Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новгородский Государственный Университет им. Ярослава Мудрого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод-ка ВМ для ст.зу.Ч.2 к.р. 3,4

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

2.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

3n 1

эквивалентна

, если

n ,

то исследуемый ряд

4n3 n

4n3

4n2

необходимо сравнивать с обобщѐнным гармоническим рядом

. Име-

n 1 n

3n 1

3n3 n2

ем,

lim

= lim

. Следовательно, рас-

n 2

2 n

сматриваемый ряд сходится, как и ряд

n 1 n

Пример. Ряд sin

сходится, если

p 1 и расходится, если

n 1

0 p 1. Так как в этом случае

0 то,

по первому замечательному

sin

sin x

пределу lim

1, будет выполнено равенство lim

1 и ряды

x 0

sin

сходятся или расходятся одновременно.

n 1

n 1 n

Аналогично из равенств

lim

ln(1 x)

1, lim

tgx

lim

arctgx

x 0

следует,

что ряды ln

tg 1

arctg

сходятся, если

n 1

p 1 и расходятся, если

0 p 1.

3. Признак Даламбера.

Пусть an 0 общий член ряда (3)

и существует lim

an 1

k (может

быть k = +∞). Тогда: 1) если k 1, то ряд (3) сходится; 2) если k 1, то ряд

(3) расходится; 3) если k 1, то признак Даламбера не даѐт ответ о сходимости ряда и необходимо применять другие признаки.

Заметим, что признак Даламбера следует применять тогда, когда общий член ряда содержит сомножители вида n!, an .

(n 1)!

Пример. Исследуем сходимость ряда

с помощью призна-

n!2n

n 1

ка Даламбера. Имеем,

(n 1)!

, a

(n 2)!

( a

получается из

n!2n

n 1

(n 1)!2n 1

n 1

заменой n на n 1),

an 1

(n 2)!2n n!

n 2

. Следовательно,

(n 1)!2n (n 1)!

2(n 1)

						31
lim	an 1	lim	n 2	1	1	и исследуемый ряд сходится.
lim		lim			1	и исследуемый ряд сходится.
n	an	n 2(n 1)		2
	4. Радикальный признак Коши.

	Пусть an 0 общий член ряда (3) и существует lim n an k (может
						n

быть k = +∞). Тогда: 1) если k 1, то ряд (3) сходится; 2) если k 1, то ряд

(3) расходится; 3) если k 1, то признак Коши не даѐт ответ о сходимости ряда и необходимо применять другие признаки.

Отметим, что для практического применения этого признака необхо-

димо знать следующие пределы: 1) lim n

p 1, где p > 0; 2)

lim n n 1;

n p 1n =

lim n n p 1,

где p –

любое постоянное число, так как

n n p

1 при

n ;

n a

a nk 1 a

1, где

n n

= n n

lim

a0 0 ,

a1, , ak – постоянные числа.

3n4 5n3 n 1

Пример.

Исследуем сходимость ряда

По при-

(n 3)2n

n 1

3n4 5n3 n 1

n 3n4 5n3 n 1

знаку

Коши lim n an lim n

lim

(n 1)2

2 n n 1

< 1 и рассматриваемый ряд сходится.

3n 1 n

Пример.

Ряд

расходится так как,

по признаку Коши,

2n 3

n 1

3n 1

lim n an lim n

lim

> 1.

2n 3

Отметим, что если учесть очевидное неравенство 1 ln n n , которое

выполняется для любых n 3, получим неравенство

1 n ln n n n . А так

как 1 и nn 1, если n , то, по достаточному признаку существования

предела, существует lim nln n 1. Из последнего равенства следует, что

lim nln p n 1 для любого постоянного числа p.

Поэтому с помощью радикального признака Коши можно исследо-

ln p n

вать сходимость рядов вида

, которые сходятся, если a > 1, и рас-

n 1

ходятся, если a < 1, так как

ln p n

, если n .

5. Интегральный признак Коши.

Если общий член ряда (3)

убывает,

то есть

an 1 an

для любых

n N , функция f(x) убывает на промежутке (1, ) и

f (n) an . Тогда не-

собственный интеграл

f (x)dx

и ряд an сходятся или расходятся одно-

n 1

временно.

