Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_po_matanu

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

795.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Лекция 9

∫∫ f ( x, y)

Примеры:

1)способ 1:

∫∫x2 ydxdy =

= ∫ dx

y2 ( x)

∫ f ( x, y) dy

y1 ( x)

		x				+ y							£ R
					2						2							2
D : x ³ 0
						³ 0
		y				³ 0
																																R2 − x2																3	R			5	R
	R					R2 − x2																	R					y	2						1	R	(R2 - x2 )dx =				1						x				x
	R					R2 − x2																	R						2							R
= ∫ dx								∫				x2 ydy = ∫ dx × x2 ×																						=		∫ x2							R2			×				-				=
= ∫ dx								∫				x2 ydy = ∫ dx × x2 ×																						=		∫ x2							R2			×				-				=
																									2									2						2						3				5
	0							0													0									0						0													0				0
	0							0													0									0						0													0				0
	R5					1				1								1
=								-					=							R5
=	2					3		-		5			=				15			R5
	2					3				5							15
	cпособ 2 :


														R						R2 − y2
∫∫ x2 ydxdy = ∫ dy																						∫			x2 ydx =
D													0								0

																															3				z =		(R2 - y2 )
											2		− y		2																3				z =		(R2 - y2 )
	R						3			R														R	(R2 - y2 )																		3
										R																					2
																															2
= ∫ y ×					x											dy =							1	∫									× ydy = dz = -2 ydy							= -		1		∫ z		dz =
					x																		1																			1			2
																																													2
	0					3			0												3			0														1		6
																																			ydy = -			1	dz
																																			ydy = -				dz
																																					2
																		5				R
																		5				R
						2 (R2							- y2 )
= -			1	×		2 (R2							- y2 )						2					=		1	R5
= -		6		×									5											=	15		R5
		6											5												15
																						0
																						0

2) ∫∫( x + 2 y )dxdy =

D : y = x2 ; y = 0; x + y - 2 = 0

2− y

= ∫ dy ∫

( x + 2 y ) dx = ∫ dy

+ 2 yx

= ∫

(2 - y )2 + 2 y (2 - y ) -

y - 2 y 2

dx =

= ∫ 2

- 2 y +

y2 + 4 y - 2 y2 -

y - 2 y 2 dy

∫

y - 2 y 2 + 2

dy =

= -

+ 2 = 1, 45

3) Изменить порядок интегрирования :

2 x− x2

f ( x, y ) dy = ∫∫ f ( x, y ) dxdy

∫ dx

∫

D : 0 £ x £ 2;

y = 0;

( x -1)2 + y2 = 1; y ³ 0;

y = 2x - x2 ; x2 - 2x +1+ y2 = 1;

(x -1)2 = 1- y2 ; x = 1± 1- y2 ;

1− y2

f ( x, y ) dx

∫ dy

∫

1−

1− y2

1−

3 x2

4 x− x2 −3

4)∫ dx ∫

f ( x, y ) dy + ∫ dx

∫

f ( x, y) dy = ∫∫ f ( x, y) dxdy + ∫∫ f ( x, y) dxdy

D1 : 0 ≤ x ≤ 1

y = 0

y = 3

D2 : 1 ≤ x ≤ 2

y = 0

y = 1−

4x − x2 − 3

y −1 = −

4x − x2 − 3

y −1 ≤ 0

( y −1)2

= 4x − x2 − 3

− 2)

+ ( y −1)

= 1

( x

центр (

2,1);

радиус

= 1

;

y ≤ 1

Нижний предел x = y 2 ; Верхний : ( x − 2)2 = 1− ( y −1)2 ;

x − 2 = ±2 y − y2 ; x = 2 ± 2 y − y2

Сумму этих двойных интегралов заменяем как один интеграл

1	2− 2 y− y2		f ( x, y ) dx
∫ dy	∫
0		3
	y 2

Криволинейные координаты
x = x (U ,V )			- формулы перехода от координат ( x, y ) к координатам (U ,V )

y = y (U ,V )

x (U ,V ), y(U ,V ) дифференцируемы в области D
D(x, y)		¶x		¶x	¹ 0 - матрица перехода ( якобиан)

	=	¶U		¶V

D(U ,V )		¶y		¶y
		¶U		¶U

U= const

- сетка координат в плоскости OUV

V= const

x = x (C,V )	- семейство линий в плоскости oxy
U = C :	- семейство линий в плоскости oxy
y = y (C,V )

x = x (U , C )	- семейство линий (U - параметр)
V = C :	- семейство линий (U - параметр)
y = y (U , C )

Пример :

x = ρ cosϕ

- полярные координаты

y = ρ sin ϕ

D ( x, y )

¶x

cosϕ

- ρ sin ϕ

¶ρ

¶ϕ

= ρ

¶y

sin ϕ

ρ cosϕ

D ( ρ,ϕ )

¶ρ

¶ϕ

ρ= C :

