Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_po_matanu

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

795.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Лекция 7

Пример 1: U (x, y, z); V (x, y, z)

UV = 3x − 2 y + z

V 2 = x2 + y2 + z2

∂U + y

∂U + z

∂U = 0

Найти частные производные и доказать,

что x

Решение:

∂x

∂y

∂z

VdU + UdV = 3dx − 2dy + dz

= 2xdx

+ 2 ydy + 2zdz

2VdV

dV =

dx +

dy +

∂V =

;

∂V =

;

∂V =

∂x V

∂y V

∂z V

VdU = −UdV + 3dx − 2dy + dz

dU =

3V −Ux

dx −

2V +Uy

dy +

V −Uz

V 2

∂U =

3V −Ux

; ∂U = −

2V +Uy

;

∂U =

V −Uz

∂x

V 2

∂y

V 2

∂z

V 2

¶U

+ y

¶U

+ z

¶U

3V × x -U × x2 - 2V × y -U × y2 + z ×V - z2 ×V

¶x

¶y

¶z

V 2

V (3x - 2 y + z ) -U (x2 + y2 + z2 )

U ×V 2 -U ×V 2

= 0

V 2

Замена переменной в дифференциальных уравнениях

1) Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенную

производную

φ (x, y, y ',y '',...,y(n) ) ;x − переменная y = y x( )− функция					→ t U,	t(
					→ t U,	t(
Общий случай :
g (x, y, t,U ) = 0
1			;
g2 (x, y, t,U ) = 0
Допустим что неявная функция
x = f1 (t,U )		→	x(t) = f1 (t,U (t))
		→	подставив сюда U (t) получим
y =	f2 (t,U )		y(t) = f2	(t,U (t))		31

g1 (x(t), y(t), t,U (t)) = 0g2 (x(t), y(t), t,U (t)) = 0

1)Дифференцируем по t, по правилу сложной функции

2)x '(t );y '(t )находим из системы

=y '(t )

3)y '(x )

x '(t )

	/
	y '(t )			y¢¢× x¢ - y¢ × x¢¢
4) y ''=	x '(t )	t	=	y¢¢× x¢ - y¢ × x¢¢
		t		t t	t t
	x '(t )			(x¢ )3
	x '(t )			(x¢ )3
				t

5) Подставляем найденные производные в дифференциальное уравнение

Пример 1:

y × y '+ xy2 + x3 = 0

U	- y		- x		= 0
2		2		2	; U = U (t)
					; U = U (t)
x2	- t 2 +U 2 = 0

Решение:

2U ×U '(t )- 2y × y '(t )- 2x × x '(t )= 0

1) 2x × x '(t )- 2t + 2U ×U '(t )= 0

2) x '(t )= t -U ×U ' x

U ×U '- y × y '(t )- t +U ×U '= 0

y '(t )= 2U ×U '- t y

= y '(t ) = 2U ×U '- t × x

3) y '(x )

x '(t ) t -U ×U ' y

4)- - - - - - - - - - - - - - - - - -

5)y × x × 2U ×U '- t + xy2 + x3 = 0 : x y t -U ×U '

2U ×U '- t + y2 + x2 = 0 t -U ×U '

2U ×U '- t = -U 2 (t -U ×U ')

U '(2U -U 3 )= t (1-U 2 )

Частные случаи :

x = x(U , t)

;

y = y(U , t)

Пример 2 : Решить Д.У.

(1+ x2 )2 × y¢¢ = y; перейдя к

x = tgt;

y =

; U = U (t)

cos t

1, 2) x '(t )=

; y '(t )=

U ' cost +U sint

cos2 t

3) y '(x )=

y '(t ) = U 'cost +U

sint

x '(t )

4) y ''=

'' cost -U

'sint +U

'sint +U cos t) = cos

t (U ''+U )

cos t U(

5) (1+ tg 2t )2 ×cos3 t(U ''+U )=

cos t

U ''+U

cos t

U ''= 0; U = C1t + C2

Второй частный случай :

2) Нужно поменять местами переменную и функцию y(x) ® x( y); y '= 1

x '

Пример 3 :

y ''

- x = 0 - решить Д.У.

