Вопрос 2

1. Вопрос 2. Обучение младших школьников элементам теоретических знаний об арифметических действиях

Методика обучения математике изучает процесс обучения математике и ставит своей целью выявить закономерности этого процесса с тем, чтобы использовать их в практике обучения.

Используя психолого-педагогические знания, методика обучения математике также ставит своей целью раскрыть взаимосвязи, которые существуют между внешними условиями обучения и внутренними процессами учебной деятельности учащихся при усвоении ими конкретного математического содержания.

Для начального курса математики в качестве методико-математических основ выступают: теоретико-множественный подход к построению системы целых неотрицательных чисел; аксиоматическая теория целых неотрицательных чисел; непозиционные и позиционные системы счисления; особенности десятичной системы счисления; учение о величинах, о числовых выражениях и выражениях с переменной; об уравнениях, неравенствах, определения геометрических фигур и их простейшие свойства.

Необходимо различать 2 уровня таких основ: для учителя и ученика. Во многих случаях они не совпадают.

Например: равенство (2+3)+7=2+(3+7).

Учащиеся это равенство воспринимают как запись, выполненную при прибавлении числа к сумме и суммы к числу. Это для них является теоретической основой выполняемых действий. Для учителя это использование ассоциативного свойства сложения.

Методические подходы, общие положения и рекомендации можно отнести к теоретическим основам обучения математике в начальной школе, если они отвечают следующим требованиям:

1) опираются на определенную систему (психологическую, педагогическую, математическую), отражая ее применительно к конкретному содержанию обучения;

2) являются обобщенными положениями, отражающими не отдельный случай из обучения математике, а общие подходы к процессу обучения в начальных классах;

3) отражают устойчивые особенности процесса обучения математике, то есть закономерности этого процесса или важные факты о нем;

4) подтверждаются в практике экспериментами или опытом работы учителей.

Приведем два примера.

Пример 1: Сближение во времени изучения взаимосвязанного и взаимозависимого материала экономит время изучения и способствует лучшему усвоению его учащимися. Это положение может быть использовано при изучении различного математического материала и отражает закономерности его усвоения. На его основе методика обучения математике в начальных классах строится так, что действия сложения и вычитания, умножения и деления изучаются почти одновременно, параллельно. Практика подтверждает, что это способствует лучшему усвоению.

Пример 2: Если для формирования вычислительного навыка предлагать однотипные упражнения, в которых имеются повторяющиеся компоненты, то под их влиянием перестают принимать во внимание некоторые из этих компонентов, что приводит к ошибкам. Следовательно, в упражнения для закрепления целесообразно включать учебный материал из других разделов, используя различные виды заданий. Это положение может быть использовано при формировании вычислительных навыков по любой теме.

В основе умений и навыков лежат знания. Знание теоретического материала лежит в основе:

- формирования вычислительных навыков;

- решения выражений, равенств, неравенств, уравнений;

- решения задач;

- построения геометрических фигур и т.д.

Условно это можно представить в виде следующей схемы.

Схема 3. Разделы начального курса математики, содержащие

элементы теоретических знаний

Выделим основные группы теоретического материала.

I. Нумерация целых неотрицательных чисел.

II. Конкретный смысл арифметических действий.

III. Термины и символы.

IV. Взаимосвязь между результатами и компонентами арифметических действий.

V. Изменение результата в зависимости от изменения одного из компонентов.

VI. Свойства арифметических действий.

VII. Правила.

Дадим характеристику материала каждой группы.

I. Нумерация целых неотрицательных чисел - материал этой группы рассматривается отдельно.

II. Конкретный смысл арифметических действий. В курсе математики начальных классов находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых неотрицательных чисел, в соответствии с операцией объединения попарно- пересекающихся конечных множеств. Возможны различные подходы к введению материала:

1 подход - конкретный смысл усваивается в процессе решения простых задач;

2 подход - выполнение учащимися предметных действий и их интерпретация в виде графических и символических моделей.

Основная цель - осознание предметного смысла числовых выражений и равенства. Деятельность учащихся сводится сначала к переводу предметных действий на языке математики, потом к установлению соответствия меж­ду различными моделями (вербальной, предметной, графической, символической). Затем числовые равенства интерпретируются на числовом луче.

