Вопрос 5

Вопрос 5. Устные приёмы сложения и вычитания в пределах 100. Сочетательное свойство сложения.

1. Устные вычислительные приемы сложения и вычитания двузначных чисел.

На подготовительном этапе повторяются приемы сложения и вычитания в пределах 10, таблица сложения и вычитания в пределах 10, вычислительные приемы вида 40+5, 45-5, 45-40, основанные на знании нумерации.

Приемы устного сложения также основываются на знании сочетательного (ассоциативного) закона сложения (см. табл.).

Для сложения справедлив ассоциативный закон (а+в)+с=а+(в+с), являющийся следствием ассоциативности объединения конкретных множеств, попарное пересечение которых является пустым множеством.

В начальной школе закон раскрывается с помощью правил прибавления числа к сумме и суммы к числу.

Сочетательное свойство они могут попытаться вывести самостоятельно. Учитель должен убедить учащихся, что для вычисления выражений (а+в)+с и а+(в+с) действия можно производить в любом порядке, то есть значения выражений не зависят от порядка выполнения действий. Усвоение этих правил не вызывает сложности, если их математическое содержание будет раскрыто с опорой на интуитивные представления детей.

Для изучения правила прибавления числа к сумме (а+в)+с предлагается серия задач, имеющих разный сюжет, но одинаковое математическое содержание.

«Мальчик нашел 2 белых гриба, 3 подосиновика, 4 подберезовика. Сколько всего грибов нашел мальчик?».

Работа над этими задачами ведется по следующему плану:

1. условие задачи конкретизируется, на наборном полотне – иллюстрация с помощью геометрических фигур, которая постепенно дополняется и выполняется запись (2+3)+4.

2. затем составляется другой вариант этой же задачи, заполняется полотно, составляется математическая запись (3+4)+2.

3. аналогично (4+2)+3.

4. делается вывод: задачу можно решить тремя разными способами, результат не изменяется.

Результат можно не вычислять.

Таким образом, смысл закона раскрывается:

1. на рисунке;

2. на числах;

3. в буквенной форме.

Затем предлагается составить задачу по числовому выражению вида:

(а+в)+с

И перефразировать ее условие, чтобы она решалась с помощью выражений:

(а+с)+в и (в+с)+а

Формируется правило прибавления числа к сумме:

1. Прибавить число к сумме можно, складывая числа в любом порядке. Запоминание более детальной формулировки («чтобы прибавить число к сумме можно сначала…») нецелесообразно, так как способствует формальному усвоению сути правила. Важнее научить обращаться к задачам, если правило забыто.

Аналогично вводится правило прибавления суммы к числу.

Также для доказательства учащиеся могут исследовать эти выражения на графических моделях. Рассмотрим 2 выражения. Изменение порядка действий может изменить результат, следовательно, надо сопоставить выражения и выяснить, равны ли они.

(а+в)+с=d

d

a+(b+c)=d

d

Учитель сообщает, что полученное свойство называется сочетательным и предлагает выразить его смысл словами. Сочетательное свойство можно сформулировать по-разному:

1. чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

2. чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, затем второе.

3. значение суммы не зависит от выбора действий.

II. Этап ознакомления.

1. Прием вида: 20+30

Абак заполняется сначала двумя полосками по одному десятку кружков, затем еще тремя полосками. Всего в абаке 2+3 полоски или 5 десятков.

Таким образом, прием сложения круглых десятков сводится к сложению однозначных чисел, то есть 2 десятка + 3 десятка = 5 десятков.

2. Прием вычитания вида: 60-40 вводится аналогично.

Теоретическая основа – конкретный смысл действий сложения и вычитания.

Затем вводятся приемы сложения, основанные на знании свойств прибавления числа к сумме и прибавления суммы к числу:

22+5 (20+2)+5 теоретическая основа - прибавление числа к сумме.

45+3 (40+5)+3

45+30 (40+5)+30=40+(5+30)

20+13 теоретическая основа - прибавление суммы к числу

20+35=20+(30+5)=(20+30)+5

22+35=22+(30+5)=(22+30)+5=52+5=57

25+36=25+(30+6)=(25+30)+6=55+6=61

Случаи вида 28+5 имеет два способа нахождения результата.

1. 28+5=(20+8)+5=20+(8+5)=33 теоретическая основа - прибавление числа к сумме.

Алгоритм рассуждения: заменяю, получаю пример, здесь удобнее.

2. 28+5=28+(2+3)=(28+2)+3=33 теоретическая основа-

2 3 прибавление суммы к ислу.

Изучая приемы устного сложения двузначных чисел, учащиеся должны прийти к выводу, что сложить два двузначных числа легче, если к десяткам первого прибавить десятки второго, единицы обоих слагаемых сложить и прибавить к сумме десятков.