( y ')3

−1

x ''

y '=

; y ''= (( x '(y ))

)

= -

× x ×''y

='-

( x ')

x '

x ''

(x ')3 ×

- x = 0

( x ')3

-x ''- x = 0 x ''+ x = 0

2) Замена переменных в выражения содержащих частные

производные

			2
φ x, y, z, ∂z ;		∂z ;	∂	z	...
	∂x	∂y	∂x2
z = z(x, y) → W = W (U ,V )
Рассмотрим случай, когда переменные x, y и z выражены явно
x = g1 (U ,V ,W )
	(U ,V ,W )
y = g2	(U ,V ,W )
	(U ,V ,W )
z = g3	(U ,V ,W )

Берём дифференциал от левой и правой части каждого уравнения

1) dx =

∂g1

dU +

∂g1

dV +

∂g1

dW (1)

∂U

∂V

∂W

dy =

∂g2

dU +

∂g2

dV +

∂g2

dW (2)

∂U

∂V

∂W

dz =

∂g3

dU +

∂g3

dV +

∂g3

dW (3)

∂U

∂V

∂W

2) dW = ∂W dU + ∂W dV − подставляем в (1) и (2)
	∂U		∂V
Выражаем dU и dV через dx, dy
3) dZ =	∂z	dU +	∂Z	dV − подставляем dU , dV

	∂U		∂V
dz = A(U ,V ,W ,W ′,W ′ ) dx + B					(U ,V ,W ,W ′,W ′ ) dy
				n V	n V
			∂z		∂z
			∂x		∂y

4) Производные более высоких порядков находим повторным

дифференцированием системы

Пример :

Dz = ¶2 z + ¶2 z - Оператор Лапласа. Частный случай, так как функция не меняется

¶x2 ¶y2

x = ρ cosϕ

Перейти к полярным координатам

y = ρ sin ϕ

dx = cosϕd ρ - ρ sin ϕdϕ

= sin ϕd ρ + ρ cosϕdϕ

D =

cosϕ; - ρ sin ϕ

ρ cos2 ϕ + ρ sin2 ϕ

sin ϕ;

ρ cosϕ

D = ρ; d ρ =

dx; - ρ sin ϕ

= cos xdx + sin ϕdy

dy;

ρ cosϕ

dϕ =

cosϕ; dx

cosϕ

sin ϕ

ϕ; dy

dy -

sin

dz =

¶z

d ρ +

¶z

¶ϕ =

¶z

(cosϕdx + sin ϕdy ) +

¶z

cosϕ

dy -

sin ϕ

¶ρ

¶ϕ

¶ρ

¶ϕ

¶z

sin ϕ

¶z

cosϕ

¶z

dz =

cosϕ

+ sin ϕ ×

¶ρ

¶ϕ

¶ρ

¶ϕ

¶z = cosϕ ×

¶z

sin ϕ

¶z

(*)

¶ρ

¶ϕ

¶x

¶z = sin ϕ ×

¶z

cosϕ

¶z

¶ρ

¶ϕ

¶y

В (*)

z ® ¶z

¶x

¶2 z

¶z

sin ϕ

¶z

sin ϕ

¶z

= cosϕ

= cosϕ ×

cosϕ ×

¶x

¶ρ

¶x

¶ρ

¶ϕ

¶x

sin ϕ

¶z

sin ϕ

¶z

¶2 z

sin ϕ

¶z

sin ϕ

¶2 z

cosϕ ×

= cosϕ cosϕ ×

¶ϕ

¶ρ

¶ϕ

¶ρ

¶ϕ

¶ρ¶ϕ

- sin ϕ × -sin ϕ ×

¶z + cosϕ ×

¶ z

- cosϕ × ¶z - sin ϕ × ¶ z = cos2 ϕ × ¶ z +

¶ρ

¶ρ¶ϕ

¶ϕ

¶ϕ 2

¶ρ 2

cosϕ ×sin ϕ

¶z

cosϕ ×sin ϕ

¶2 z

sin2 ϕ

¶z

cosϕ ×sin ϕ

¶2 z

ρ 2

¶ϕ

¶ρ¶ϕ

¶ρ

¶ρ¶ϕ

cosϕ ×sin ϕ

¶z

sin2 ϕ

¶2 z

;

