Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_po_matanu

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

795.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Пример :

¶f

f = x2 y2 z2 ;

( A) = ?; A(1, -1, 3);

; B = (0,1,1)

¶l

= (x - x )2

+ ( y - y )2

+ (z - z

= {-1; 2; -2};

= 3; cosα = -

; cos β =

; cos γ = -

¶f

= 2xy2 z2

= 18

¶x

¶f

= 2x2 y z2

= -18

¶y

¶f

= 2x2 y2 z

= 6

¶z

¶f

( A) = 18 ×

-18

+ 6

= -6 -12 - 4

= -22

¶l

Лекция 3

Пример 2:
							∂z
z = arctg	y		1		3		∂z	+ y2 − 2x = 0
		в точкеМ		,		найти	в направлении x2
		в точкеМ		,		найти	в направлении x2
	x		2		2		∂l
	x		2		2		∂l

Производная в направлении кривой–это производная в

направлении касательной к этой кривой

Решение:

y '(M )= tgα = -

-x - 2

= -

2x - 2

α = 30

;

Fy/

2 y

cosα =

;

cos β =

;

¶z

× -

= -

;

¶x

+ y2

¶z ¶y

¶z ¶l

		1				1
	=				×		=
	=		y	2	×		=
M	1	+	y		x		M
M							M
			x2

(M ) = ¶z (M ) ×cosα

¶x

x		=	1	;
x2 + y2		=		;
x2 + y2	M	2
	M

+ ¶z (M )cos β = - 1 ¶y 2

Теорема:

Производная в данной точке по направлениюимеет наибольшее значение, если направлениесовпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно модулю градиента

(Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего

возрастания некоторой величины)

	¶f	,	¶f	,	¶f
1) grad f =
	¶x		¶y		¶z

grad f	=	¶f 2


		¶x

+¶f 2¶y

+¶f 2¶z

¶f

cosα =

¶x

; cos β =

¶y

; cos γ =

¶z

grad f

¶f

¶x

¶y

¶z

+ ¶y

¶z ×

¶ grad

¶x

grad f

¶f 2

¶f

grad f

¶x

¶y

¶z

2) Пусть l - произвольное направление; а = {cosα , cos β , cos γ } - -единичный вектор в направлении l

¶f

cosα +

¶f

cos β +

¶f cos γ

grad f

неравенство

(grad f , a)

¶l

¶x

¶y

¶z

Коши - Буняковского

Геометрический смысл производной по направлению:

Она равна тангенсу угла наклона касательной прямой к поверхности в данном направлении

Пример 3:

z = x y в точке M (2, 2, 4) найти наибольшую крутизну подъёма

¶f

= tgα - наибольшее значение

¶f =

¶f

grad f

¶l

¶ grad f

¶z

= yx y−1

= 4;

¶z

= x y ×ln x

= 4 ln 2

¶x

¶y

tgα = 42 + 42 (ln 2)2 » 4, 97; α = 78o

Производная высших порядков:

Пусть f (x, y)	∂f	,	∂f в U (x , y ).
	∂x		∂y	0	0
				0	0

Тогда в(x самой точке можно определить производные высших порядков :

∂f (x + x, y

) − ∂f (x , y

)

∂

(x , y ) = lim

∂x

∂x2

x→0

∂

∂f (x , y + y) −

∂f (x , y

)

(x , y

) = lim

∂x

∂y∂x

y→0

∂2 f

∂f (x , y

+ y) − ∂f (x , y

)

(x , y ) = lim

∂y

∂y2

y→0

∂2 f

∂f (x + x, y

) −

∂f (x , y

)

(x , y

) = lim

∂y

∂x∂y

x→0

Аналогично определяются производные порядка n

Пример:

x + y

z = ln tg

¶z =

x + y

x + y2

sin(x + y2 )

¶x

cos

¶z

× y =

2 y

x + y

x + y2

sin(x + y2 )

¶y

cos

¶2 z

¶z

cos(x + y2 )

= -

¶x

)

sin

+ y

)

