Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_po_matanu

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

795.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Третий признак сравнения

			∞		∞
Пусть даны ∑ an , ∑bn , an > 0, bn > 0, "n Î N
			n=1		n=1
Тогда :
	an+1		bn+1		∞	∞
Если	an+1	£	bn+1	,	∑bn	cходится ∑an сходится
Если	an	£		,	∑bn	cходится ∑an сходится
	an		bn		n=1	n=1
					∞	∞
					∑ an	расходится, то ∑bn расходится
					n=1	n=1

Лекция 16

Первый признак Даламбера

∞

Пусть дан ∑ an ; an > 0; "n Î N

		n=1
	an+1	∞
1) Если	an+1	£ q < 1, то ∑ an сходится
1) Если	an	£ q < 1, то ∑ an сходится
	an	n=1

2) Если an+1 ³ 1, то ряд расходится an

Замечание:

Оценка может выполняться не для всех n Î N , а для "n ³ n0

Признак Даламбера в предельной форме

∞			an+1
Пусть дан ∑ an ;	an	> 0; lim		= q

n=1		n→∞ an

1)Если 0 ≤ q < 1, то ряд сходится

2)Если q > 1, то ряд расходится

3)Если q = 1, то ничего сказать нельзя

Пример к пункту 3 :

∑∞ 1 − расходится

n=1 n

; a

n+1

;

lim

an+1

= lim

= 1

n +1

→∞ a

n→∞ n +1

∞

∑

− ряд сходится

n=1

= lim

= 1

lim

n→∞ an

n→∞

n +1

Пример :

∞

∑n=1

- исследовать на сходимость

(2n)!!

a =

; a

3n+1

; lim

an+1

= lim

3n+1

× (2n)!!

= lim

= 0

(2n)!!

(2n + 2)!!

(2n + 2)

n+1

n→∞ a

n→∞

(2n + 2)!! 3n

n→∞

∞

q = 0 <1 ряд ∑an сходится по признаку Даламбера

n=1

Признак Коши (в оценочной форме)

"n Î N ("n ³ n0 )

		∞
∞		£ q < 1 ∑ an сходится

	1) n an
Дан ∑ an		n=1
		∞
n=1		³ 1 ∑ an расходится

	2) n an
		n=1

Признак Коши (в предельной форме)

∞
Дан ∑ an ; an	³ 0; lim n		= q
		an
n=1	n→∞

1) Если 0 £ q < 1, то ряд сходится

2) Если q > 1, то ряд расходится

3) q = 1, то ничего нельзя сказать

Примеры:
∞	3n	n
1) ∑ ln
1) ∑ ln	n +1
n=1	n +1

an =

= lim

= ln 3 > 1 ряд расходится по признаку Коши

; lim n an

n +1

n→∞

n +1

∞

4n - 3

∞

2) ∑

∑ an

n=1 4n +1

n=1

4n - 3 n

∞

4n +1- 4

lim

= (1

) = lim

4n +1

n→∞

4n+1

−

4n+1

∞

lim −

= e−1 <1 ряд ∑ an сходится

lim n

= lim

= en→∞ 4n+1

n→∞

4n +1

n=1

Интегральный признак

∞

Дан ∑an ; an ³ 0. Пусть $ f ( x) такая, что:

n=1

1)f (n) = an

2)f ( x) определена и непрерывна при x ³1

3)f ( x) ³ 0 при x ³ 1

4)f ( x) при x ³1

∞	+∞
Тогда ∑ an и	∫ f ( x) dx либо сходятся одновременно, либо расходятся одновременно
n=1	1

Знакочередующиеся ряды

∞

U1 −U2 + U3 −U4 + ... = ∑(−1)n−1 Un

n=1

Признак Лейбница

1) limU

= 0

∞

n−1

1) Если

n→∞

∑(−1)

Un сходится

Тогда

≤ U

2) U

n+1

n=1

Rn = an+1 + an+2 + ...