Возведём

ϕ= C :

y = tgC; x

=c ×cosϕ

=c ×sin ϕ

вквадрат и сложим: x2 + y2 = c2

=ρ cos C

= ρ sin C

y = x ×tgC ( лучи из (0, 0))

Площадь фигуры в криволинейных координатах

x = x (U ,V )

= ( )

y y U ,V

x (U ,V ) и y (U ,V ) дифференцируемы в области D

ABCD − образ прямоугольника

A( x1 , y1 ); B ( x2 , y2 ); C ( x3 , y3 ); D ( x4 , y4 )

x1 = x (U ,V ) ; y1 = y (U ,V )
x2 = x (U + DU ,V ); y2 = y (U + DU ,V )
x3 = x (U + DU ,V + DV ); y3 = y (U + DU ,V + DV )
x4 = x (U ,V + DV ); y4 = y (U ,V + DV )
DS = SABCD
DS = SABCD		» площади параллелограмма построенного на векторах AB, AD


					i	j	k

DS »	AB ´ AD		= абсолютная величина( модуль)	x2	- x1	y2 - y1	0
				x4 - x1		y4 - y1	0

DS » ( x2 - x1 )( y4 - y1 ) - ( x4 - x1 )( y2 - y1 ) = ( x (U + DU ,V ) - x (U ,V ))×

×( y (U ,V + DV ) - y (U ,V )) - ( x (U ,V + DV ) - x (U ,V ))( y (U + DU ,V ) - y (U ,V )) =

¶x

¶y

¶x

¶y

DU × DV

¶U

¶V

DS =

D ( x, y )

D (U ,V )

¶x

D ( x, y )

¶U

¶V

I =

¶y

D (U ,V )

¶U

¶V

SD = ∫∫ I dUdV

D - образ области А

SD = ∫∫ ρd ρdϕ - площадь фигуры в полярных координатах

Лекция 10

Замена переменных в двойном интеграле

Теорема :

Пусть f (x, y) непрерывна в D; D - квадрируемый компакт

x = x (U ,V )

D ® ( )Î D ( )Î; D; U ,V ; x, y D

y = y (U ,V )

¶x

;

¶x

;

¶y

;

¶y

I =

¶U

¶V

¹ 0;

непрерывны в D

¶V

¶y

¶U

¶V

¶U

¶V

Тогда :

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( x (U ,V ), y (U ,V ))× I dUdV

x = ρ cosϕ

Если

y = ρ sin ϕ

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f (ρ cosϕ, ρ sin ϕ )× ρd ρdϕ

Пример :

Вычислить ∫∫(x2 + y2 )dxdy

D : x2 + y2 = 2x;

x2 - 2x +1+ y2

=1;

( x -1)2 + y2

=1;

Центр (1, 0); R = 1

x = ρ cosϕ

y = ρ sin ϕ

x2 + y2 = ρ 2 ;

x2 + y2 = 2x;

ρ 2

= 2ρ cosϕ; ρ = 2 cosϕ

2cosϕ

3d ρ = 1

∫∫ ρ 2 × ρd ρdϕ =∫∫ ρ 3d ρdϕ = ∫

dϕ ∫ ρ

∫ dϕ × ρ 4

2cosϕ

−

= ∫ 4 cos4 ϕdϕ = *так как (2 cos2 ϕ = 1+ cos 2ϕ )* = ∫

(1+ cos 2ϕ )2 dϕ =

−π

1+ cos 4ϕ

3π

∫π

1+ 2 cos 2ϕ +

dϕ =

+ sin 2ϕ

2π

sin 4ϕ

2π

−π

− 2

−

Пример 2 :

Найти площадь фигуры ограниченной линиями

xy = a2 ; xy = b2 ; 0 < a < b y = α x; y = β x; 0 < α < β

Облать не является элементарной ни в направлении оси y,

ни в направлении оси x.

Нужно будет разделить на части.

Замена переменных:

U = xy
U = xy			U
		x =
	y	x =	V
	y	;	V
V =

	x		U ×V
	x	y =	U ×V

D: U = a2 ; U = b2 V = α; V = ρ

Sф = ∫∫ I (U ,V )dUdV

¶x

2 U ×V

¶U ¶V

I =

V 2

¶y ¶y

¶U

¶V

2 U

dUdV

= (b2 - a2 )

- a

Sф

= ∫∫

= ∫ dU ∫

(ln β - ln α ) =

×ln

α 2V

ρ2 (ϕ )

∫∫ F ( ρ,ϕ )d ρdϕ = ∫ dϕ ∫ F

( ρ,ϕ )d ρ

αρ1 (ϕ )

R	ϕ2 (ρ )
∫∫ F ( ρ,ϕ )d ρdϕ = ∫ d ρ ∫ F ( ρ,ϕ )dϕ
r	ϕ1 ( ρ )

Если область не является элементарной, то её часто можно

разбить или представить в виде суммы элементарных областей.

Тогда её интеграл равен сумме интегралов элементарных областей.