Пример. Чтобы исследовать сходимость ряда

, где посто-

n 2 n ln

янная p > 0, рассмотрим несобственный интеграл

. После замены

x ln p x

переменной t ln x, dt

в этом интеграле получаем

x ln

ln 2 t

t1 p

(ln 2)1 p

, если 1 p 0,

1 p

–

= (ln 2)

так

( p 1) =

1 p

| =

lim

1 p

, если 1

p 0,

ln 2

p 1

как t1 p ,

если

1 p 0 ( p 1) ,

и t1 p 0 ,

если 1 p 0 ( p 1) . В

случае p 1 имеем

ln t |

lim

ln t ln(ln 2) .

ln2

Следовательно, несобственный интеграл, а значит и рассматривае-

мый ряд, сходятся, если

p 1, и расходятся, если

p 1.

ln n

Пример. Исследуем сходимость ряда 2 .

n 2 n

ln n

Докажем сначала, что последовательность n2

рассмотрим	функцию	f (x)	ln x	.	Имеем,

			x2

убывает.

f / (x)

Для этого

ln x			/
		=
	x2

2x ln x

2ln x

x x

< 0,

если будет выполнено неравенство

1 2ln x 0 или

ln x

f (x)

ln x

, или

e . Следовательно, функция

монотонно убывает для x > 2, а значит, убывает и последовательность ln2n . n

ln xdx

Для вычисления несобственного интеграла 2 применим формулу

2 x

ln xdx

u ln x, du

ln x

интегрирования по частям:

| +

, v

ln x

0 ) =

ln 2

0 ). Сле-

= (так как lim

| =

(так как

lim

x x

довательно, несобственный интеграл сходится, а значит, сходится и рассматриваемый ряд.

Знакопеременные ряды

Числовой ряд (3) называется знакопеременным, если у него существуют как положительные, так и отрицательные слагаемые со сколь угодно большими номерами.

Кроме знакопеременного ряда (3) будем рассматривать положительный ряд из абсолютных величин:


an (3),	\| an \| (4).
n 1	n 1

Говорят, что знакопеременный ряд (3) сходится абсолютно, если сходится ряд из абсолютных величин (4); если же ряд (4) расходится, а сам ряд (3) сходится, то говорят, что знакопеременный ряд (3) сходится не абсолютно или условно.

Отметим, что из сходимости ряда (4) следует сходимость ряда (3), то есть из абсолютной сходимости знакопеременного ряда следует его сходимость. Абсолютно и условно сходящиеся ряды сильно отличаются по своим свойствам: 1) сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется при любой перестановке его членов, 2) для любого действительного числа S можно так переставить местами члены условно сходящегося ряда, что сумма нового ряда будет равна S. По этой причине важно уметь различать абсолютно и условно сходящиеся ряды.

sin n
Пример. Ряд		является знакопеременным рядом, так как
	n2
n 1

sin n принимает как отрицательные, так и положительные значения. Ряд из

| sin n |

абсолютных величин

сходится, так как справедливо неравенство

n 1

| sin n |

. Ряд

сходится. Следовательно, по мажорантному при-

n 1 n

знаку сравнения, сходится ряд из абсолютных величин, а значит, рассматриваемый знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Важным частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды вида


a1 a2 a3 ( 1)n 1 an	или ( 1)n 1 an ,	(4)
	n 1

где an 0 для всех значений n .

Для исследования сходимости таких рядов используют признак

Лейбница: если общий член ряда (4) удовлетворяет условиям:

1) lim an 0 , 2) an 1 an

(последовательность an

убывает), тогда знако-

чередующийся ряд (4) сходится.

ln n

Пример. Исследуем сходимость ряда ( 1)n

. Исследуем снача-

n 2

ln n

ла абсолютную сходимость этого ряда. Ряд из абсолютных величин

n 2 n

ln n

расходится, так как

для всех n 3, а гармонический ряд

рас-

n 2 n

ходится. Проверим выполнение условий признака Лейбница. Рассмотрим

ln x

ln x /

1 x ln x

1 ln x

функцию

f (x)

. Так как

(x)

< 0 для

всех x 3, то функция

f (x) монотонно убывает, а значит, убывает и по-

следовательность

ln n

Далее,

по

правилу

Лопиталя,

имеем

lim

ln x

lim

(ln x)/

lim

0 .