≤

an+1

;

≤ Un+1

Пример :

∞

(−1)n+1

∑

;

30n

+ 5

n=1

1) Исследовать на сходимость

2) вычислить до 0, 01 =

100

1) lim

= 0

30n +

n→∞

ряд сходится по признаку Лейбница

30n + 5

2)Un+1 =

= Un

30n

30n + 35

S =

−

+ ...

125

<0,01

S ≈

−

Лекция 17

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

∞

∑ an ; an − число произвольного знака

n=1

Определение:

∞

∑ an

сходится абсолютно, если ∑

сходится

n=1

Определение:

∞

∑ an

сходится условно, если ∑

расходится, а

∑ an сходится

n=1

Утверждение:

Если ряд сходится абсолютно, то ряд сходится.

Обратное не верно. Пример :

∞

(−1)n

∑

n=1

(n → ∞)

1)Un =

→ 0

∞

(−1)n

∑

сходится по признаку Лейбница

2)Un+1

= Un

n=1

n +1

∞

∑

= ∑

− гармонический ряд. Расходится.

n=1

n=1 n

Схемы исследования числового ряда на абсолютную и условную

сходимость

1) Составляем ряд из модулей. Если ряд из модулей сходится,

то условный ряд сходится абсолютно

2)Исследуем на условную сходимость по признаку Лейбница или другим признакам условной сходимости

3)Расходимость ряда обычно устанавливается необходимым

условием сходимости : lim an ¹ 0 - расходится

n→∞

Примеры:

∞

(-1)n ×sin π

∞

1) ∑

= ∑ an ; 0 < π < π sin π > 0

n=2

∞

sin π

∑

= ∑

; sin π

π ;

n=2

n n

∞

∑

- ряд сходится ∑

сходится по предельному признаку сравнения

n=2

∞

∑ an сходится абсолютно

n=2

∞

ln n

∞

2)∑(-1)n ×

= ∑ an

n=2

ln n

∞

(при n ³ 3)

∞ ln n

ln n

расходится по первому

1) ∑

= ∑

;

∑n=2 n

∞

n=2

∑

- расходится

признаку сравнения

n=1

∞

∑an не сходится абсолютно

n=2

2)Исследуем на условную сходимость по признаку Лейбница :

1. U =

ln n

;

lim

ln n

= 0

n→∞

ln x

считаем отдельно, чтобы было корректно lim

= lim

= 0

x→∞ x x→∞ 1

ln x

× x - ln x

- ln x

2. y¢ =

;

при x ³ 3; y '< 0

ln n

, следовательно

ln (n +1)

ln n

∞

n +1

ln n

Ряд ∑(-1)n ×

сходится условно по признаку Лейбница

n=2

∞

n + 2

∞

3) ∑(-1)n+1 ×

= ∑ an

n=1

lim an

= 0 Û "ε > 0

$n0

= n0

"n > n0

an - 0

< ε

n→∞

= 0 Û "ε > 0

= n

"n > n

- 0

< ε

lim

n→∞

n + 2

= lim

= 1 ¹ 0

lim

n→∞

n→∞ n

Ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие

Свойства абсолютно сходящихся рядов

∞				∞
1) ∑ an - сходится абсолютно к S , то ∑ k × an
n=1				n=1
сходится абсолютно к числу (k × S )
∞
∞
∑ an сходится абсолютно к S1				∞
2) n∞=1				∑(an + bn ) сходится абсолютно к S1 + S2
∑bn сходится абсолютно к S2				n=1
∑bn сходится абсолютно к S2
n=1
∞	∞		∞
3) ∑ an × ∑bn =			∑Un
n=1	n=1		n=1
a1b1	a1b2	a1b3	.... U1 = a1b1
a2b1	a2b2	a2b3	.... U2 = a2b1 + a1b2
a3b1	a3b2	a3b3	.... U3 = a3b1 + a2b2 + a1b3

- - - - - - - Un = anb1 + an−1b2 + ... + a1bn

∞

Если ∑ an сходится абсолютно к S1

n=1

∞

∑bn сходится абсолютно к S2

n=1

∞

то ∑Un сходится абсолютно к S1 × S2

n=1

Признак Дирихле

Пусть 1)