¶ϕ

¶ϕ 2

ρ 2

¶2 z

= cos2 ϕ ×

¶2 z

sin2 ϕ

¶2 z

sin2 ϕ

¶2 z

sin 2ϕ

¶z

sin 2ϕ

¶z

¶x2

¶ρ 2

¶ϕ 2

¶ρ¶ϕ

¶ρ

¶ϕ

ρ 2

¶2 z

= sin2 ϕ ×

¶2 z

cos2 ϕ

¶2 z

sin 2ϕ

¶2 z

cos2 ϕ

¶z

sin 2ϕ

¶z

¶y2

¶ρ 2

¶ϕ 2

¶ρ¶ϕ

¶ρ

¶ϕ

ρ 2

Dz =

¶2 z

¶z

ρ 2

¶ρ

¶ρ 2

¶ϕ 2

Лекция 8

Понятие двойного интеграла Римана

Пусть область D - квадрируема (имеет определённую площадь) ,

ограничена, замкнута (компакт).

Пусть f (x, y) определена на D, ограничена на D.

Рассмотрим разбиение области D

на конечное число частей, таких что:

1)n Di = D

i=1

2)Di - квадрируемые компакты

3)Di Ç Dj

Внутри каждой области Di выберем произвольную точку ( xi , yi )Î Di

и составим интегральные суммы ∑ f ( xi , yi ) × SDi - интегральные суммы Римана

Определим d	i	= sup	( x¢ - x¢¢)2 + ( y¢ - y¢¢)2	- диаметр области D
	i			i

( x¢, y¢)Î Di

( x¢¢, y¢¢) Î D

Определение:

Если существует предел интегральных сумм при λ стремящимся к нулю, и этот предел не зависит ни от выбора разбиения, ни от выбора точек xi , yi , ни от области разбиения Di , то этот предел называется :

	n
∫∫ f ( x, y )dx = lim ∑ f ( xi , yi ) × SDi
D	i=1

λ = max di - редкость разбиения

1 £ i £ n

Физический смысл.

Задача о массе плоской пластины:

1) Если плотность в каждой точке постоянна

( p = const), то m = p × S

2)	Пусть p(x, y) - плотность в точке ( x, y )Î D;
p(x, y) - непрерывная функция на D.
D = n		Di ; Di Ç Dj - нулевая площадь. Если λ = max di - достаточно мало, то
	i=1			1≤i≤n
mi	» p(xi , yi ) × SD		- масса области Di , где ( xi , yi )Î Di
		i
	n		n
m = ∑mi m »			∑ p(xi	, yi ) × SD
	i=1		i=1	i
	i=1		i=1

Если λ стремится к нулю, то приближённое равенство становится точным и :

m = ∫∫ p(x, y)dxdy

Геометрический смысл двойного интеграла:

Пусть тело ограничено снизу плоскостью XOY , по бокам − цилиндрическая поверхность OZ. Сверху - поверхность z = f (x, y) - непрерывная функция на D.

D - проекция тела на XOY

V = ∫∫ f ( x, y )dxdy

V = ∑Vi ; Vi = объём цилиндра основанием Di и высотой f (x, y); ( xi , yi )Î Di

i=1

Vi = f ( xi , yi )× SD ;			n	, yi )× SD
Vi = f ( xi , yi )× SD ;		V » ∑ f ( xi		, yi )× SD
	i		i=1		i
			i=1
λ ® 0	V = ∫∫ f ( xi , yi ) dxdy;
	D
Если	f (x, y) º 1 на D
	n
∫∫ dxdy = lim ∑ SD ;			SD = ∫∫ dxdy
D	λ →0 i=1		D

Понятие двойного интеграла через суммы Дарбу

D − квадрируемая, ограниченная, замкнутая область. f (x, y) − ограничена на D

Теорема распределения :

D = n Di ; Di - квадрируемые компакты. Пересекаются только по границам.

i=1
mi = i nf f (x, y);	mi	= sup f (x, y)
( x, y ) Di		( x, y) Di

W ( f ,T ) = ∑mi × SDi - нижняя сумма Дарбу

i=1

W( f ,T ) = ∑ Mi × SDi - верхняя сумма Дарбу

i=1

∫∫ f ( x, y )dxdy = supW ( f ,T ) - нижний интеграл Римана

(чёрточкапод знаком интеграла для обозначения)

∫∫ f ( x, y ) dxdy =inf W( f ,T ) - верхний интеграл Римана

(чёрточкапод знаком интеграла для обозначения)

Определение: функция от (x, y) интегрируема по Риману на области D, если верхний интеграл совпадает с нижним, при этом значение двойного интеграла равно каждому из этих интегралов.

