Вопрос 9

Вопрос 9. Смысл действия умножения и деления. Особые случаи умножения и деления. Умножение на 10,100,1000.

Осознанное усвоение табличных случаев умножения и деления связано с большим объемом теоретического материала, который вводится на подготовительном этапе:

1. конкретный смысл действий умножения и деления, названия результатов и компонентов действий;

2. переместительное свойство умножения;

3. взаимосвязь между результатами компонентами действий.

В математике известны два подхода к определению произведения натуральных чисел - через декартово произведение множеств и аксиоматическое (определение через сложение).

В начальной школе ни один из подходов невозможно осуществить в полном объеме. Однако возможно использование их некоторых элементов. Так, умножение в начальных классах определяется через сложение, деление - через умножение. Умножение трактуется как операция объединения равночисленных непересекающихся множеств. Операция разбиения данного множества на ряд равночисленных непересекающихся подмножеств называется операцией деления.

На подготовительном этапе учащиеся оперируют множествами предметов, объединяют их, разбивают на подмножества и этим подводятся к усвоению конкретного смысла умножения и деления. Действие умножения вводится как особый случай сложения – сложение одинаковых слагаемых. Как и все основные математические понятия для ознакомления с конкретным смыслом действий умножения и деления вводятся системы целесообразных задач с последующей математизацией их содержания.

Предлагаются задачи вида:

- мальчик купил 5 тетрадей по 2 рубля каждая. Сколько денег заплатил мальчик?

Эти задачи решаются устно с помощью схематических рисунков. Затем даются названия результатов и компонентов действия умножения.

Знакомство с конкретным смыслом деления вводится через решение задач двух видов:

а) деление по содержанию;

б) деление на равные части.

Деление количественных чисел можно рассматривать как деление по содержанию в том случае, когда данная совокупность, делится на части, численность каждая из которых одинакова и задается заранее. Количество полученных при этом частей и является результатом деления в данном случае. Результатом деления будет численность каждой части.

При делении количественных чисел на части так, что известно на сколько равных частей должна быть разделена исходная совокупность говорят о делении на части.

Переместительное свойство умножения может быть введено с помощью различных методов: наглядного метода, самостоятельной работы, беседы, частично-поискового метода. На основе переместительного свойства умножения составляется таблица умножения на 2, рассматривается прием перестановки множителей.

Далее изучаются связи между компонентами и результатами действий умножения и деления.

Для ознакомления со связями сначала повторяются названия результатов и компонентов действий умножения и деления. Затем составляется пример на умножение, на его основе составляются два примера на деление (3x2=6, 6:3=2, 6:2=3).

Проводится наблюдение, сравнение, обобщение. Делаются два частных вывода, которые объединяются в один общий: если произведение двух множителей разделить на один из множителей, то получим другой множитель. На основе данной взаимосвязи на этом этапе рассматриваются табличные случаи деления с числами 2 и 3.

Затем рассматриваются связи между компонентами и результатами деления: если частное умножить на делитель, то получится делимое; а если делимое разделить на частное, то получится делитель.

При закреплении знания связей вводится прием подбора частного.

На основе изученного материала вводятся приемы умножения и деления с числами 1, 0, 10.

1. Приемы умножения единицы на число, большее единицы(1 x а=а). Теоретическая основа - конкретный смысл умножения.

2. Деление на единицу вводится на основе связи между компонентами и результатом действия умножения(а : 1=а).

3. Деление на число, равное делимому, раскрывается на основе конкретного смысла действия деления.

4. Попытка обосновать, что а х 1а и а х 00, опираясь на определения умножения через сумму, невозможна: непонятно, что есть "сумма" у которой только одно слагаемое, или сумма без слагаемых. Поэтому эти случаи умножения, а также правило о невозможности деления на 0 учащиеся должны просто запомнить.

5. При умножении 10 на однозначные числа используется прием, основанный на знании конкретного смысла действия умножения:

10 × а - теоретическая основа – конкретный смысл умножения;

а x 10 - переместительное свойство умножения.

При делении используется знание связи между компонентами и результатом действия деления.

На этапе ознакомления на основе изученного теоретического материала вводятся табличные случаи умножения и соответствующие случаи деления. Так как таблицы умножения и деления с числами 2 и 3 составляются и заучиваются параллельно с рассмотрением теоретических вопросов, ознакомление с табличными случаями умножения и деления начинается с повторения и систематизации данных таблиц. Далее последовательно рассматриваются все табличные случаи умножения и деления с числом 4, затем 5, 6 и т.д.

Методика изучения на каждом уроке строится по одному плану:

1) составляется первый столбик по постоянному первому множителю;

2) пример на умножение заменяется примером на сложение;

3) на основе переместительного свойства множители меняются местами;

4) на основе знания взаимосвязи составляются два столбика на деление.

Для нахождения результата используются приемы:

1) произведение заменяют суммой;

2) к результату предыдущего примера из таблицы прибавляют соответствующие число;

3) можно из известного результата вычесть соответствующее число.

На этапе закрепления даются творческие упражнения, игры на ориентацию в таблице, на запоминание табличных результатов.

1