60. Интегрирование дифференциального бинома. Подстановки Чебышева.

Выражение x^m(a+bxⁿ)^pdx назыв дифференциальным биномом. Здесь a,b – действительные числа, m, n, p – рациональные(несократимые дроби).

Интегрирование дифференциального бинома производится только в трех случаях, с помощью подстановок Чебышева.

1 случай: p-целое. Тогда интеграл от диффер. бинома сводится к интегралам вида (2)

. Замена x=t^k, где k-общий знаменатель дробей n и m.

2 случай: p-дробное, но – целое.

= |замена: xⁿ=t, x=t^1/n, dx=| == == | замена:a+bt=z^q, где q-знаменатель дроби p| => a+bxⁿ=z^q.

3 случай: p-дробное, но – целое.

= | замена: xⁿ=t, x=t^1/n, dx=| == ==== =. Замена:=z^q, где q-знаменатель дроби p. =z^q.

Подстановки Чебышева.

1. p-целое: x=t^k, где k – общий знаменатель дробей m и n.

2. p-дробное, но – целое:a+bxⁿ=z^q, где q- знаменатель дроби p.

3. p-дробное, но – целое:=z^q или , гдеq – знаменатель дроби p.

________________________________________________________________________

61. Подстановки Эйлера.

Для вычисления интегралов вида используются подстановки Эйлера. Будем рассматривать случай, когдаax²+bx+c>0 и квадратный трехчлен не имеет двух одинаковых корней.

Рассмотрим три подстановки, с помощью которых можно достигнуть рационализации подынтегрального выражения.

1 подстановка Эйлера: a>0 .

Выберем знак +: ax²+bx+c=t²+2xt+ax² => bx–2xt=t²–с

X=

dx==.

= .

2 подстановка Эйлера: c>0,

Выберем знак +: ax²+bx+c=t²x²+2tx+с => ax²-t²x²=2tx-bx => x²(a-t²)=x(2t-b)

x=

dx==

= =

3 подстановка Эйлера: ax²+bx+с имеет действительные корни

ax²+bx+с = a(x-x₁)(x-x₂), где x₁ и x₂ – действительные корни

= t(x-x₁) или =t(x-x₂). Выберем =t(x-x₁).

= t(x-x₁) => a(x-x₁)(x-x₂) = t²(x-x₁)² => ax-ax₂=t²x-t²x₁

ax-t²x=ax₂-t²x₁ => x = подставимx в t(x-x₁)

= t(– x₁) = t= t=

dx = ==

= .

________________________________________________________________________

62. Интегрирование тригонометрических функций.

1. вычисление интегралов вида , (m,n cZ)

А) m – нечетное(m>0, m=2k+1)

= ===| замена cosx=t| =

Б) n – нечетное(n>0, n=2l+1)

= ====|заменаsinx=t| = .

В) n,m – четные(n>0, m>0)

В этом случае для вычисления интеграла применяют ф-лы понижения порядка

, m=2k, n=2l

= ==

Г) m+n – четное, (m+n)<0

= | замена tdx=t, x=arctgt, ,,| ==.

2. Вычисление интегралов вида , гдеR-рацион. ф-я относит. sinx и cosx.

С помощью стандартных подстановок, интеграл сводится к интегралу от рационал. дроби.

1. R-нечетная ф-я относит. sinx, т.е. R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx). Замена cosx=t.

= ===|cosx=t| = .

2. R-нечетная ф-я относит. cosx, т.е. R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx). Замена sinx=t.

= ==|sinx=t| = .

3. R-четная ф-я относит. sinx и cosx, т.е. R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx). Замена tdx=t.

= | tgx=t, x=arctgt, ,,| === |tgx=t| = .

4. Универсальная тригонометрическая подстановка tg(x/2)=t.

Подходит для любых интегралов вида (2)

= =

cosx = =

sinx = ===

sinx = =

.

________________________________________________________________________