Lektsii_po_matanu

¶f (x , y ) = 0;

¶f (x , y ) = 0

¶x

0

0

¶y

0

0

2) $U (x , y ) в которой определены

¶2 f ;

¶2 f

;

¶2 f

¶y¶x

¶y2

0

0

¶x2

3)Частные производные второго порядка непрерывны в точке (x0 , y0 )

Тогда : 1) Если второй дифференциал d 2 f (

( x , y

0

)

, (h h )) > 0 для любых

0

1

2

< δ - если так, то (x , y ) - точка минимума

прирашений (h h ); 0 <

h2

+ h2

1

2

1

2

0

0

2) Если второй дифференциал d 2 f (( x , y

0

), h h

) < 0 для любых

0

1

2

< δ - если так, то (x , y ) - точка максимума

прирашений (h h ); 0 <

h2

+ h2

1

2

1

2

0

0

$(h/ , h/

) : d 2

f (

( x , y

), (h/ h/ )) > 0

1

2

0

0

1

2

(x0 , y0 ) не является точкой экстремума

3)

/ / ) : d

2 f (( x , y

), (h/ / h/ / )) > 0

$(h/ / , h

0

1

2

0

1

2

4) Если второй дифференциал ³ 0 либо £ 0, то (x0 , y0 ) может быть точкой

экстремума, а может и не быть

Примеры:

а) z = x4 + y2 ; (0; 0) - стационарная точка

¶z = 4x3 ;

¶z

= 2 y

¶x

¶y

¶2 z

= 12x2 ;

¶2 z

= 0;

¶2 z =

2

¶x2

¶y¶x

¶y2

d 2 z(0, 0) = 2h2

³ 0;

d 2 z(0, 0) = 0 если h

- произвол., а h = 0

2

1

2

(0, 0) - точка минимума, так как z(0, 0) £ z(x, y) "(x, y) Î R2

б) z = -x4 - y2 ;

d 2 z(0, 0) £ 0

(0, 0) - точка максимума

21

d 2 z(0, 0) = 2h2

³ 0;

d 2 z ((0, 0), (h , 0)) = 0

2

1

z(0, 0) = 1

z(x, 0) = x3

z(x, 0) > 0 если x > 0

(0, 0) не является точкой экстремума

< 0

z(x, 0) < 0

если x

n

∂

2

f

d 2 f (M 0 ) = ∑

(M 0 ) dxi dx j − квадратичная форма от переменных dx1, dx2 ...dxn

i, j =1

∂x j xi

Теорема 2

Пусть f (x ,..., x ) имеет в некоторой окрестности точки xo (xo

,..., xo )

1

n

1

n

∂f

(xo ) = 0

i =

непрерывные частные производные второго порядка

1, n

∂x

i

1)

A(x) положительно определённая кв. ф., если угловые миноры больше нуля

> 0;

a11; a12

> 0;

a11; a12 ; a13

> 0;

a11; a12 ;...; a1n

> 0

a

a

; a

; a

....................

11

a21

; a22

21

22

23

a31

; a32 ; a33

an1; an 2 ;...; ann

2) Отрицательно определённая кв. ф.

a < 0;

a11; a12

> 0;

a11; a12 ;

a13

< 0; (−1)n

a11; a12 ;...; a1n

> 0

a ; a ; a

....................

11

a21; a22

21

22

23

a31; a32 ;

a33

an1; an2 ;...; ann

∂f (x , y ) = 0;

∂f (x , y ) = 0

∂x

0

0

∂y

0

0

Обозначим:

A =

∂2 f

(x , y ); B =

∂2 f

(x , y ); C =

∂2 f

(x , y )

∂x2

∂y∂x

∂y2

0

0

0

0

0

0

∂z = 6x2 + y2 +10x;

∂z

= 2xy + 2 y

∂x

∂y

xy + y = 0

6x2 + y2 +10x = 0

y = 0

−

5

2 + y

2 +10x = 0

(0, 0) и

, 0

6x

3

− стационарные точки

x +1 = 0

(−1, 2) и (−1, −2)

2

+ y

2

+10x = 0

6x

∂2 z = 12x +10;

∂2 z

= 2 y; ∂2 z = 2x + 2

∂y∂x

∂x2

∂y2

(−1; −2) =

−2; − 4

= −16 < 0 (−1; −2) не точка экстремума

−4;

0

(−1; 2) =

−2;

4

= −16 < 0 (−1; 2) не точка экстремума

4;

0

(−

5

; 0) =

−10; 0

=

40

> 0 (−

5

; 0) − точка экстремума

4

−

3

0;

3

3

3

А = −10 < 0 (−

5

; 0) − точка максимума

3

(0, 0) =

10; 0

= 20 > 0; A = 10 > 0 (0, 0) − точка минимума

0;

2

Лекция 6

Условный экстремум

Найти экстремум функции f (x1 ,..., xn ) при условии уравнений связи :

ϕ (x ,..., x ) = 0

(*) m < n

1

1

n

ϕm (x1 ,..., xn ) = 0

Определение:

M

0

(xo ,..., xo ) − условный локальный максимум если U (M

0

) x = (x ,..., x ) U (M

0

)

1

n

1

n

2

1

;

1

− точка условного минимума

2

2

¶f

= 0; i = 1, n

¶xi

¶F

= ϕ J ( x1 ,..., xn ) = 0; J = 1, m

¶λJ

Для проверки достаточного условия экстремума

(только для стационарных точек) считаем d 2 F (M

0

)

Найти экстремум функции U = x + y + z 2

z - x = 1

при условии

y - xz = 1

F ( x, y, z, λ , λ

2

) = x + y + z 2 + λ ( z - x -1) + λ

2

( y - xz -1)

1

1

dF

= 1 - λ - λ

z = 0

2

¶x

1

¶F

= 1 + λ2

= 0 λ2 = -1

¶y

¶F = 2 z + λ - λ x = 0

¶z

1

2

z - x -1 = 0

y - xz -1 = 0

1 - λ1 + z = 0 λ1 = z + 1

2 z + z + 1 + z -1 = 0

2 z + λ1 + x = 0

z - x -1 = 0 x = z -1

z = 0; x = -1; λ1 = 1; y = 1

M 0 (-1,1, 0) - стационарная точка λ1 = 1; λ2 = -1

F = x + y + z 2 + z - x - 1 - y + xz + 1

F ( x, y, z) = z 2 + z + xz

d

2 F =

¶2 F dx2

+ 2

¶2 F

dxdz +

¶2 F ¶z 2

¶x2

¶z¶x

¶z 2

d 2 F = 2dxdz + 2dz 2

z - x -1 = 0 dz = dx

d 2 F = 4dz 2

> 0 при dz ¹ 0

Ответ : M

0 (-1,1, 0) - точка условного минимума

27

2)

¶F $ в B(x , y )

¶y

0

0

3)

¶F непрерывна вточке(x , y )

¶y

0

0

4) F (x0 , y0 ) = 0

5)

¶F (x , y ) ¹ 0

¶y

0

0

Тогда : " достаточно малого ε > 0

$ δ > 0

"x Î[x0 -δ , x0 + δ ] $! y = y(x) такая, что:

а) y Î[ y0 - ε , y0 + ε ]

б) F (x, y) = 0

в) Если $

¶F в B(x , y ) и

¶F непрерывна в (x , y ), то

¶x

0

0

¶x

0

0

dy

(x ) = -

FX¢ (M 0 )

Fy¢(M 0 )

dx

0

2)

¶F $ в B(M

0 )

¶z

3)

¶F непрерывна вточкеM

0

¶z

4) F (M 0 ) = 0

5)

¶F (M 0 ) ¹ 0

¶z

Тогда : " достаточно малого ε > 0

$ δ > 0

"

∑(xK - xKo )2

< δ $! z = z(x1,..., xn )

K =1

z - zo

< ε

Такая, что: 1)

¶z o

o

) = -

FX¢i (M

0 )

(x

,..., x

FZ¢(M 0 )

¶x

1

n

F (x, y, z) = 0

φ (x, y, z) = 0

; Допустим, что F ,φ - дифференцируемы

dF

=

¶F +

¶F × y '(x )+

¶F × z '(x )= 0

dx

¶x

¶y

¶z

dφ

=

¶φ +

¶φ × y '(x )+ ¶φ × z '(x )= 0

dx

¶x

¶y

¶z

Fy¢; FZ¢

D(F ,φ)

φ¢;

φ¢

=

- якобиан

D( y, z)

y

Z

F ¢

× y¢(x) + F

¢

× z¢(x) = -F ¢

y

Z

x

φy¢

× y¢(x) +φZ¢ × z '(x )= -φx¢

D(F ,φ)

D(F ,φ)

dy

dz

D(x, z)

D( y, x)

= y '(x )= -

;

= -

dx

D(F ,φ)

dx

D(F ,φ)

D( y, z)

D( y, z)

2) Cлучай нескольких переменных

Функции z1 (x1 ,..., xn ),..., zm (x1 ,..., xn ) заданы неявно системой :

F (z ,..., z

m

, x ,..., x ) = 0

1

1

1

n

(*)

- - - - - - - - - - - - -

(z1 ,..., zm , x1 ,..., xn ) = 0

Fm

Теорема 3 : Пусть M

0

(zo ,..., zo

, xo ,..., xo )

1

m

1

n

1) Fi

дифференцируема в U (M 0 )

i = 1,..., m

2) Fi (M 0 ) = 0 (i = 1, m)

3)

Якобиан

D(F1 ,..., Fn )

¹ 0

D(z1 ,..., zm )

Тогда " достаточно малых ε > 0,...,εm > 0 $δ > 0

n

< δ

" ∑(xK - xKo )2

$!

zi

= zi (x1 ,..., xn )

(i =

1, m)

K =1

Такие, что 1)

z - zo

<

ε

i

i

i

Fj (z1 ,..., zm , x1 ,..., xn ) = 0;

( j =

2)

1, m)

3)

zi

o

o

)

дифференцируемы в (x1 ,..., xn

29