Lektsii_po_matanu
.pdfТогда :
|
+∞ |
|
+∞ |
|
|
1) Если ∫ g ( x) dx сходится, то ∫ f ( x) dx сходится |
|
||||
|
a |
|
a |
|
|
|
+∞ |
|
+∞ |
|
|
2) Если ∫ |
f ( x) dx расходится, то ∫ g ( x) dx расходится |
||||
|
a |
|
a |
|
|
Критерии сходимости |
|
||||
1) Критерий сходимость через остаток |
|
||||
|
|
|
|
|
|
+∞ |
b |
+∞ |
|
||
∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx |
|
||||
a |
a |
|
|
|
|
b |
|
||||
|
|
|
остаток |
|
|
|
+∞ |
|
|
+∞ |
|
1. Если ∫ |
f ( x) dx сходится, то b > a остаток ∫ f |
( x) dx сходится |
|||
|
a |
|
|
b |
|
|
|
+∞ |
+∞ |
|
|
2. Если b > a; ∫ |
f ( x) dx, то ∫ f ( x) dx |
|
|||
|
|
b |
a |
|
2) Критерий Коши
+∞
∫ f ( x) dx сходится ε > 0 b > a, b1 > b, b2 > b :
a
b2
∫ f ( x) dx < ε
b1
3) Критерий сходимости несобственного интеграла от положительной
(неотрицательной) функции
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
∫ |
f ( x) dx сходится F (b) = ∫ f |
( x) dx ограничена, то есть M = const |
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
F (b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||||
b > a; |
|
|
|
≤ M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
+∞ sin2 (π |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
3 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin2 (π |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f ( x) = |
|
|
x |
≤ |
|
1 |
= g ( x) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|||||||||||||||||||
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ sin2 (π |
|
) |
|
|
||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||
∫ |
− сходится ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx сходится по первому признаку |
|||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x4 |
|
||||||||||||||||
1 |
x 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
61
|
|
Пример 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
+∞ |
2x +1 |
dx; g ( x) = |
|
2x +1 |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
1 |
= f ( x) |
|||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||
x |
2 |
+ 3x |
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
+ 3x |
2 |
2x |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
+ 3x x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 +∞ dx |
|
|
|
|
+∞ |
2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
расходится ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
расходится по первому признаку сравнения |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 3x |
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Второй признак сравнения (в оценочной форме) : |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f Î R [a, b]; g Î[a, b]; |
|||||||||||||||||||||||
Пусть f ( x) ³ 0; g ( x) > 0; " x ³ a; "b > a; |
||||||||||||||||||||||||||||
lim |
f ( x) |
= k ¹ 0 |
и ¹ ¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
g ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда ∫ |
f ( x) dx и ∫ g ( x) dx либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следствие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Если f ( x) g ( x) при x ® +¥, |
то интегралы ведут себя одинаково |
Пример 3 :
+∞ |
|
|
x3 + 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x4 + 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f ( x) = |
|
|
|
|
|
x 2 |
= |
|
= g ( x) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x4 + 5x |
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+∞ dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 2x +1 |
||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
сходится. |
Тогда ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx сходится |
||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
x |
4 |
+ 5x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Определение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
||||||
∫ |
f ( x) сходится абсолютно, если ∫ |
|
f ( x) |
|
dx сходится |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||
Определение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
Если ∫ |
|
f ( x) |
|
dx |
расходится, а ∫ |
f ( x) сходится, то ∫ f ( x) сходится условно |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
Теорема :
Из абсолютной сходимости следует обычная сходимость