Теоретико-множественная трактовка определения действий умножения лежит в основе разъяснения его смысла. Она легко переводится на язык предметных действий и позволяет для усвоения нового действия активно использовать ранее изученный материал. Для осознания необходимости введения нового действия можно использовать различные ситуации. Например, предлагается подсчитать количество кафельных плиток для выкладки стены на кухне (стена имеет форму прямоугольника, разбитого на квадраты). Способ поединичного подсчета клеток - трудоемкий, нерациональный. Достаточно подсчитать количество квадратов в 1 ряду и повторить это число слагаемым столько раз, сколько рядов. Делается запись, выясняется, что обозначает каждое число.

Для усвоения смысла умножения используются приемы сравнения, выбора, преобразования, конструирования.

Можно предложить следующие виды заданий:

а) на соотнесение рисунка и математической записи:

000

000

000

000

43

34

б) на выбор рисунка, соответствующего данной записи 26

1. Оо Оо

Оо

Оо Оо Оо

2. Оо Оо

Оо

Оо

в) на преобразование рисунка с математической записью:

• Какие изменения нужно внести в рисунок, чтобы они соответствовали записи 26?

г) на выбор записи, соответствующей рисунку;

д) на сравнение выражений на основе определения умножения (не вычисляя): 129 и 1211;

е) на замену умножения суммой и суммы умножением:

31+31+31+9; 0+0+0+0+0+0+0;

ж) на сравнение двух произведений, значение одного из которых известно: 123=36; 124=?

Основой формирования представления о действии деления служит теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сводится к разбиению конечных множеств на равночисленные подмножества, не имеющие общих элементов. Выбор этого подхода обусловлен тем, что он опирается на жизненный опыт при введении новой терминологии и математической записи. 1 подход в изучении конкретного смысла каждого арифметического действия следует рассмотреть в статьях Бантовой М.А., Микулиной, Шадриной И.В. Независимо от того, каким методическим подходом вы руководствуетесь при изучении конкретного смысла арифметического действия, следует обосновать необходимость его введения, название действия, название компонентов и результатов каждого действия, научить правильно записывать и читать, то есть познакомить с необходимой символикой и терминологией.

III. Термины и символы:

1) термин: прибавить, вычесть, умножить, разделить, названия действий, результатов и компонентов каждого арифметического действия, увеличить, уменьшить, выражение, равенство, неравенство, уравнение и т.д.;

2) символы: цифры, знаки плюс (+), минус (-), умножить (), разделить (:), скобки, буквы латинского алфавита, знаки отношения «больше», «меньше», «равно».

Методика ознакомления с терминологией и символикой заключается в том, что эти знания даются в готовом виде, без доказательств: «договорились в математике считать…».

IV. В начальных классах раскрывается взаимосвязь между результатами и компонентами каждого арифметического действия (сложения и вычитания, умножение и деление). Разъяснение связи можно начать, оперируя предметными действиями. Так, для введения связи между результатами и компонентами действия сложения можно использовать кружки разных цветов (например, 4 красных и 3 зеленых). Проводится практическая работа, в ходе которой с помощью кружков иллюстрируется сумма чисел 4 и 3, затем вычесть из этой суммы сначала первое слагаемое (4) и установить, что при этом получится второе слагаемое (3), а затем вычесть из суммы (7) второе слагаемое (3) и установить, что при этом получится первое слагаемое (4).

Решение записывается в столбик (без наименования):

4+3=7

7-3=4

7-4=3

Аналогично рассматриваются еще несколько случаев сложения. Учитель помогает заметить, как получены второй и третий примеры из первого. Для этого первый пример надо прочитать с названием компонентов и результата действия сложения; примеры на вычитание читать, не изменяя названия компонентов. Учащиеся подводятся к выводам: двум частным и одному общему:

1. если из суммы вычесть первое слагаемое, то получим второе слагаемое;

2. если из суммы вычесть второе слагаемое, то получим первое слагаемое;

3. если из суммы вычесть известное слагаемое, то получим неизвестное.

Затем взаимосвязь разъясняется при рассмотрении специально подобранных задач, решение которых сопровождается использованием средств наглядности. Аналогично вводится взаимосвязь между результатами и компонентами действий вычитания, умножения и деления. Возможны и другие методические подходы к изучению этого вопроса.