В приемах вычитания используются свойства.

1. Вычитания числа из суммы: 45-3, 40-5, 45-30

2. Вычитание суммы из числа: 45-9, 45-23, 45-28.

Они изучаются по тому же плану, что и свойства сложения. Различные способы вычитания основываются на соответствующих вопросах из теоретического курса математики.

1. 45-3=(40+5)-3=40+(5-3)=40+2=42 (число 3 вычитается из числа единиц уменьшаемого);

теоретическая основа - вычитание числа из суммы

1. 45-9=45-(5+4)=(45-5)-4=40-4=36

теоретическая основа - вычитание суммы из числа

2. 45-23=45-(20+3)=(45-20)-3=25-3=22

теоретическая основа – вычитание суммы из числа.

Все эти операции при необходимости можно выполнить на демонстрационном абаке, учащиеся на индивидуальном абаке. Математическое выражение записывается на доске и в тетрадях.

При изучении приемов устного сложения и вычитания чисел прослеживаются разные подходы.

I Подход.

1. По традиционной программе основным способом введения вычислительного приема является показ образца действия, который в некоторых случаях разъясняется на предметном уровне, а затем закрепляется в процессе выполнения тренировочных упражнений.

2. Процесс формирования вычислительных умений сориентирован на усвоение способа действия для частных случаев сложения и вычитания чисел.

Изучения любого свойства ведется по одному плану:

1. раскрытие сути свойства (с использованием наглядных пособий);

2. применение свойства при выполнении заданий;

3. выделение рациональных приемов вычислений (на основе свойств).

Таким образом, первый подход связан с изучением свойств арифметических действий.

II Подход связан с изучением сочетательного закона сложения с выходом на обобщение: при сложении чисел удобно единицы складывать с единицами, десятки с десятками. Этот вывод переносят на приемы вычитания.

III Подход.

1. Процесс формирования вычислительных умений ориентирован на усвоение общего способа действий, в основе которого лежит осознание детьми записи чисел в десятичной системе счисления (разрядный состав числа) и смысла действий сложения и вычитания.

2. Основным способом введения нового вычислительного приема является не показ образца действий, а выполнение действий с моделями десятков и единиц и соотнесение этих действий с математической записью.

В процессе такой деятельности учащиеся наблюдают изменение цифр, обозначающих в записи числа десятки (единицы), при увеличении (уменьшении) числа на несколько десятков (единиц).

Наблюдение за изменением в записи чисел сопровождается активным истолкованием приемов анализа и сравнения, классификации, обобщения.

Проблема в том, как организовать продуктивную деятельность учащихся по усвоению приема.

Н.Я. Виленкин , Л.Г. Петерсон разработали технологию обучения практически целесообразную и отражающую основные теоретические результаты психолого-педагогических исследований. В своей программе и учебниках по математике для начальной школы они предлагают следующий подход к введению вычислительных приемов.

Приемы вводятся проблемным методом, когда учитель не сам объясняет весь материал, а подводит детей к «открытию» новых знаний. Принципиально важно, чтобы дети сами выводили новые правила действий с числами с помощью анализа и обобщения собственных предметных действий с моделями этих чисел.

В качестве моделей используются зеленые треугольники с десятью красными кружками: красный кружок обозначает единицы, зеленый треугольник обозначает десятки, десять красных кружков на зеленом треугольнике обозначают сотни.

Структура урока введения приёма:

1. Постановка учебной задачи.

Учащиеся выполняют самостоятельную работу, в которой среди известных случаев сложения и вычитания они сталкиваются с неизвестным для них случаем. Возникает проблемная ситуация, мотивирующая изучение нового материала.

2. Построение предметных моделей.

Для разрешения проблемной ситуации пример, вызвавший затруднение, моделируется и обсуждается фронтально. В результате этого обсуждения учащиеся «изобретают» новый способ действия (используются треугольники, пучки палочек).

3. Построение графических моделей.

Новый способ действия учащиеся используют для построения графических моделей нового типа. При этом полученный вывод вновь проговаривается.

4. Знаковое моделирование.

Пример записывается в более компактной форме, с помощью цифр и знаков арифметических действий (запись в виде числового выражения). Теперь учащиеся применяют новый вычислительный прием без опоры на наглядную модель. Если письменный прием, то учитель знакомит детей с более удобной формой записи примеров нового типа в столбик.

5. Самоконтроль и самооценка.

Учащиеся самостоятельно решают пример на новый вычислительный прием и убеждаются, что новый способ действия ими освоен. Проблемная ситуация разрешена. Затем новый вычислительный прием используется для решения текстовых задач. Решение выполняется с комментированием без графических моделей, без абака.

2