+∞ |
+∞ |
∫ f ( x) dx |
сходится абсолютно ∫ f ( x)dx сходится |
a |
a |
62
Лекция 14
Признаки сходимости несобственных интегралов от функций
произвольного знака
Признак Дирихле:
+∞
∫ f ( x) g ( x) dx;
a
Пусть:
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) F (b) = ∫ f ( x) dx - ограничена, то есть $M = const; "b > a; |
|
F (b) |
|
£ M |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
$ g¢( x) непрерывная и знакопостоянная при x ³ a |
|||||||||||||||||||||
3) lim g ( x) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
+∞ |
( x) g ( x) dx сходится |
||||||||||||||||||
Тогда ∫ |
f |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+∞ |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
dx; α > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f ( x) = sin x; g ( x) = x−α ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
F (b) |
|
|
|
|
b |
|
|
= (- cos b + cos1) £ 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
|
|
|
= |
∫sin xdx |
|
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) g¢( x) = - |
α |
|
непрерывна при x ³ 1; g¢( x) < 0 |
||||||||||||||||||||
α +1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) lim g ( x) = lim |
1 |
= 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
α |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
x→∞ x |
||||||||||||||||
|
Интеграл сходится по признаку Дирихле |
||||||||||||||||||||||
|
Признак Абеля : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f ( x) g ( x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть: 1) |
∫ f ( x) dx сходится |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2) |
$ g¢( x) непрерывна и знакопостоянна |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3) |
$M = const |
|
g ( x) |
|
£ M ; "x ³ a |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
+∞ |
f ( x) g ( x)dx сходится |
|||||||||||||||||||
Тогда ∫ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
63 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример :
+∞ sin x
∫ xα arctgxdx
1
f ( x) = sin x ; g ( x) = arctgx; xα
+∞
1) ∫ f ( x) dx сходится (смотрите прошлый пример, господа)
1 |
|
|
2) g '( x) = |
1 |
непрерывна при x ³ 1; g '( x) > 0 |
|
||
|
x2 +1 |
3) g ( x) £ π
2
Сходится по признаку Абеля
Понятие о несобственных кратных интегралах
Несобственный двойной интеграл первого рода
Пусть f ( x, y ) ограничена на D; D - неограниченная область; D Ì R2
Пусть $ последовательность множеств {Вn }; n Î N
B Ì R2 ; "n Î N; f ( x, y ) интегрируема на B |
||
n |
|
n |
B1 Ì B2 Ì ... Ì Bn Ì Bn+1 Ì ...; Bn |
® D при n ® +¥ |
|
Тогда ∫∫ f ( x, y ) dxdy = lim |
∫∫ f |
( x, y ) dxdy |
n→+∞ |
|
|
D |
Bn |
|
|
если предел существует |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
и не зависит от {B } |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Пример : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
x |
||
Вычислить ∫∫ e− x |
− y |
dxdy; где D : |
|
|
||||||||||||
|
x |
|
+ y |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||
|
|
|
£ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
B : x ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
−(x2 |
+ y2 ) |
dxdy = lim |
−(x2 |
+ y2 ) |
dxdy = |
||||||||||
∫∫ e |
|
|
∫∫ e |
|
|
|||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
n→+∞ |
Bn |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
e− ρ |
|
|
|
|
|
|
×e− |
ρ |
|
|
= lim |
∫ |
dϕ |
∫ |
2 |
ρd ρ |
= lim |
- |
2 |
||||||||
|
|
4 |
|
|||||||||||||
|
n→+∞ |
|
|
|
|
|
|
n→+∞ |
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ 0 ³ 0
x = ρ cosα |
= |
|
|
|
|
y = ρ sin α |
|
n = - π × lim
0 4 n→+∞
e−n2 + π = π
4 4
64
Пример 2 :
+∞
I = ∫ e− x2 dx − интеграл Пуассона
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
dx ∫ e− x2 − y2 dy = π |
|
|
||||||
0 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+∞ |
|
+∞ |
π |
|
|
||||
∫ e− x2 dx ∫ e− y2 dy = |
|
|
|||||||
0 |
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
I 2 = π ; |
|
π |
|
||||||
∫ e− x2 dx = |
|
|
∫ e− x2 dx = |
|
|||||
|
; |
π |
|||||||
|
|
||||||||
|
4 |
0 |
2 |
|
|
−∞ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Несобственный интеграл второго рода
D − ограниченная область. ( x0 |
, y0 ) D; lim f ( x, y) = ∞ |
|
|
|
x→x0 |
|
|
