Lektsii_po_matanu

Необходимое условие интегрируемости по Риману:

Ограниченность функции

Достаточное -непрерывность функции.Разрывы могут быть, но их не должно быть много (множество точек разрыва должны иметь нулевой объём (нулевую меру))

Свойства тройного интеграла:

Такие же, как и для двойного, кроме 4 и 5

Вместо 4 и 5:

VG = ∫∫∫ dxdydz

G

Доказательство:

Если f ( x, y, z ) ≡ 1, то в определении тройного интеграла

n

∫∫∫ dxdydz = lim ∑V (Gk )

λ →0 =

G k 1

VG

∫∫∫ dxdydz = VG

G

Вычисление тройного интеграла:

Определение:

Область G − правильная (элементарная) в направлении оси OZ;

Если G ограничена : Снизу : z = z1 ( x, y ) Сверху : z = z2 ( x, y )

По бокам: цилиндрическая поверхность параллельная оси OZ

51

Тройной интеграл вычисляется переходом к повторному

Теорема :

Пусть 1) f ( x, y, z ) интегрируема в области G

2)G − правильная в направлении оси OZ

3)Для любой фиксированной точки ( x, y ) D функция f ( x, y, z )

52

Цилиндрические координаты

M ( x, y, z ) - произвольная точка

M1 - проекция M на xoy

∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz = ∫∫∫ f ( ρ cosϕ, ρ sin ϕ, z )× ρd ρdϕdz

Координатные поверхности :

ρ= const - круговой цилиндр с направляющей окружностью с центром

вточке (0, 0, 0)

ϕ = const - полуплоскость

z = const - плоскость в направлении x, y

Пример :

Найти массу полушара радиуса R с центром в начале координат,

если полотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от этой точки до основания шара

p ( x, y, z ) = k × z x2 + y2 + z2 = R2

z = R2 - (x2 + y2 ); z = R2 - ρ 2

Физический смысл:

Масса тела равна тройному интегралу от плотности

54

m = ∫∫∫ ρ ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ k × zdxdydz = k ∫∫∫ zρd ρdϕdz =

Лекция 12

Сферические координаты

(r,ϕ,θ ) r − расстояние от точки M до начала координат

M1 − проекция точки M на плоскость OXУ

ϕ − угол между положительным направлением оси OX и

радиус − вектором OM1

θ − угол между положительным направление оси OZ и

радиус − вектором OM

x = r sinθ cosϕ

y = r sinθ sin ϕ

z = r cosθ

Иногда угол θ определяют, как угол между радиус вектором и плоскостью XOУ

= -r2 sinθ (cos2 θ + sin2 θ ) = -r 2 sinθ ; 0 £ θ £ π sinθ ³ 0

Формула перехода к сферическим координатам:

∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz = ∫∫∫ f (r sinθ cosϕ, r sinθ sin ϕ, r cosθ )× r2 sinθ drdϕdθ ;

r = const - сферическая поверхность с центром (0, 0, 0)

ϕ= const - полуплоскость с границей осью OZ

θ= const - круговые конусы с вершиной в начале координат

Физические приложения двойного интеграла

m = ∫∫ ρ ( x, y ) dxdy - масса плоской пластины

D

S - статический момент относительно оси. Равен произведению массы на расстояние до оси.

SX - статический момент относительно оси OX

dSX = y × ρ ( x, y ) dxdy

SX = ∫∫ y × ρ ( x, y ) dxdy

D

SУ = ∫∫ x × ρ ( x, y ) dxdy - стат. момент плоской фигуры относительно оси ОУ

D

Центр тяжести - это такая точка, что если в ней сосредоточить всю

Связь между геометрическим смыслом и механическим

V = ∫∫ f ( x, y )dxdy

D

Рассмотрим цилиндр, ограниченный сверху плоскостью z = ax + by + c

V = ∫∫ (ax + by + c)dxdy = a∫∫ xdxdy + b∫∫ ydxdy + C ∫∫ dxdy

h

Объём цилиндроида с плоской крышкой равен произведению площадки основания на высоту проведённую из центра тяжести

Момент инерции относительно оси равен:

Ix = ∫∫ y2 ρ ( x, y )dxdy - момент инерции относительно оси OX

D

I y = ∫∫ x2 ρ ( x, y )dxdy - момент инерции относительно оси OУ

D

IO = ∫∫(x2 + y2 ) ρ ( x, y ) dxdy - момент инерции относительно начала координат

D

Момент инерции относительно точки равен сумме моментов инерции относительно двух перпендикулярных осей, пересекающихся в этой точке:

IO = Ix + I y

Приложение тройного интеграла m = ∫∫∫ ρ ( x, y, z ) dxdydz - масса тела

Ixy = ∫∫∫ z2 ρ ( x, y, z ) dxdydz - момент инерции тела относительно

G

плоскости XOУ

Ix = ∫∫∫( y2 + z2 ) ρ ( x, y, z ) dxdydz - относительно OX

G

остальные - аналогично

IО = ∫∫∫(x2 + y2 + z2 ) ρ ( x, y, z ) dxdydz - относительно начала координат

G

Момент инерции относительно оси равен сумме моментов инерции двух перпендикулярных плоскостей, пересекающихэту ось

Ix = Ixy + Ixz

А момент инерции относительно точки равен сумме моментов инерции плоскостей, пересекающихся в этой точке

IO = Ixy + Ixz + I yz

58

Лекция 13

Несобственный интеграл

Интеграл Риммана определяется на отрезке. Функция ограничена и интегрируема по Римману ( f R [a, b] b > 0) на любом промежутке

1) Несобственный интеграл первого рода (по неограниченному промежутку)

Если предел существует и он конечен, то несобственный интеграл сходится Если предел равен ∞ или не существует, то интеграл расходится

2) Несобственный интеграл второго рода Функция определена на [a, b]

ε > 0; f R [a + ε , b]

Теоремы для несобственного интеграла первого рода выполняются и для несобственного интеграла второго рода

Признаки сравнения для несобственных интегралов от

неотрицательных функций

Чтобы использовать признаки сравнения нужно знать с чем сравнивать

Первый признак сравнения (в оценочной форме)

Пусть 0 £ f ( x) £ g ( x) при x ³ 0

"b > a; f Î R [a, b], g Î R [a, b]

60