Понятиеплощади поверхности

Рассмотрим разбиение T = { DK }nk =1

D = n Dk ; Dk ∩Dn - имеют нулевую площадь

k =1

Выберем точку Pk Î Dk ; Pk ( xk , yk )

Точка M k (xk , yk , f ( xk , yk )) проектируется на Pk

В точке M k проведём касательную плоскость к поверхности.

Область Dk¢ лежит в касательной плоскости.

Dk¢ проектируется на Dk

λ = max dk ; k =1, n ; dk - диаметр области D

Определение:

n
Площадь поверхности σ = lim ∑ SD
λ →0 k =1	k

Лемма(площадь проекции)

Даны плоскости α и α ¢, угол γ - угол между α и α ¢; D Ì α ; D¢ Ì α ¢

D - ортогональная проекция D¢ на α

Тогда SD =

cos γ

× SD′

A( x, y ), A¢( x¢, y¢)

x = x¢

y = y¢×cos γ

¶x

y =

¶x¢

¶y¢

= cos γ

¶y

cos γ

¶x¢

¶y¢

SD = ∫∫

dx¢dy¢ =

cos γ

∫∫ dx¢dy¢

D′

SD =

cos γ

× SD′

Теорема : (вычисление площади поверхности)

Пусть z = f ( x, y ) однозначно проектируется на D xoy;

f ( x, y ) непрерывна в D;

∂f

;

∂f и непрерывны в D

∂x

∂y

Тогда :

∂f

σ =

∫∫

dxdy

∂x

∂y

Лекция 11

z = f ( x, y ); ( x, y )Î D

σ = ∫∫		¶f 2		¶f	2
σ = ∫∫	1+		+			dxdy
D		¶x		¶y

Пример :

x2 + y2 + z2 = R2

σ1 : z =

R2 - x2 - y2 - верхняя полусфера

¶z = -

¶x

R2 - x2 - y2

¶z

= -

¶y

R2 - x2 - y2

σ = 2σ1 = 2∫∫ 1+

dxdy =

- x

- y

- x

- y

= 2∫∫

Rdxdy

= 2R∫∫

ρd ρdϕ

R2 - ρ 2

R2 - x2 - y2

D : x2 + y2 = R2

x = ρ cosϕ

0 £ ρ £ R

y = ρ sin ϕ

0 £ ϕ £ ϕ

	2π		−	1
2R		R		1	R	2	- ρ	2
		R				2		2
	∫ dϕ ∫(R2 - ρ 2 ) 2 d (R2 - ρ 2 ) = -R × 2π ×
	∫ dϕ ∫(R2 - ρ 2 ) 2 d (R2 - ρ 2 ) = -R × 2π ×					1
-2 0		0				1
-2 0		0					2
							2

= 4π R2

Пример 2 :

Найти площадь части поверхности x2 + z2 = a2 вырезаемой цилиндром x2 + y2 = a2

Цилиндрическая поверхность- отсутствуют одна, либо две составляющие

(параллельна одной из осей)

-x

a2 − x

ady

a2 − x2

σ = 8×σ1 = 8∫∫

dxdy = 8∫ dx

∫

= 8∫ dx

a2 - x2

= 8a∫ dx = 8a2

Или

a2 − y2

adx

- y

σ = 8∫ dy

∫

= 8a∫ dy arcsin

= 8a∫ arcsin

a2 - x2

Мораль - от порядка интегрирования зависит сложность вычислений.

Тройной интеграл

Рассмотрим область G Ì R3 , G - кубируема( существует конечный объём)

G - ограничена, замкнута(компакт)

Функция f ( x, y, z ) ограничена в G

Разобьём G = Gk ; Gk - кубируемый компакт; V (Gk ∩Gm ) = 0

k=1

∑f ( xk , yk , zk )×V (Gk ) - интегральные суммы Римана

Вводим λ = max dk - мелкость разбиения; 1 £ k £ n

dk - максимальное расстояние между точками в области Gk

	n
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = lim ∑ f ( xk , yk , zk ) ×V (Gk )
G	λ →0 k =1

Если предел существует, то функция называется интегрируемой

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.201563.23 Кб88Lektsii_po_filosofii.docx
#
22.04.2019169.47 Кб7Lektsii_po_filosofii_1.doc
#
11.03.20162.45 Mб144Lektsii_po_GA_2sem.doc
#
21.12.20181.03 Mб6lektsii_po_informatike_1kurs.doc
#
03.05.2015823.82 Кб109Lektsii_po_KFP_13i_zadachi.docx
#
27.03.2015795.98 Кб12Lektsii_po_matanu.pdf
#
16.04.20192.16 Mб8Lektsii_po_nasosam.docx
#
01.04.2025316.03 Кб0lektsii_Startseva.docx
#
27.03.2015152.06 Кб55Letyagina.doc
#
27.03.2015475.65 Кб36Lexi.doc
#
27.03.20154.33 Mб16Light_Kilpatrik.pdf