y→ y0 |
∫∫ f ( x, y ) dxdy = lim |
∫∫ f ( x, y ) dxdy |
|
n→∞ |
|
|
D |
Bn |
|
Пример :
cos (x2 + y2 )
∫∫ x2 + y2 dxdy; D : x2 + y2 ≤ R2
D
(0, 0) − особая точка
B : |
1 |
|
|
≤ x2 + y2 |
≤ R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (x2 + y2 ) |
|
2π |
|
R2 |
|
cos ρ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
cos z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy = ∫ dϕ ∫ |
|
|
|
|
|
|
ρd ρ = *(z = ρ 2 )* = π ∫ |
|
|
|
dz = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
ρ |
2 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
U = |
1 |
|
|
|
|
|
dU = − |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
R |
|
|
R2 |
sin z |
|
|
|
sin R2 |
|
|
|
|
|
R2 |
sin z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z2 |
= π |
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
+ |
|
∫ |
|
|
|
= π |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ ∫ |
|
|
dz |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= cos dz; |
V = sin z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
2 |
|
1 |
|
z |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
sin z z; |
sin z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
z2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫∫ |
cos (x2 + y2 ) |
dxdy = lim |
(...) 2π |
sin R2 |
|
−1 |
+ lim |
R2 |
|
sin z |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
n→+∞ |
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ ∫ |
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2
расходится
65
Признаки сравнения двойных интегралов
r = x2 + y2
Если 0 < f ( x, y ) < |
1 |
; ( p > 2), то интеграл ∫∫ f ( x, y )dxdy сходится |
|||||
|
p |
||||||
|
|
|
r |
D |
|||
|
|
|
|
|
|
||
f ( x, y ) ³ |
1 |
; ( p £ 2), то интеграл ∫∫ f ( x, y )dxdy расходится |
|||||
p |
|||||||
|
r |
D |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Если несобственый двойной интеграл второго рода |
|||||||
0 < f ( x, y ) £ |
1 |
; ( p < 2) cходится |
|||||
r p |
|||||||
|
|
|
|
|
f ( x, y ) ³ 1 ; ( p ³ 2) расходится r p
Аналогично для тройных интегралов первого и второго рода
66
Ряды
Числовые ряды
a1 + a2 + ... + an + an+1 + ...
Sn - сумма n первых членов ряда
S1 = a1; S2 = a1 + a2 ; ... ; Sn = a1 + a2 + ... + an
Определение:
Сумма числового ряда - это предел последовательности суммы
S = lim S
n→∞ n
Если предел существует и конечен, то ряд сходится к этому числу S
Если предел равен бесконечности или не существует, то ряд расходится
Пример : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a + a × q + a × q2 + ... + a × qn−1 |
+ a × qn |
+ ... |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Sn = a + a × q + a × q2 + ... + a × qn−1 = a × |
1- qn |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1- q |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) Если |
|
q |
|
|
|
< 1, то |
|
q |
|
n ® 0 |
Û qn |
® 0; S = |
|
a |
- ряд сходится |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
1 |
- q |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) Если |
|
q |
|
> 1, то |
|
q |
|
n ® ¥ Û qn ® ¥ |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = lim Sn = ¥ - ряд расходится |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3) |
|
q |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
q = 1: a + a + ... + a + a + ... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Sn = n × a ® ¥ (при a ¹ 0); |
ряд расходится |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4) q = -1: a - a + a - a + ... |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
S1 = a; S2 = a - a = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
S3 = a; |
S4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim Sn |
не существует ряд расходится |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
Необходимое условие сходимости
∞
Если ряд ∑ an сходится, то предел общего члена равен нулю
n=1
lim a = 0
n→∞ n
!В обратную сторону нельзя использовать!
Это условие используют для установления расходимости
Если lim a ¹ 0, то ряд расходится
n→∞ n
Лекция 15
Свойства сходящихся рядов
∞ |
∞ |
Пусть ∑ an |
сходится к S1 , а ∑bn сходится к S2 |
n=1 |
n=1 |
Тогда :
∞
1) ∑(an + bn ) сходится к S1 + S2
n=1
∞
2) ∑k × an сходится к (k × S1 )
n=1
Определение:
a + ... + a + a + + a + + ...