{an } монотонно убывает

2) lim an = 0

n→∞

Bn = b1 + ... + bn

{Bn } ограничена

∞

Тогда ∑ anbn сходится

n=1

Пример

∞

∑

sin nα

− исследовать на сходимость

n=1

За a

возьмём

; a =

− убывает; a

→ 0

bn = sin nα; Bn

= sin α + sin 2α + sin 3α + ... + sin nα

2 sin

α B

= 2 sin α sin α + 2 sin α sin 2α + 2 sin α sin 3α + ... + 2 sin α sin nα

*(2 sin α ×sin β = cos (α - β ) - cos (α + β )) *

3α

5α

7α

2 sin Bn

= cos

- cos

+ cos

- cos

+ cos

- cos

+ ... + cos n -

α - cos n +

cos

- cos n +

ограничена

2 sin α

2 sin

Тогда ряд сходится по признаку Дирихле

Признак Абеля

{a }

монотонна

∞

{an }

∑ anbn

Пусть

ограничена Тогда

сходится

∞

n=1

3) ∑bn

сходится

n=1

Пример

∞

sin nα ×cos π

∑

- исследовать на сходимость

ln (ln n)

n=2

Решение:

= cos π ;

cos π

£ 1 {a

} ограничена

0 £ π £ π (1- ая четверть); y = cos n cos π

	sin nα	n	2		sin nα	n
			∞	∞		сходится по признаку Дирихле (проверить самостоятельно)
=		;	∑bn	= ∑
	ln (ln n)				ln (ln n)
			n=2	n=2

∞

∑anbn сходится по признаку Абеля

n=2

Признак Даламбера для рядов произвольного знака

			∞
Дан ∑ an ; an − произвольного знака
		n=1			1) 0 ≤ q < 1 − ряд сходится
					1) 0 ≤ q < 1 − ряд сходится
	a		n+1
lim				= q;	Если 2) q > 1	− ряд расходится


n→∞		an
					3) q = 1	− неизвестно
					3) q = 1	− неизвестно

Можно использовать признак Коши для закопеременных рядов

Функциональные ряды

∞

∑ fn ( x) = f1 ( x) + f2 ( x) + ... + fn ( x) + ...

n=1

D1 - область определения ряда состоит из значений пременных при которых определена каждая функция входящая в ряд

D - область сходимости ряда. D Ì D1 ( лежит в области определения)

Это такие значения переменной из области определения при которых ряд сходится.

При фиксированном x функциональный ряд становится числовым рядом. 1) Пример : Найти область сходимости ряда

∞

∑

(sin x)3n = ∑an ( x)

n=1 n

n=1

Область определения D1 = R

Исследуем на сходимость по признаку Даламбера :

lim

an+1 ( x)

= lim

8n+1

(sin x)3n+3 × n

= (sin x)

lim

= 8 ×(sin x)

an ( x)

n→∞

n→∞ (n +1)×8n (sin x)3n

n→∞ n +1

Если 8 ×

sin x

3 < 1- ряд сходится

sin x

;

< sin x <

-π +π n < x < π +π n

6 6

Исследуем на концах интервалов

sin x = 1 подставляем в первоначальный ряд

∞	8n		1	3n	∞	1
∑		×			= ∑		- расходится
∑	n	×	2		= ∑	n	- расходится
n=1	n		2		n=1	n

∞

(-1)

∞

(-1)

sin x = -

;

∑

= ∑

сходится по признаку Лейбница

n=1 n

n=1

Ответ:

+ 2π n

£ x £

+ 2π n

; n Î Z

5π

7π

+ 2π n £ x £

+ 2π n

Лекция 18

∞

2) ∑n2 × arctg 2nx

найти область сходимости

n=1

arctg 2nx 2nx ; an ( x) = n2 × arctg 2nx

1 случай x < 0;

2nx ® 0;

an+1 ( x)

(n +1)2 × arctg 2(n+1) x

2nx+ x

lim

= lim

= lim 1

( x)