¶x x

sin(x + y

¶2 z

¶z

2 y cos(x + y2 )

= -

¶y¶x

¶x

sin

(x + y

)

sin(x + y

) y

¶2 z

¶z

2 y

cos(x + y2 )

= -

× 2 y

¶x¶y

¶y

sin

(x + y

)

sin(x + y

) x

¶2 z

¶z /

2 y

2 sin(x + y2 ) - 4 y2 cos(x + y2 )

¶y

)

sin

(x + y

)

¶y y

sin(x + y

Теорема: (о равенстве смешанных производных)

Пусть в некоторой окрестности (x0 , y0 ) частные производные

∂2 f		,		∂2 f		в U (x , y ) и непрерывны в точке (x , y ). Тогда :

∂y∂x				∂x∂y			0		0	0	0


	∂2 f		(x , y ) =				∂2 f	(x , y )

	∂y∂x			0	0		∂x∂y		0	0

Теорема:

Если все смешанные производные порядка m существуют

в некоторой окрестности точки М0 и непрерывно на этом отрезке, то все эти производные не зависят от порядка

дифференцирования и они будут равны:

∂3 f	=	∂3 f	=	∂3 f

∂y∂x∂x		∂x∂y∂x		∂x∂x∂y

Лекция 4

Дифференциалы высших порядков

Пусть f(x,y) дифференцируема

Определение:

d 2 f = d (df ) - дифференциал 2 - го порядка Выведем формулу для вычисления

Считаем, что существуют все частные производные второго порядка (4 штуки)

df = ¶f

dx + ¶f dy

¶x

¶y

h1 = dx;

= dy - приращения переменныхпостоянны

¶f

× h1 +

¶f

= h1d

¶f

f = d

¶y

¶x

+ h2 d

= h1 ¶

¶x

¶y

× h1 + ¶

+ h2

× h1 + ¶

f h2

¶2 x

¶y2

¶y¶x

¶x¶y

Так как вторые частные производные непрерывны, то смешанные

произведения равны, то получаем формулу для дифференциала

второго порядка:

2 f =

¶2 f

× dx2 + 2

¶2 f

dxdy + ¶2 f

dy2

¶2 x

¶y¶x

¶y2

Аналогично для третьего:

3 f =

¶3 f

× dx3 + 3

¶3 f

dx2dy + 3

¶3 f

dxdy2 +

¶3 f

dy3

и т.д.

¶3 x

¶y¶x2

¶y2¶x

¶y3

f = f (x1 ,..., xn )

d 2 f = ∑

dxi dx j

i; j =1 ¶x j ¶xi

¶n f

n−k

f =

∑Cn

¶yk ¶xn−k

Формула Тейлора:

Пусть f (x, y) имеет в некоторой окрестности Uδ (x0 , y0 )

все частные производные до порядка (n +1) и эти производные непрерывны в окрестности. Тогда :

f (x, y) - f (x , y ) = df (x , y ) +

d 2

f (x , y ) +

d 3

f (x , y ) +... +

d n f (x , y ) +

d n+1 f (x , y )

+θ (Dx, Dy)

(n +!)!

Dx = x - x

< δ ;

0 < θ < 1

;

0 <

(Dx)2 + (Dy)2

где

= y - y0

Как следствие из теоремы Тейлора получается формула

Лагранжа для конечных приращений :

h = 0; f (x0 + Dx, y0 + Dy) - f (x0 , y0 ) =

¶f (x +θDx, y +θDy) × Dx +

¶f (x +θDx, y +θDy) × Dy

¶x

¶y

Замечание:

Остаточный член можно записать в форме Пеано:

P = 0(	ρ n );	ρ = (Dx)2 + (Dy)2
n

Пример :

Разложить f (x, y) = e y

по степеням (x, ( y -1)) в точке M 0 (0,1)

по формуле Тейлора до второго порядка

¶f

1 ¶f

¶2 f

¶x

= e

;

¶y

= e

;

¶2 x

×e

;