Следовательно,

lim

ln n

0 .

Таким

(x)

x x

образом, выполнены все условия признака Лейбница и рассматриваемый ряд сходится условно.

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Задание 7. Степенные ряды. Функциональный ряд вида

C C (x a) C		(x a)2 C	(x a)n ,	(5)
0 1	2	n

где a – данное действительное число, Сn – последовательность действи–

тельных чисел, называется степенным рядом.

Для фиксированных значений x ряд (5) является числовым рядом, а значит, сходится или расходится. Множество значений x, для которых ряд

(5) сходится, называется областью сходимости степенного ряда (5). Для степенного ряда возможны три случая:

а) ряд (5) сходится только для x = a и его сумма равна 0; б) ряд (5) сходится для любых действительных значений x;

с) существует число R >0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству | x a | R , ряд (5) сходится абсолютно, а для всех x, удовлетворяющих неравенству | x a | R , ряд (5) расходится.

Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (a R,a R) называют интервалом сходимости этого ряда. В случае а)

полагают R 0, а в случае б) полагают R . Сходимость степенного ряда в точках x a R (на границе интервала сходимости) проверяется непосредственной подстановкой этих чисел в степенной ряд (5). Так как внутри интервала сходимости степенной ряд сходится абсолютно, то, для определения интервала сходимости, исследуется ряд из абсолютных величин, который является положительным рядом и для его исследования можно применять признаки сходимости положительных рядов.

Пример. Найдѐм область сходимости степенного ряда

(x 1)n .

n 1

Ряд из абсолютных величин имеет вид

| x 1|n . Применив ра-

n 1

дикальный признак Коши, получаем lim

| x 1|n =

2 | x 1| lim

n n n

2 | x 1| . Из признака Коши следует, что ряд из абсолютных величин схо-

дится для тех x,

для которых выполняется неравенство 2 | x 1| 1 или

| x 1| 1 . Следовательно, радиус сходимости

R 1

, а интервалом сходи-

точке x

мости является интервал 2 ,

2 . В

рассматриваемый ряд имеет

( 1)

вид

(1 1)n

( 1)n 1

. Этот знакочередующийся ряд

n 1

n 2

n 1

сходится условно, так как ряд из абсолютных величин

расходится

n 1

(это гармонический ряд), а сам ряд сходится по признаку Лейбница

( a

0 при n ,

а последовательность

1 убывает).

В точке x 3

данный степенной ряд является числовым рядом

( 3 1)n =

n 1

n 2

n 1

который расходится. Следовательно, областью сходимости рассматриваемого степенного ряда является промежуток 12 , 32 .

Приведѐм разложения в ряд Тейлора (степенной ряд) основных элементарных функций и укажем области сходимости соответствующих степенных рядов.

	1
1.		1 x x2	xn ,	x ( 1,1) .
	x
1			n 0

2n 1

sin x x

( 1)n

, x ( , ).

n 0

(2n 1)!

cos x 1

( 1)n

x ( , ).

n 0

(2n)!

ex 1 x

x ( , ).

n 0 n!

ln(1 x) x

( 1)n 1

, x ( 1,1].

n 1

(1 x)

1 x

( 1)

( 1) ( n 1)

( 1) ( n 1)xn ,

x ( 1,1), где 1,2,3, .

n 1

Стандартные разложения 1– 6 позволяют разлагать в ряд Тейлора более сложные функции и находить области сходимости полученных разложений.

Пример. Разложить в ряд Тейлора по степеням x (a = 0) функцию

f (x) =			2x 3		и указать область сходимости этого разложения.

			3x 1
												1				3x 1 11
		Преобразуем данную функцию: f (x) =								2	11	1	=	2				2	=
	1 11									3	3	1 3x		3			3x 1
2				1	= 2 11		1		. Чтобы получить требуемое разложение ис-
2					= 2 11		1 3x		. Чтобы получить требуемое разложение ис-
3		2 3x1			3	3	1 3x
пользуем равенство						1, заменив в нѐм x				на	3x:	f (x) =			2		11	1	=
пользуем равенство						1, заменив в нѐм x				на	3x:	f (x) =			2		11	1 3x	=
															3		3	1 3x
=	2	11 1 3x 9x2 27x3						= –3–11x –33x 2 –99 x3 – …. Для того чтобы
	3	3

найти область сходимости полученного разложения нужно в неравенство

| x | 1 вместо x подставить 3x: | 3x | 1 или | x | 1.

