Lektsii_po_matanu

Лекция 1

Частные производные:

Дифференцируемость:

Z=f(x,y) дифференцируема в точке (X0 Y0), если приращение функции в этой точке представимо в виде суммы главной линейной части (дифференциала) и бесконечно малой более высокого порядка чем норма вектора составленная из приращения переменной.

f (x0 + x, y0 + y) − f (x0 , y0 ) = A x + B y + 0 h

1

Необходимое условие диф-ти:

Если f(x,y) дифференцируема в т.(X0 Y0), то:

1)f(x,y) непрерывна в точке (X0 Y0)

Необходимое условие не является достаточным!

Схема:

1) Вычисляем частные производные:

2

Теорема(достаточное условие дифференцируемости):

1) Пусть f(x,y) имеет частные производные в некоторой окрестности точки (X0 Y0)

2) ∂f ∂f

∂x , ∂y непрерывны в т.(x0 , y0 )

Тогда f(x,y) дифференцируема в точке (X0 Y0).

Производная сложной функции

Пусть f(x,y)- внешняя функция

x = x(t)

− внутренние функции y = y(t)

f(t)=f(x(t),y(t))- сложная функция

Теорема:

Пусть f (x, y) диф − ма в точке(x0 y0 ), x(t) и y(t) диф − мы

в точке t0 , причём x0 = x(t0 ), y0 = y(t0 ). Тогда f (t) = f (x(t), y(t)) диф - ма в точке t0 и :

Теорема 2:

Пусть f (x, y) диф- ма в точке (x0 , y0 );

x(U ,V ); y(U ,V ) диф- мы в точке (U0 ,V0 ), причём x(U0 ,V0 ) = x0 ; y(U0 ,V0 ) = y0

Тогда :

f (x(U ,V ), y(U ,V )) диф - ма в точке (U0 ,V0 )

4

Лекция 2

Производная неявной функции:

1)y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0. Будет дано, что y(x)

дифференцируема и f(x,y) так же дифференцируема

F (x, y(x)) = 0 − сложная функция

2) Пусть z=z(x,y) задана неявно уравнением F(x,y,z)=0

F(x,y,z(x,y))=0, x,y-независимые переменные

Пример :

ez + z - x2 y +1 = 0

6

Касательная плоскость и нормальная прямая к поверхности

1) z=f(x,y)- поверхность задана явно и f(x,y) дифференцируема в точке (X0 Y0)

Определение:

z = Ax + By + C − называется касательной плоскостью к z = f (x, y)

в точке (x0 , y0 ), если f (x, y) = Ax + By + C + 0( h) *, где h = {x − x0 , y − y0 } x → x0

y → y0

Положим x = x0 , y = y0 , тогда h = {0, 0}; 0( h) = 0 f (x0 , y0 ) = Ax0 + By0 + C

C = f (x0 , y0 ) − Ax0 − By0 подставим в равенство * f (x, y) = Ax + By + f (x0 , y0 ) − Ax0 − By0 + 0( h)

f (x, y) − f (x0 , y0 ) = A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + 0( h)

Так как z = f (x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ), то

уравнение касательной плоскости к поверхности z = f (x, y) в точке (x0 , y0 )

Нормальная прямая – прямая проходящая через точку (X0 Y0Z0)

для нормальной прямой, n-направляющий вектор.

7

уравнение нормальной прямой к z = f (x, y) в точке (x0 , y0 , z0 )

2) Поверхность z=f(x,y) задана неявно уравнением F(x,y,z)=0

Пусть F (x, y, z) диф − ма в точкеM 0 (x0 , y0 , z0 )

Подставляем эти выражения в уравнения касательной плоскости

функции заданной явно:

Fx/ (M 0 )(x − x0 ) + Fy/ (M 0 )( y − y0 ) + Fz/ (M 0 )(z − z0 ) = 0

Уравнение касательной плоскости к поверхностиz=f(x,y), заданной

уравнением F(x,y,z)=0 в точке (X0 Y0Z0)

8

k × x - k × y + 2k × z = 1

x - y + 2z = 1 k

Найдём k при условии, что точка (x0 , y0 , z0 ) лежит на эллипсоиде:

он равен приращению аппликаты касательной плоскости к поверхности в точке (X0 Y0Z0)

9

Это обобщение понятия частной производной. Частная

производная – это производная в направлении координатных осей.

M →M0

Теорема : Пусть f (x, y, z) дифф - ма в т.M 0 ( x0 , y0 , z0 ). Тогда :

10