¶2 f

¶f

x + y

= e

+ e

= -

×e

¶y¶x

¶x

¶2 f

¶f

x2 + 2xy

= - e

= e

¶y

¶y y

Дальше по Маклорену :

F (x) = F (0) + F '(0)×t +

F ''(0)×t 2

...+

F (n)

(0)×t n +

0((

)n )

= 1+ ¶f (M 0 )× x +

¶f (M 0 )×( y -1) +

¶x

¶y

¶2 f

(M 0 )× x

¶2

(M 0 )× x( y -1) +

¶2 f

(M 0 )×( y -

(

)

+ 0

+ ( y -1)

¶y¶x

¶y2

¶2 x

(x2 - 2x( y -1)) + 0 (x2 + ( y -1)2 )

= 1+ x + 0 +

Экстремум функции двух переменных

Точка локального максимума - такая точка, для которой существует

окрестность этой точки в которой все значения функции меньше

чем в этой точке

(x0 , y0 ) − точка локального максимума функции f (x, y), если

U (x0 , y0 ) : (x, y) U (x0 , y0 ) f (x, y) < f (x0 , y0 )

(x0 , y0 ) − точка локального минимума функции f (x, y), если

U (x0 , y0 ) : (x, y) U (x0 , y0 ) f (x, y) > f (x0 , y0 )

Локальный экстремум − либо локальный максимум либо локальный минимум

Теорема:Необходимое условие экстремума

Пусть (x0 , y0 ) − точка локального экстремума

Тогда ∂f (x , y ),			∂f (x , y )
∂x	0	0	∂y	0	0
	0	0		0	0
				1) обе частные производные= 0 (x0 , y0 ) − стационарные точки
					= ∞
критические точки					= ∞
				2)	хотя бы одна из частных производных
					не
Примеры:
z = 4 − (x2 + y2 )
∂z = −2x;	∂z = −2 y
∂x	∂y

приравниваем к нулю и получаем точку (0, 0) − крит. стац. точка

2) z =	x2 + y2
∂z =	x	;	∂z =	y
∂z =		;	∂z =
∂x	x2 + y2		∂y	x2 + y2


∂z (0, 0) = lim		z(	x, 0) − z(0, 0)	= lim	(	x)2

			x			x
∂x	x→0			x→0

Предел не существует, так как правый и

lim	x = 1;	lim −	x = −1
x→+0	x	x→−0	x

(0, 0) − критическая точка

= lim

x→0 x

левый не равны

3) z = 3 x2 + 3 y4

∂z (0, 0) = ∞;	∂z	(0, 0) = 0

∂x	∂y

(0, 0) − критическая точка

(0, 0) − точка минимума

4) z = xy

(0, 0) − стационарная точка z(0, 0) = 0

Uδ (0, 0);		x2 + y2 < δ ;
δ	δ	> 0;	δ	δ
z	,	> 0;		,	Uδ (0, 0)
2	2		2	2
δ	δ	< 0;		δ	δ	Uδ (0, 0)
z	,	< 0;	−	,		Uδ (0, 0)
2	2			2	2

В любой сколь угодно малой окрестности функция принимает как положительное так и отрицательное значение

(0, 0) не будет точкой экстремума

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.201563.23 Кб89Lektsii_po_filosofii.docx
#
22.04.2019169.47 Кб7Lektsii_po_filosofii_1.doc
#
11.03.20162.45 Mб146Lektsii_po_GA_2sem.doc
#
21.12.20181.03 Mб7lektsii_po_informatike_1kurs.doc
#
03.05.2015823.82 Кб113Lektsii_po_KFP_13i_zadachi.docx
#
27.03.2015795.98 Кб13Lektsii_po_matanu.pdf
#
16.04.20192.16 Mб9Lektsii_po_nasosam.docx
#
01.04.2025316.03 Кб0lektsii_Startseva.docx
#
27.03.2015152.06 Кб57Letyagina.doc
#
27.03.2015475.65 Кб42Lexi.doc
#
27.03.20154.33 Mб16Light_Kilpatrik.pdf