Пример. Разложить в ряд

Тейлора

по степеням

x 2 функцию

f (x) ln x .

С помощью тождественных преобразований и разложения 5

получим: ln x ln(2 x 2) ln 2 1

x 2

ln 2 ln 1

x 2

= ln 2

(x 2)2

(x 2)3

. Для определения области сходимости

полученного разложения имеем неравенство

1, которое эквива-

лентно неравенству 2 x 2 2 или 0 x 4.

Ряды Фурье

	37
	Пусть функция f (x) определена на промежутке [a, a T ] . Система
функций
1	, cos x, sin x, cos2 x, sin 2 x, , cosn x, sin n x, , где	2

2		T

называется основной тригонометрической системой. Легко убедиться в том, что все функции этой системы являются периодическими с наименьшим положительным периодом T. Действительно, cosn(x T )

= cosn(x T ) cos(n x 2n ) cosn x.

Рядом Фурье для функции f (x) по основной тригонометрической системе называют функциональный ряд

an cosn x bn sin n x ,

(6)

n 1

коэффициенты an ,bn которого определяются равенствами

2 a T

f (x)cosn x dx, n 0,1,2, ;

f (x)sin n x dx, n 1,2,3, (7)

Определение.

Функция f (x)

называется кусочно

монотонной на

промежутке [a, a T ] , если этот промежуток конечным числом точек

c1 c2 cn можно разбить на части [a,c1), (c1,c2 ), ,(cn ,a T ], на каждой из которых функций f (x) будет возрастать или убывать.

Теорема Дирихле. Если функция f (x) кусочно монотонна и ограничена на промежутке [a, a T ] , тогда ряд Фурье (6) сходится для любого x [a,a T ] к функции S(x) ; при этом, если f (x) непрерывна в точке x, то S(x) = f (x) , если же x 0 является точкой разрыва первого рода функции

f (x) , то в этой точке S(x0 )	f (x0	) f (x0	)		где f (x0 ) , f (x0 ) – пра-
				,
		2

восторонний и левосторонний пределы функции					f (x) , при x x0 .

Из этой теоремы видно, что класс функций представимых рядом Фурье гораздо шире, чем класс функций представимых степенным рядом.

Замечание 1. Так как все функции основной тригонометрической системы имеют период T, то и частичные суммы ряда Фурье тоже имеют период T, то есть Sn (x T ) Sn (x) . Из определения суммы ряда следует,

что S(x T ) lim Sn (x T ) lim Sn (x) S(x),		то есть сумма ряда Фурье
n	n
так же имеет период T.
Замечание 2. Если	f (x) непрерывна и кусочно монотонна на проме-
жутке [a, a T ], тогда для всех x [a, a T ]		будет S(x) = f (x)	и можно
считать, что сумма S(x) ряда Фурье является продолжением			функции

f (x) по периоду T на всю числовую прямую. Если, при этом, выполняется

равенство f (x T ) f (x) , то продолженная функция fT (x) будет непре-

рывна на всей числовой прямой, и для всех x будет выполняться равенство

fT (x) = S(x) .

Замечание 3. При вычислении коэффициентов ряда Фурье по формулам (7) часто использоваться свойства определѐнного интеграла от чѐтной

и нечѐтной функции по симметричному промежутку, а именно: а) если

f (x) является нечѐтной функцией f (x) f (x) , тогда f (x)dx 0 ;

б) если f (x) является чѐтной функцией f (x) f (x) , тогда f (x)dx

= 2 f (x)dx

Пример. Разложить функцию f (x) x2 в ряд Фурье на промежутке

[–1,1].