Классы интегрируемых функций:

Необходимое условие интегрируемости − ограниченность функции Кринерий интегрируемости :

f ( x, y ) интегрируема на D ε > 0 Tε Ω ( f ,Tε ) −W ( f ,Tε ) < ε

Теорема 1. Достаточное условие интегрируемости :

Пусть f ( x, y ) − непрерывна в области D (квадрируемый компакт)

Тогда f (x, y) интегрируема по Риману на D.

Теорема 2 : Если функция интегрируема на области D, за исключением множества точек разрыва, которые имеют меру 0 (нулевую площадь),

то она так же интегрируема на области D.

Свойства двойного интеграла :
1)	f ( x, y ) интегрируема на D,	с = сonst. Тогда c × f ( x, y ) - интегрируема на D.
∫∫ c × f ( x, y) dxdy = c∫∫ f ( x, y ) dxdy
D	D
2) f , g - интегрируема на D ( f + g ) интегрируема на D и
∫∫ ( f ( x, y ) + g ( x, y ))dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ g ( x, y )dxdy
D	D	D

3) Пусть D = D1 È D2 ;

D1 Ç D2	имеет нулевую площадь
∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( x, y ) dxdy + ∫∫ f ( x, y)dxdy
D	D1	D2
4)∫∫ dxdy = SD
D
5) Если f ( x, y ) ³ 0;		f ( x, y) - непрерывна на D, то

∫∫ f ( x, y ) dxdy = V

6) Если f ( x, y ) ³ 0, то ∫∫ f ( x, y )dxdy ³ 0

7) Если f ( x, y ) ³ g ( x, y); "( x, y) Î D, то

∫∫ f ( x, y )dxdy ³ ∫∫ g ( x, y )dxdy

D D

8) Оценка интеграла :

Пусть "( x, y) Î D : m £ f ( x, y ) £ M , тогда

m × SD £ ∫∫ f ( x, y ) dxdy £ M × SD

9) Теорема о среднем:

Пусть "( x, y) Î D; m £ f ( x, y ) £ M , тогда $μ Î[m, M ], такое что

∫∫ f ( x, y ) dxdy = μ × SD

μ = f (ξ ,η ) если f ( x, y ) непрерывна

Вычисление двойного интеграла

Определение:

D − элементарная область в направлении оси OY , если

она ограничена по бокам вертикальными прямыми x = a, x = b;

снизу графиком функции y = y1 ( x); сверху графиком y = y2 ( x)

Теорема о вычислении двойного интеграла :

Пусть: 1) D − область, элементарная в направлении оси OY ;

2)f ( x, y ) интегрируема на D;

3)При каждом фиксированном x [a, b] функция f (x, y) интегрируема

по y на отрезке y		( x), y	2	( x) ;
	1		2
4) y1 ( x), y2 ( x) непрерывны на [a, b]

		b			y2 ( x)
Тогда :	∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dx				∫ f ( x, y ) dy
	D	a			y1 ( x)

Сначала вычисляем внутренний интеграл

y2 ( x)

∫

y1 ( x)

f ( x, y ) dy = Ф(x), а потом интегрируем ∫Ф(x)dx

Аналогично можно определить элементарную область:

	d	x2 ( y)
∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dy		∫ f ( x, y ) dx
D	c	x1 ( y )

Если область не является элементарной ни в направлении оси x, ни в направлении оси y, то часто её можно разбить на конечное число областей, каждая из которых элементрана.

Тогда интеграл будет равен сумме интегралов.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.201563.23 Кб75Lektsii_po_filosofii.docx
#
22.04.2019169.47 Кб3Lektsii_po_filosofii_1.doc
#
11.03.20162.45 Mб118Lektsii_po_GA_2sem.doc
#
21.12.20181.03 Mб3lektsii_po_informatike_1kurs.doc
#
03.05.2015823.82 Кб103Lektsii_po_KFP_13i_zadachi.docx
#
27.03.2015795.98 Кб12Lektsii_po_matanu.pdf
#
16.04.20192.16 Mб7Lektsii_po_nasosam.docx
#
27.03.2015152.06 Кб54Letyagina.doc
#
27.03.2015475.65 Кб28Lexi.doc
#
27.03.20154.33 Mб10Light_Kilpatrik.pdf
#
27.03.20154.64 Mб15Lineynaya_algebra.docx