Lektsii_po_matanu

f

=

( f , f )

норма

скалярно f на f

Определение :

ϕn ( x ) Î L2 [a, b], n Î - ортогональная система на [a, b],

если

(ψ n ,ψ m ) = 0

(ψ n ,ψ n ) ¹ 0

Определение :

Если ψ n ( x ) - ортогональная система, то ϕn ( x ) =

ψ

n ( x

)

- ОНС

ψ n

Определение :

Ряд Фурье функции f ( x ) по ОНС ϕn ( x ) :

∞

= ( f ,ϕn )

f ∑ Cnϕn ( x ), где Cn

n =1

∞

ψ

n ( x

)

Разложение ро ортогональной системе : f ∑ Cn

×

ψ n

n =0

ψ n

1

C

= ( f ,ϕ

) = f ,

=

×( f ,ψ

)

n

n

n

ψ n

ψ n

∞

1

×( f ,ψ n ) ×ψ n ( x )

f ∑

ψ n

2

n =1

коэффициент Фурье

Определение

x Î[-π ;π

]

1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin nx,...;

тригонометрическая система

Система ортогональна

(1, cos nx)

π

1

π−π = 0

= ∫ 1×cos nxdx =

sin nx

−π

n

π

(1, sin nx) = ∫ 1×sin nxdx = 0

−π

π

1

π

(cos nx, cos mx) = ∫ cos nx ×cos mxdx =

∫ (cos (m + n) x + cos (n - m) x) dx =

−π

2 −π

π

1

1

1

=

×sin (n + m) x +

×sin (n - m) x

= 0

n

2 n + n

- m

−π

(sin nx, cos mx) = 0

(sin nx, sin mx) = 0

Cчитаем норму :

π

2 = ∫ 1×1dx = 2π ;

=

;

1

1

2π

−π

π

π

1

(1+ cos 2nx)dx = π

cos nx

2

= ∫ cos2 nxdx =

∫

−π

2 −π

cos nx

sin nx

=

π

Определение

a0

∞

+ ∑ an cos nx + bn sin nx - тригонометрический ряд Фурье

2

n=0

π

a0

1

×( f ,1) =

1

(t ) dt

=

× ∫ f

2

2

2π

1

−π

1

×( f , cos nx)

1

π

f (t )cos ntdt, n Î

an

=

=

× ∫

cos nx

2

π

−π

1

×( f , sin nx) =

1

π

f (t )sin ntdt

bn

=

×

∫

sin nx

2

π

−π

Если функция f является 2π - периодической, то

a0

∞

f

+ ∑(an cos nx + bn sin nx)

2

π

n=1

× π

=

1

f (t ) dt; a

=

1

f

(t )cos ntdt;

b =

1

π

∫

π

π

n

∫

n

∫

−π

−π

−π

a0

∞

f

+ ∑ an cos nx

2

n=1

=

2

π f (t ) dt; a

=

2

×

π f

(t ) cos ntdt

π

∫

n

π

∫

0

0

92