Очевидно, рассматриваемая функция непрерывна на заданном промежутке, убывает на промежутке [–1,0) и возрастает на промежутке (0,1], а значит, кусочно монотонна на [–1,1]. Вычислим коэффициенты Фурье по

формулам (7). Имеем: T 1 ( 1) 2,

2 2 . При n = 0 из (7) по-

лучаем a0

dx 2 x

dx 3 x

3 . Для всех n 1,2,3, из (7) получа-

u x2 ,

du 2xdx

ем

x2 cosn x dx 2 x2 cosn x dx

dv cosn x dx, v

sin n x

sin n x 1

u x,

du dx

cosn x

xsin n x dx (подстановка

dv sin n x dx, v

cosn x 1

cosn

sin n x 1

2( 1)n

| +

cosn x dx

| =

(n )

Аналогично, из формул (7) для всех n 1,2,3, получаем, что bn

= x2 sin n x dx 0 (подинтегральная функция является нечѐтной).

Следовательно,

для всех x [ 1,1]

справедливо разложение функции

2( 1)n cosn x

( 1)n 1 cosn x

x2 в ряд Фурье

(n )2

n 1

Замечание. С помощью разложения функций в ряд Фурье удаѐтся вычислить суммы многих сходящихся рядов. Например, положив в по-

( 1)n 1

следнем разложении x 0 ,

получим равенство 0

, из ко-

n 1

( 1)n 1

торого находим, что

n 1

Часто возникает необходимость разложить функцию, заданную на

промежутке [0,l] , в ряд Фурье по косинусам или синусам.

Пусть функция f (x)

определена на промежутке [0,l] .

Продолжим

еѐ на промежуток [l,0)

f (x),если x [0,l],

чѐтным образом g(x)

От-

f ( x),если x [ l,0).

метим, что функция g(x) будет кусочно монотонной и непрерывной на промежутке [l,l], если f (x) кусочно монотонна и непрерывна на промежутке [0,l] . Разложим теперь продолженную функцию g(x) в ряд Фурье на промежутке [l,l].

Из равенств (7) следует, что T 2l,

g(x) sin n x dx 0, n 1,2, ,

l l

g(x)cos n x dx

f (x)cos n x dx, n 0,1,2, ,

так как функция под знаком первого интеграла является нечѐтной, а функ-

[ l,l].

ция под знаком второго интеграла является чѐтной на промежутке Следовательно, разложение чѐтной на промежутке [0,l] функции в ряд Фурье (в точках непрерывности) по косинусам имеет вид

	a0				2	l
f (x)	a0	an cos n x , где an			2		f (x)cos n x dx , n 0,1,
f (x)		an cos n x , где an			l		f (x)cos n x dx , n 0,1,
2		n 1	l		l			l
						0
Для того		чтобы	разложить	заданную				на промежутке [0,l]

функцию	f (x) в ряд Фурье по синусам доопределим эту функцию на про-
	[l,0)		f (x),если x [0,l],
межуток	[l,0)	нечѐтным образом g(x)	f ( x),если x [ l,0).	Заметим,
			f ( x),если x [ l,0).

что функция g(x) будет кусочно монотонной на промежутке [ l,l], если f (x) кусочно монотонна на [0,l] и g(x) будет непрерывной на промежутке [ l,l], если f (x) непрерывна на [0,l] и f (0) 0. А теперь разложим нечѐтную функцию g(x) в ряд Фурье на промежутке [ l,l]. Из формул (7)

	1	l
получаем an	1	g(x)cos n x dx 0		,	n 0,1, , так как подинтегральная
получаем an		g(x)cos n x dx 0		,	n 0,1, , так как подинтегральная
	l	l	l
	l	l

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.03.20151.37 Mб46Метод пособие PowerPoint.doc
#
26.03.20151.76 Mб95Метод пособие Word.doc
#
01.05.2019193.54 Кб1метод рекомендации курсовой мат методы.doc
#
26.03.201536.46 Кб58Метод рекомендации по группам риска.docx
#
23.11.201934.64 Кб3Метод рекомендации по группам риска.docx
#
26.03.20152.75 Mб12Метод-ка ВМ для ст.зу.Ч.2 к.р. 3,4..pdf
#
26.03.201534 Кб3Метод. рекомендации к диплому 2(2).docx
#
17.12.201874.75 Кб4Метод.реком. к написанию реферата.doc
#
26.03.2015165.38 Кб7метод.указ по кр скот-во.doc
#
27.09.2019410.11 Кб5Метод_указ_по_дисц.doc
#
11.03.201636.86 Кб19Методика проведения утреннего сбора.doc