V. Изменение результатов в зависимости от изменения одного из компонентов рассматривается после усвоения названия компонентов и результатов действий, взаимосвязи между ними. Проводится практическая работа по выявлению и наблюдению особенностей, которые происходят при изменении одного из компонентов, т.е. дети наблюдают, как будет изменяться результат любого арифметического действия в зависимости от изменения каждого из компонентов. Работа может проводиться в два этапа:

I этап - усвоение характера изменений;

II этап- количественная характеристика изменений и обобщение формулировки.

Работа на I этапе проходит в несколько ступеней:

1) прослеживаются изменения с опорой на наглядный образ (действия с множествами);

2) прослеживаются изменения с опорой на сравнение числовых выражений, вычисляя их значения и делая соответствующие выводы;

3) знания об изменении результатов действий сложения и вычитания применяются при выполнении различных упражнений:

а) теми учащимися, которые усвоили выводы (остальные на основе вычислений выполняли задания);

б) всеми учащимися.

Работа может быть проведена по таблицам, в которых даны названия компонентов и результатов и их числовые значения.

Например:

Слагаемое	8	7	6	5	4
Слагаемое	2	2	2	2	2
Сумма	10	9	8	7	6

Формулируется вывод: если слагаемое уменьшается, а второе остается постоянным, то сумма уменьшается. Если в таблице первое слагаемое будет увеличиваться, то вывод следующий: если первое слагаемое увеличивается, а второе остается постоянным, то сумма увеличивается. Аналогично формулируются два вывода, когда изменяется второе слагаемое, а первое остается постоянным.

Таким образом, по каждому действию формулируются 4 вывода:

- изменяется 1 компонент (увеличивается или уменьшается), 2 - постоянный (2 вывода);

- изменяется 2 компонент, 1 постоянный (2 вывода).

Более сложной является количественная характеристика, особенно для действий вычитания и деления, т.к. наблюдается обратно пропорциональная зависимость.

Например:

1) если уменьшаемое постоянно, а вычитаемое увеличивается на несколько единиц (на 2 единицы), то разность будет уменьшаться на столько же единиц (на 2 единицы);

2) если делимое не изменяется, а делитель увеличивается в несколько раз (в 2 раза), то частное уменьшается во столько же раз (в 2 раза).

VI. В начальных классах учащиеся знакомятся с большой группой свойств арифметических действий. Среди них можно выделить несколько групп. Для операций сложения и умножения можно выделить следующие:

1. Переместительный (коммутативный) закон сложения и умножения

слагаемых сумма

От перестановки не меняется

множителей произведение

Или в виде символической формы: а+в=в+а; ав=ва.

В начальных классах он вводится как переместительное свойство умножения и сложения.

1. Сочетательный (ассоциативный) закон:

Сумма слагаемых

не изменяется, если какую-либо группу

Произведение множителей

заменить их

суммой произведением

И этот закон легче запоминать в символической форме:

а+в+с=(а+в)+с=а+(в+с)авс=(ав)с=а(вс).

В начальной школе сочетательный закон сложения вводится в виде свойства прибавления числа к сумме и суммы к числу; закон умножения в виде свойства умножения числа на произведение и произведения на число.

Для сложения и умножения справедлив и распределительный (дистрибутивный) закон, связывающий эти операции следующим образом: произведение суммы на число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число: (а+в)с=ас+вс. В начальных классах он вводится как свойство умножения суммы на число.

Также в начальном курсе математики вводятся в качестве свойств:

а) вычитание числа из суммы;

б) вычитание суммы из числа;

в) деление суммы на число;

г) деление числа на произведение.

Знакомство с каждым свойством проходит по определенному плану:

1. Свойство иллюстрируется наглядно, раскрывается его суть.

2. Рассматриваются 3(2) способа выполнения операций.

3. Выбирается наиболее удобный (рациональный) способ с учетом особенностей каждого конкретного приема.

4. Применяется свойство при выполнении различных упражнений. Даются задания вида: реши разными способами, удобным способом, объясни запись, продолжи запись и т.д.

VII. Начальный курс математики включает ряд правил:

1. Правило умножения на 0 (а0=0).

2. Правило умножения на 1 (а1=1).

3. Невозможность деления на 0 (а:0).

4. Правила о порядке выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

В начальной школе правила принимаются без доказательств.

Мы рассмотрели 7 основных групп теоретического материала, которые изучаются в начальной школе. Эти группы являются теоретической основой для введения вычислительных приемов и формирования вычислительных навыков.

3