1 n n 1 n 2
Sn |
Rn |
∞ |
∞ |
Rn = ∑an+k |
− остаток ряда ∑ an |
k =1 |
n=1 |
Критерий сходимости числового ряда
1) Критерий сходимости через остаток
Если ряд an сходится, то сходится любой из его остатков
∞ |
∞ |
1) ∑an сходится N ; RN = ∑ an сходится |
|
n=1 |
n= N +1 |
∞ |
∞ |
2) N0 ; RN0 = ∑ an |
сходится, то ∑ an сходится |
n= N0 +1 |
n=1 |
68
2) Критерий Коши
|
∞ |
(ε ) ; n > n0 p |
||||
∑an сходится ε > 0 n0 = n0 |
||||||
|
n=1 |
|
||||
|
an+1 + an+2 + ... + an+ p |
|
< ε |
|
||
|
|
|
||||
|
Sn+ p − Sn |
|
< ε |
|
||
|
|
|
3) Критерий сходимости для положительных рядов
∞ |
∞ |
Дан ∑ an , an |
³ 0. Тогда ∑ an сходится Û {Sn } ограничена сверху |
n=1 |
n=1 |
(последовательность его частичных сумм ограничена сверху)
Признаки сходимости положительных рядов
Признаки сравнения
С чем сравнивать?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|||
1) a + a × q + ... + a ×qn−1 + ... = ∑ a × qn−1 - геометрический ряд |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|||
Сходится, если |
|
q |
|
< 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Расходится, если |
|
q |
|
³ 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
2) ∑ |
= 1+ |
|
+ |
|
|
+... + |
+ ... |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
n p |
|
2 p |
|
|
3p |
|
|
|
n p |
||||||||||||||
Сходится, если p > 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Расходится, если p £1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
∑ |
1 |
= 1+ |
+ |
+ ... + |
|
+ ... |
расходится. Гармонический ряд |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n=1 n |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||
Первый признак сравнения (в оценочной форме) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||
Даны два ряда ∑ an , |
|
∑bn , |
0 £ an £ bn "n Î |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|||||
Тогда : 1) Если ∑bn |
|
|
|
|
сходится, то ∑ an сходится |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
||||
|
|
|
2) Если ∑ an расходится, то ∑bn расходится |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|||||
Замечание: оценка an |
£ bn может выполняться не для всех n Î , а "n ³ n0 |
69
Второй признак сравнения (в предельной форме)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть даны ∑ an , |
|
∑bn , an |
|
³ 0, bn > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть $lim |
an |
|
|
= k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) Если k ¹ 0, k ¹ ¥, то ∑ an |
и ∑bn ведут себя одинаково |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||||
2) Если k = 0, то если ∑bn |
|
сходится ∑ an |
сходится |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если ∑ an |
расходится ∑bn расходится |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|||
3) Если k = ¥, то если ∑ an |
сходится ∑bn |
|
сходится |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если ∑bn |
|
расходится ∑ an расходится |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
||||||
Следствие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Если f ( x) g ( x) при x ® +¥; f ( x) = an , |
g ( x) = bn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда ∑ an и |
|
∑bn |
ведут себя одинаково |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgn |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∑ |
arctgn |
|
= ∑ an ; an |
= |
£ |
|
= bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n=1 n2 + 3 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 3 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∑bn = |
π ×∑ 1 ( p = 2 >1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
2 |
|
n=1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда по первому признаку сравнения ∑ an |
сходится |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n -1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) ∑ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
n ×tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
+ 2n |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n -1 |
|
1 |
|
|
n -1 |
1 |
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
an = |
|
|
n ×tg |
|
|
|
|
|
|
|
n3 × |
|
|
|
|
|
|
n3 × |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= bn |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
+ 2n |
|
|
|
|
n |
|
+ 2n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = |
2 |
< 1 |
|
|
|
|
∞ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∑b |
|
= |
∑ |
- об общ - расх. ряд |
∑b расходится |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||
n=1 |
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
∑ an |
расходится по второму признаку сравнения |
n=1 |
70 |