× arctg 2

n→∞

= 2x < 1 ряд сходится по признаку Даламбера при x < 0

∞

2 случай x = 0; ∑ n2 × π

расходится, так как

n=1

lim

¹ 0

не выполняется необходимое условие сходимости

n→∞

3 случай x > 0;

2nx ® ¥ при n ® +¥ arctg 2nx

® π ;

an = n2 × arctg 2nx ® π × n2 ® 0 2

Ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости Ответ: (-¥; 0) - область сходимости

Степенные ряды

∞

∑Сn ( x − a)n = C0 +С1 ( x − a) + ... + Сn ( x − a )n + ...; Cn − числа, коэффициенты;

n=0

Степернной ряд можно исследовать на сходимость как функциональный

Теорема об области сходимости степенного ряда

Степенной ряд сходится абсолютно на интервале (a − R; a + R) (интервал сходимости)

			Cn
			Cn
R = lim					− радиус сходимости
R = lim					− радиус сходимости
	n→∞	Cn+1
где		1
R =		1			− если пределы существуют



	lim n			Cn
	n→∞
	n→∞

Если не этих пределов, то радиус можно посчитать по формуле Коши − Адамара

R =	1

	lim n C	n
	lim n C
	n→∞
	n→∞

Вне интервала сходимости степенной ряд расходится

x < a − R

ряд расходится −

x > a − R

x= a + R

− концы нужно исследовать отдельно

x= a − R

Если R = 0, то x = a

Лемма Абеля

∞

Если ряд ∑Сn × xn

сходится в точке x0 :

, то

n=0

∞

в точке x ряд ∑Сn × xn

сходится абсолютно

n=0

Пример 1

∞

( x - 6)n

∑n=0

; a = 6; Cn =

(n + 2) ×3n

R = lim

= lim

(n + 3)×3n+1

= 3

(n + 2) ×3n

n→∞

Cn+1

n→∞

Интервал

сходимости (6 - 3; 6 + 3) = (3;9)

∞

x = 9; ∑

= ∑

ряд расходится

+ 2)×3n

n + 2

n=0

∞

(-3)

∞

(-1)

∞

(-1)

x =

3; ∑

= ∑

- сходится условно по признаку Лейбница

(n + 2)×3n

n=0

n + 2

Ответ: [3, 9)

Пример 2

∞

∑

x2 +

x4 + ...

(n +1)2

n=1

= 0; C = 0; C

; C = 0; C

...

Лакунарный ряд ( ряд с пропусками)

1 способ

an+1

( x)

(n +1)2 × x2n+2 ×(n +1)2 × 2n

(n +1)4

По признаку Даламбера lim

= lim

lim

an ( x)

(n +

2)2

n→∞

2)2 × 2n+1 × n2 × x2n

2 n→∞ n2 (n +

< 1; x2 < 2;

< x <

- интервал сходимости

Ряд сходится, если

x =

∞

® 0

2; ∑

расходится, не выполняется необходимое условие

(n +1)2

n=1

Область сходимости (-

)

2 способ

R =

;

lim n

= lim 2n

= lim

lim n

n→∞

→∞

n→∞

(n +1)

R =

2; (-

)- интервал сходимости

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.201563.23 Кб75Lektsii_po_filosofii.docx
#
22.04.2019169.47 Кб3Lektsii_po_filosofii_1.doc
#
11.03.20162.45 Mб118Lektsii_po_GA_2sem.doc
#
21.12.20181.03 Mб3lektsii_po_informatike_1kurs.doc
#
03.05.2015823.82 Кб103Lektsii_po_KFP_13i_zadachi.docx
#
27.03.2015795.98 Кб12Lektsii_po_matanu.pdf
#
16.04.20192.16 Mб7Lektsii_po_nasosam.docx
#
27.03.2015152.06 Кб54Letyagina.doc
#
27.03.2015475.65 Кб28Lexi.doc
#
27.03.20154.33 Mб10Light_Kilpatrik.pdf
#
27.03.20154.64 Mб15Lineynaya_algebra.docx