25

> dotprod(alpha[1],alpha[2]);

25

># Векторное произведение векторов;

>crossprod(v[1],v[2]);

[-8, 25, -6]

>crossprod(s[1],s[2]);

[-8, 25, -6]

>crossprod(alpha[1],alpha[2]);

[-8, 25, -6]

># Смешанное произведение векторов;

>dotprod(crossprod(alpha[1],alpha[2]),alpha[3]);

124

># Угол между векторами;

>angle(alpha[1],alpha[2]);

> evalf(%);

0.8224691544

93

> norm(alpha[1],3); evalf(%);# Норма трехмерного

вектора;

91(1/3)

4.497941445

> normalize(alpha[1]);# Нормировать вектор;

-53, 0, 45

> Basis([u[1],u[2],u[3]]);# Нахождение базиса век-

торов, задаваемых только как u[i] (пакет LinearAlgebra);

[[3, -2, 0], [13, -22, 0.1], [23, -29, 54]]

>GramSchmidt([u[1],u[2],u[3]]); # Ортогонализация системы векторов векторов, задаваемых только как u[i] (пакет LinearAlgebra);

[[3, -2, 0], [-6.15384616000000052, -9.23076922999999994, 0.100000000000000004 ],

[0.269465600000000192, 0.404198399999998515, 53.8931211840000018 ]]

>convert(alpha[1],list[1]);# Преобразование вектора в список;

[-3, 0, 4]

Способы задания матриц:

> restart: with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> C:=matrix(3,3);

C := array(1 .. 3, 1 .. 3, [ ])

> C1:=array(1..3,1..3);

C1 := array(1 .. 3, 1 .. 3, [ ])

> A:=matrix(3,3,[1,2,-5,2,8,0,-4,-3,-7]);

> B:=matrix(3,3,[1,2,-5,7,6,-8,3,4,-9]);

94

> C2:=matrix(2,3,[1,2,3,4]);

> C3:=array(1..3,1..3,[[1,2,-5],[2,8,0],[-4,-3,-

7]]);

> C4:=array(1..3,1..3,[[1,2,-5],[7,6,-8],[3,4,-

9]]);

Операции над матрицами:

> rowdim(A); # Число строк матрицы;

3

> coldim(A); # Число столбцов матрицы;

3

> evalm(C3+C4);# Сложение (вычитание) матриц;

> matadd(C3,C4);# Сложение матриц;

> multiply(C3,C4);#Перемножение матриц;

> evalm(C3&*C4);#Перемножение матриц;

95

> evalm(2*C3); # Умножение матрицы на число;

> evalm(2+C4);# Сложение матрицы с числом, умножен-

ным на единичную матрицу;

> evalm(C3^3);# Возведение матрицы в степень;

> evalm(A^(-1));# Нахождение обратной матрицы;

> inverse(A); # Нахождение обратной матрицы;

> C:=A^3+4*A+5;# Матрица - функция от матрицы;

C := A3 4 A 5

> evalm(C);

> evalm(A^0);

1

> transpose(A);# Нахождение транспонированной мат-

рицы;

96

> det(A);#Нахождение определителя матрицы;

-158

> rank(A);# Нахождение ранга матрицы;

3

> trace(A);# Нахождение следа матрицы;

2

> norm(B);# Норма матрицы;

21

>kernel(B); # Ядро матрицы;

{}

Спектральный анализ матрицы:

> evalf(eigenvalues(B,C)); # Собственные числа мат-

рицы;

0.00885552382 0.36 10-9 I, -0.1647751158 0.91858429 10-11 I,

0.00035980130 0.3891858429 10-9 I

> evalm(C);

> evalf(eigenvectors(B)); # собственные числа + их

кратности + собственные вектора;

[4.142790972 0.1 10-8 I, 1.,

{[0.338459235 0.1074774346 10-8 I, 3.031853317 0.6310807598 10-9 I, 1. ]}], [ -5.897200018 0.2660254040 10-9 I, 1.,

{[0.638960942 0.3163025798 10-9 I, 0.296479288 0.3687332859 10-9 I, 1. ]}], [

-0.245590958 0.1466025404 10-8 I, 1.,

{[-2.448008414 0.1681121105 10-9 I, 4.024608571 0.1754222681 10-9 I, 1. ]}]

>evalf(eigenvals(B,C));

0.00885552382 0.36 10-9 I, -0.1647751158 0.91858429 10-11 I,

0.00035980130 0.3891858429 10-9 I

> evalm(C);

97

>charpoly(A,lambda); # Характеристический многочлен матрицы ;

3 2 2 79 158

>charmat(A,lambda); # Характеристическая матрица ;

>minpoly(A,lambda); # Минимальный многочлен (делитель) матрицы;

3 2 2 79 158

>jordan(A);# Жорданова форма матрицы;

> gausselim(A); # Приведение матрицы к треугольному

виду методом Гаусса;

0 0

2

>gaussjord(A); # Приведение матрицы к треугольному виду методом Гаусса - Жордана;

> definite(B,'positive_def'); # Определение положи-

тельной определенности матрицы (да - true,нет - false);

false

Символьные операции с матрицами: > restart: with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> M1:=array(1..2,1..2,[[a1,b1],[c1,d1]]);

> M2:=array(1..2,1..2,[[a2,b2],[c2,d2]]);

98

> evalm(M1+M2);

> map(sin,M3);

># Генерация функциональной матрицы;

>f[1]:=(i,j)->x^i+y^j;

f1 := (i, j) xi yj

99

> AA:=matrix(2,3,f[1]);

>restart:

>A:=Matrix(3,3,[[omega,2,3],[4,5,6],[7,8,9]],readonly=true);

>omega:=1:

>as:=Matrix(3,3,readonly=false);

> as:=A;

>omega:=2:

>print(as);

>restart:

>a:=(omega)->matrix(2,2,[[12,omega],[43,566]]);

a := matrix(2, 2, [[12, ], [43, 566]])

> a(23);

Решение систем линейных уравнений С*X=B: > restart:with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

100